Cálculo de Kirby

En matemáticas , el cálculo de Kirby en topología geométrica , llamado así por Robion Kirby , es un método para modificar enlaces enmarcados en la 3-esfera usando un conjunto finito de movimientos, los movimientos de Kirby . Usando la teoría de Cerf de cuatro dimensiones , demostró que si M y N son 3-variedades , resultantes de la cirugía de Dehn en enlaces enmarcados L y J respectivamente, entonces son homeomorfos si y solo si L y J están relacionados por una secuencia de movimientos de Kirby. Según el teorema de Lickorish-Wallace, cualquier 3-variedad orientable cerrada se obtiene mediante dicha cirugía en algún enlace en la 3-esfera.

Existe cierta ambigüedad en la literatura sobre el uso preciso del término "movimientos de Kirby". Diferentes presentaciones del "cálculo de Kirby" tienen un conjunto diferente de movimientos y a estos a veces se los llama movimientos de Kirby. La formulación original de Kirby involucraba dos tipos de movimiento, el "blow-up" y el "handle slide"; Roger Fenn y Colin Rourke exhibieron una construcción equivalente en términos de un solo movimiento, el movimiento Fenn-Rourke, que aparece en muchas exposiciones y extensiones del cálculo de Kirby. El libro de Dale Rolfsen , Knots and Links , del cual muchos topólogos han aprendido el cálculo de Kirby, describe un conjunto de dos movimientos: 1) eliminar o agregar un componente con coeficiente de cirugía infinito 2) torcer a lo largo de un componente no anudado y modificar los coeficientes de cirugía apropiadamente (esto se llama el giro de Rolfsen). Esto permite una extensión del cálculo de Kirby a las cirugías racionales.

También existen varios trucos para modificar los diagramas de cirugía. Uno de esos movimientos útiles es el mate .

Se utiliza un conjunto extendido de diagramas y movimientos para describir las variedades de 4 elementos . Un enlace enmarcado en la esfera de 3 elementos codifica instrucciones para unir 2 asas a la bola de 4 elementos. (El límite tridimensional de esta variedad es la interpretación de la variedad de 3 elementos del diagrama de enlace mencionado anteriormente). Las 1 asas se denotan por cualquiera de los dos

1. un par de 3 bolas (la región de unión del mango 1) o, más comúnmente,
2. Círculos sin anudar con puntos.

El punto indica que se debe extirpar un vecindario de un disco estándar de 2 con límite en el círculo punteado del interior de la bola 4. ^[1] Extirpar este asa de 2 es equivalente a agregar un asa de 1; las asas de 3 y 4 generalmente no se indican en el diagrama.

• Una variedad 4-cerrada y suave se describe generalmente mediante una descomposición en asa .
• Un mango 0 es simplemente una bola y el mapa adjunto es una unión disjunta.
• Se fija un mango a lo largo de dos bolas de 3 piezas disjuntas .
• Un mango de 2 asas está unido a lo largo de un toro sólido ; dado que este toro sólido está incrustado en una variedad de 3 , existe una relación entre las descomposiciones de mangos en variedades de 4 y la teoría de nudos en variedades de 3.
• Se puede cancelar un par de asas con índices que difieren en 1, cuyos núcleos se conectan entre sí de una manera suficientemente simple, sin cambiar la variedad subyacente. De manera similar, se puede crear un par de cancelaciones de este tipo.

Dos descomposiciones diferentes de cuerpos de manijas suaves de una variedad 4 suave están relacionadas por una secuencia finita de isotopías de los mapas adjuntos y la creación/cancelación de pares de manijas.

• Exótico${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Kirby, Robion (1978). "Un cálculo para enlaces enmarcados en S ³ ". Inventiones Mathematicae . 45 (1): 35–56. Bibcode :1978InMat..45...35K. doi :10.1007/BF01406222. MR  0467753. S2CID  120770295.
• Fenn, Roger; Rourke, Colin (1979). "Sobre el cálculo de enlaces de Kirby". Topología . 18 (1): 1–15. doi : 10.1016/0040-9383(79)90010-7 . MR  0528232.
• Gompf, Robert ; Stipsicz, András (1999). 4-Variedades y cálculo de Kirby . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 20. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0994-6.Señor 1707327  .