Cubo (álgebra)

En aritmética y álgebra , el cubo de un número n es su tercera potencia , es decir, el resultado de multiplicar entre sí tres instancias de n . El cubo de un número o cualquier otra expresión matemática se denota con un superíndice 3, por ejemplo 2 ³ = 8 o ( x + 1) ³ .

El cubo es también el número multiplicado por su cuadrado :

n ³ = n × n ² = n × n × n .

La función cubo es la función x ↦ x ³ (a menudo denotada y = x ³ ) que asigna un número a su cubo. Es una función impar , ya que

(−n ) 3 ^{= −} ( n3 ) .

El volumen de un cubo geométrico es el cubo de la longitud de su lado, de ahí el nombre. La operación inversa que consiste en hallar un número cuyo cubo sea n se llama extraer la raíz cúbica de n . Determina el lado del cubo de un volumen dado. También es n elevado a la tercera potencia.

La gráfica de la función cúbica se conoce como parábola cúbica . Como la función cúbica es una función impar, esta curva tiene un centro de simetría en el origen, pero no tiene eje de simetría .

Un número cúbico , o un cubo perfecto , o a veces simplemente un cubo , es un número que es el cubo de un entero . Los cubos perfectos no negativos hasta 60 ³ son (secuencia A000578 en la OEIS ):

Geométricamente hablando, un entero positivo m es un cubo perfecto si y solo si se pueden ordenar m cubos unitarios sólidos para formar un cubo sólido más grande. Por ejemplo, 27 cubos pequeños se pueden ordenar para formar uno más grande con la apariencia de un cubo de Rubik , ya que 3 × 3 × 3 = 27 .

La diferencia entre los cubos de números enteros consecutivos se puede expresar de la siguiente manera:

n ³ − ( n − 1) ³ = 3( n − 1) n + 1 .

o

( n + 1) ³ − n ³ = 3( n + 1) n + 1 .

No existe un cubo perfecto mínimo, ya que el cubo de un entero negativo es negativo. Por ejemplo, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

A diferencia de los cuadrados perfectos , los cubos perfectos no tienen un número pequeño de posibilidades para los dos últimos dígitos. A excepción de los cubos divisibles por 5, donde solo 25 , 75 y 00 pueden ser los dos últimos dígitos, cualquier par de dígitos con el último dígito impar puede aparecer como los últimos dígitos de un cubo perfecto. Con los cubos pares , hay una restricción considerable, ya que solo 00 , o 2 , e 4 , o 6 y e 8 pueden ser los dos últimos dígitos de un cubo perfecto (donde o representa cualquier dígito impar y e cualquier dígito par). Algunos números cúbicos también son números cuadrados; por ejemplo, 64 es un número cuadrado (8 × 8) y un número cúbico (4 × 4 × 4) . Esto sucede si y solo si el número es una sexta potencia perfecta (en este caso 2 ⁶ ).

Los últimos dígitos de cada 3ª potencia son:

Sin embargo, es fácil demostrar que la mayoría de los números no son cubos perfectos, ya que todos los cubos perfectos deben tener raíz digital 1 , 8 o 9. Es decir, sus valores módulo 9 pueden ser solo 0, 1 y 8. Además, la raíz digital del cubo de cualquier número se puede determinar por el resto que da el número cuando se divide por 3:

• Si el número x es divisible por 3, su raíz cúbica tiene raíz digital 9; es decir,

  ${\displaystyle {\text{si}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{entonces}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (en realidad}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};}$

• Si al dividirlo por 3 tiene resto 1, su cubo tiene raíz digital 1; es decir,

  ${\displaystyle {\text{si}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{entonces}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};}$

• Si al dividirlo por 3 tiene resto 2, su raíz cúbica tiene raíz digital 8; es decir,

  ${\displaystyle {\text{si}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{entonces}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.}$

Se conjetura que todo entero (positivo o negativo) no congruente con ±4 módulo 9 puede escribirse como suma de tres cubos (positivos o negativos) de infinitas maneras. ^[1] Por ejemplo, . Los enteros congruentes con ±4 módulo 9 se excluyen porque no pueden escribirse como suma de tres cubos.${\displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}}$

El número entero más pequeño para el que no se conoce dicha suma es 114. En septiembre de 2019, se descubrió que el número entero más pequeño anterior sin suma de 3 cubos conocida, 42, satisfacía esta ecuación: ^[2]

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}$

En la tabla siguiente se da una solución para n ≤ 78 y n no congruente con 4 o 5 módulo 9. La solución seleccionada es la que es primitiva ( mcd( x , y , z ) = 1 ), no tiene la forma o (ya que son familias infinitas de soluciones), satisface 0 ≤ | x | ≤ | y | ≤ | z | y tiene valores mínimos para | z | y | (probados en este orden). [ 3 ^{] [4] [5]}${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$${\displaystyle c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}}$${\displaystyle (n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}}$

Solo se seleccionan soluciones primitivas, ya que las no primitivas se pueden deducir trivialmente de soluciones para un valor menor de n . Por ejemplo, para n = 24 , la solución resulta de la solución al multiplicar todo por Por lo tanto, esta es otra solución que se selecciona. De manera similar, para n = 48 , se excluye la solución ( x , y , z ) = (-2, -2, 4) , y esta es la solución ( x , y , z ) = (-23, -26, 31) que se selecciona.${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}=24}$${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$${\displaystyle 8=2^{3}.}$

La ecuación x ³ + y ³ = z ³ no tiene soluciones no triviales (es decir, xyz ≠ 0 ) en números enteros. De hecho, no tiene ninguna en números enteros de Eisenstein . ^[6]

Ambas afirmaciones también son verdaderas para la ecuación ^[7] x ³ + y ³ = 3 z ³ .

La suma de los primeros n cubos es el n -ésimo número triangular al cuadrado:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\puntos +n^{3}=(1+2+\puntos +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Demostraciones. Charles Wheatstone  (1854) ofrece una derivación particularmente sencilla, al desarrollar cada cubo de la suma en un conjunto de números impares consecutivos. Comienza dando la identidad

${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ números impares consecutivos}}}.}$

Esa identidad se relaciona con los números triangulares de la siguiente manera:$Estilo de visualización T_{n}$

${\displaystyle n^{3}=\suma _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$

y por lo tanto los sumandos que se forman comienzan justo después de los que forman todos los valores anteriores hasta . Aplicando esta propiedad, junto con otra identidad bien conocida:${\estilo de visualización n^{3}}$${\estilo de visualización 1^{3}}$${\displaystyle (n-1)^{3}}$

${\displaystyle n^{2}=\suma _{k=1}^{n}(2k-1),}$

Obtenemos la siguiente derivación:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

En la literatura matemática más reciente, Stein (1971) utiliza la interpretación de estos números mediante el conteo de rectángulos para formar una prueba geométrica de la identidad (véase también Benjamin, Quinn y Wurtz 2006); observa que también se puede demostrar fácilmente (pero de manera poco informativa) por inducción, y afirma que Toeplitz (1963) proporciona "una interesante prueba árabe antigua". Kanim (2004) proporciona una prueba puramente visual, Benjamin y Orrison (2002) proporcionan dos pruebas adicionales, y Nelsen (1993) ofrece siete pruebas geométricas.

Por ejemplo, la suma de los primeros 5 cubos es el cuadrado del quinto número triangular,

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}}$

Se puede obtener un resultado similar para la suma de los primeros y cubos impares ,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}}$

pero x , y deben satisfacer la ecuación de Pell negativa x ² − 2 y ² = −1 . Por ejemplo, para y = 5 y 29 , entonces,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}}$

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}}$

y así sucesivamente. Además, todo número par perfecto , excepto el más bajo, es la suma de los dos primeros.^{⁠ p −1 / 2 ⁠}
cubos impares ( p = 3, 5, 7, ...):

${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$

${\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}}$

Hay ejemplos de cubos de números en progresión aritmética cuya suma es un cubo:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}}$

El primero de ellos se identifica a veces como el misterioso número de Platón . La fórmula F para hallar la suma de n cubos de números en progresión aritmética con diferencia común d y cubo inicial a ³ ,

${\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}}$

viene dado por

${\displaystyle F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})}$

Una solución paramétrica para

${\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}$

se conoce para el caso especial de d = 1 , o cubos consecutivos, como lo encontró Pagliani en 1829. ^[8]

En la secuencia de números enteros impares 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., el primero es un cubo ( 1 = 1 ³ ); la suma de los dos siguientes es el siguiente cubo ( 3 + 5 = 2 ³ ); la suma de los tres siguientes es el siguiente cubo ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ); y así sucesivamente.

Todo entero positivo puede escribirse como la suma de nueve cubos positivos (o menos). Este límite superior de nueve cubos no puede reducirse porque, por ejemplo, 23 no puede escribirse como la suma de menos de nueve cubos positivos:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ^{3 + 1 3} + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ .

Todo número racional positivo es la suma de tres cubos racionales positivos, ^[9] y hay racionales que no son la suma de dos cubos racionales. ^[10]

En los números reales , la función cubo conserva el orden: los números mayores tienen cubos mayores. En otras palabras, los cubos aumentan (estrictamente) de manera monótona . Además, su codominio es la recta real entera : la función x ↦ x ³  : R → R es una sobreyección (toma todos los valores posibles). Solo tres números son iguales a sus propios cubos: −1 , 0 y 1 . Si −1 < x < 0 o 1 < x , entonces x ³ > x . Si x < −1 o 0 < x < 1 , entonces x ³ < x . Todas las propiedades mencionadas anteriormente se aplican también a cualquier potencia impar superior ( x ⁵ , x ⁷ , ...) de números reales. Las igualdades y desigualdades también son verdaderas en cualquier anillo ordenado .

Los volúmenes de sólidos euclidianos similares se relacionan como cubos de sus tamaños lineales.

En los números complejos , el cubo de un número puramente imaginario también es puramente imaginario. Por ejemplo, i ³ = − i .

La derivada de x ³ es igual a 3 x ² .

Los cubos ocasionalmente tienen la propiedad sobreyectiva en otros cuerpos , como en F _p para tal primo p que p ≠ 1 (mod 3) , ^[11] pero no necesariamente: vea el contraejemplo con racionales anterior. También en F ₇ solo tres elementos 0, ±1 son cubos perfectos, de siete en total. −1, 0 y 1 son cubos perfectos en cualquier lugar y los únicos elementos de un cuerpo iguales a sus propios cubos: x ³ − x = x ( x − 1)( x + 1) .

La determinación de los cubos de números grandes era muy común en muchas civilizaciones antiguas . Los matemáticos mesopotámicos crearon tablillas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas en el período Babilónico Antiguo (siglos XX al XVI a. C.). ^{[12] [13]} Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por el matemático griego Diofanto . ^[14] Herón de Alejandría ideó un método para calcular raíces cúbicas en el siglo I d. C. ^[15] Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas y extraer raíces cúbicas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III d. C. ^[16]