Cobertura ramificada

En matemáticas , una cobertura ramificada es un mapa que es casi un mapa de cobertura , excepto en un conjunto pequeño.

En topología, una función es una cobertura ramificada si es una función que cubre todas partes, excepto un conjunto denso que no está en ninguna parte, conocido como el conjunto de ramificación. Algunos ejemplos incluyen la función de una cuña de círculos a un solo círculo, donde la función es un homeomorfismo en cada círculo.

En geometría algebraica , el término recubrimiento ramificado se utiliza para describir morfismos de una variedad algebraica a otra , siendo las dos dimensiones la misma y la fibra típica de ser de dimensión 0.${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización f}$

En ese caso, habrá un conjunto abierto de (para la topología de Zariski ) que es denso en , tal que la restricción de a (de a , es decir) no está ramificada . ^{[ aclaración necesaria ]} Dependiendo del contexto, podemos tomar esto como homeomorfismo local para la topología fuerte , sobre los números complejos , o como un morfismo étale en general (bajo algunas hipótesis ligeramente más fuertes, sobre planicidad y separabilidad ). Genéricamente, entonces, tal morfismo se asemeja a un espacio de recubrimiento en el sentido topológico. Por ejemplo, si y son ambas superficies compactas de Riemann , solo requerimos que sea holomorfo y no constante, y entonces hay un conjunto finito de puntos de , fuera del cual encontramos un espacio de recubrimiento honesto${\estilo de visualización W'}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización W'}$${\displaystyle V'=f^{-1}(W')}$${\estilo de visualización W'}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización W}$

${\displaystyle V'\to W'}$.

El conjunto de puntos excepcionales se denomina lugar de ramificación (es decir, es el complemento del mayor conjunto abierto posible ). En general, la monodromía se produce según el grupo fundamental de acción sobre las láminas de la cubierta (esta imagen topológica puede precisarse también en el caso de un cuerpo de base general).${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización W'}$${\estilo de visualización W'}$

Los recubrimientos ramificados se construyen fácilmente como extensiones de Kummer , es decir, como extensiones algebraicas del cuerpo de funciones . Las curvas hiperelípticas son ejemplos prototípicos.

Una cubierta no ramificada es entonces la aparición de un lugar de ramificación vacío.

Los morfismos de curvas proporcionan muchos ejemplos de recubrimientos ramificados. Por ejemplo, sea C la curva elíptica de la ecuación

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)=0.}$

La proyección de C sobre el eje x es una cubierta ramificada con un lugar de ramificación dado por

${\displaystyle x(x-1)(x-2)=0.}$

Esto se debe a que para estos tres valores de x la fibra es el punto doble mientras que para cualquier otro valor de x , la fibra consta de dos puntos distintos (sobre un campo algebraicamente cerrado ).${\displaystyle y^{2}=0,}$

Esta proyección induce una extensión algebraica de grado dos de los campos de funciones : Además, si tomamos los campos de fracciones de los anillos conmutativos subyacentes, obtenemos el morfismo

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$

Por lo tanto, esta proyección es una cobertura ramificada de grado 2. Esto se puede homogeneizar para construir una cobertura ramificada de grado 2 de la curva elíptica proyectiva correspondiente a la línea proyectiva.

El ejemplo anterior puede generalizarse a cualquier curva plana algebraica de la siguiente manera. Sea C una curva plana definida por la ecuación f ( x , y ) = 0 , donde f es un polinomio separable e irreducible en dos indeterminados. Si n es el grado de f en y , entonces la fibra consta de n puntos distintos, excepto un número finito de valores de x . Por lo tanto, esta proyección es una cobertura ramificada de grado n .

Los valores excepcionales de x son las raíces del coeficiente de en f , y las raíces del discriminante de f con respecto a y .${\displaystyle y^{n}}$

Sobre una raíz r del discriminante, existe al menos un punto ramificado, que es un punto crítico o un punto singular . Si r es también una raíz del coeficiente de en f , entonces este punto ramificado está " en el infinito ".${\displaystyle y^{n}}$

Sobre una raíz s del coeficiente de en f , la curva C tiene una rama infinita, y la fibra en s tiene menos de n puntos. Sin embargo, si se extiende la proyección a las terminaciones proyectivas de C y el eje x , y si s no es una raíz del discriminante, la proyección se convierte en un recubrimiento sobre un entorno de s .${\displaystyle y^{n}}$

El hecho de que esta proyección sea una extensión ramificada de grado n también se puede ver considerando los cuerpos de funciones . De hecho, esta proyección corresponde a la extensión de cuerpo de grado n

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/f(x,y).}$

También podemos generalizar recubrimientos ramificados de la línea con distintos grados de ramificación. Consideremos un polinomio de la forma

${\displaystyle f(x,y)=g(x)}$

A medida que elegimos diferentes puntos , las fibras dadas por el lugar geométrico de desaparición de varían. En cualquier punto donde la multiplicidad de uno de los términos lineales en la factorización de aumenta en uno, hay una ramificación.${\displaystyle x=\alpha }$${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$

Los morfismos de curvas proporcionan muchos ejemplos de recubrimientos ramificados de esquemas. Por ejemplo, el morfismo de una curva elíptica afín a una línea

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

es una cubierta ramificada con lugar de ramificación dado por

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x]}/{(x(x-1)(x-2))}\right)}$

Esto se debe a que en cualquier punto de la fibra se encuentra el esquema${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [y]}/{(y^{2})}\right)}$

Además, si tomamos los campos fraccionarios de los anillos conmutativos subyacentes, obtenemos el homomorfismo de campo.

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\mathbb {C} (x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},}$

que es una extensión algebraica de grado dos; por lo tanto, obtuvimos una cobertura ramificada de grado 2 de una curva elíptica a la línea afín. Esto se puede homogeneizar para construir un morfismo de una curva elíptica proyectiva a .${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Una curva hiperelíptica proporciona una generalización de la cobertura de grado anterior de la línea afín, al considerar el esquema afín definido por un polinomio de la forma${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle y^{2}-\prod (x-a_{i})}$¿Dónde para?${\displaystyle a_{i}\neq a_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$

Podemos generalizar el ejemplo anterior tomando el morfismo

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

donde no tiene raíces repetidas. Entonces el lugar geométrico de ramificación está dado por${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(f(x))}}\right)}$

donde las fibras están dadas por

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [y]}{(f(y))}}\right)}$

Entonces, obtenemos un morfismo inducido de campos de fracciones.

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\frac {\mathbb {C} (x)[y]}{(f(y)-g(x))}}}$

Existe un isomorfismo de módulo del objetivo con${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\oplus \mathbb {C} (x)\cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{deg}}(f(y))}}$

Por lo tanto la cubierta es de grado .${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$

Las curvas superelípticas son una generalización de las curvas hiperelípticas y una especialización de la familia de ejemplos anterior ya que están dadas por esquemas afines a partir de polinomios de la forma${\displaystyle X/\mathbb {C} }$

${\displaystyle y^{k}-f(x)}$donde y no tiene raíces repetidas.${\displaystyle k>2}$${\displaystyle f(x)}$

Otra clase útil de ejemplos proviene de las coberturas ramificadas del espacio proyectivo. Dado un polinomio homogéneo podemos construir una cobertura ramificada de con lugar geométrico de ramificación${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{f(x)}}\right)}$

considerando el morfismo de los esquemas proyectivos

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}][y]}{y^{{\text{deg}}(f)}-f(x)}}\right)\to \mathbb {P} ^{n}}$

Nuevamente, esto será una cobertura de grado .${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$

Las cubiertas ramificadas vienen con un grupo de simetría de transformaciones . Dado que el grupo de simetría tiene estabilizadores en los puntos del lugar geométrico de ramificación, las cubiertas ramificadas se pueden utilizar para construir ejemplos de orbifolds o pilas de Deligne-Mumford .${\displaystyle C\to X}$${\displaystyle G}$

• Morfismo de Étale
• Plegado orbi
• Pila (matemáticas)

• Dimca, Alexandru (1992), Singularidades y topología de hipersuperficies , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97709-6
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Osserman, Brian, Cubiertas ramificadas de la esfera de Riemann (PDF)