Conjetura

En matemáticas , una conjetura es una conclusión o proposición que se ofrece de manera tentativa sin prueba . ^{[1] [2] [3]} Algunas conjeturas, como la hipótesis de Riemann o la conjetura de Fermat (ahora un teorema , demostrado en 1995 por Andrew Wiles ), han dado forma a gran parte de la historia matemática a medida que se desarrollan nuevas áreas de las matemáticas para probarlas. ^[4]

Las matemáticas formales se basan en la verdad demostrable . En matemáticas, cualquier número de casos que apoyen una conjetura cuantificada universalmente , sin importar cuán grande sea, es insuficiente para establecer la veracidad de la conjetura, ya que un solo contraejemplo podría derribarla inmediatamente. Las revistas matemáticas a veces publican los resultados menores de equipos de investigación que han extendido la búsqueda de un contraejemplo más allá de lo que se hizo anteriormente. Por ejemplo, la conjetura de Collatz , que se refiere a si ciertas secuencias de números enteros terminan o no , se ha probado para todos los números enteros hasta 1,2 × 10 ¹² (1,2 billones). Sin embargo, el hecho de no encontrar un contraejemplo después de una búsqueda exhaustiva no constituye una prueba de que la conjetura sea verdadera, porque la conjetura podría ser falsa pero con un contraejemplo mínimo muy grande.

Sin embargo, los matemáticos suelen considerar que una conjetura está fuertemente respaldada por evidencias aunque todavía no se haya demostrado. Esa evidencia puede ser de varios tipos, como la verificación de sus consecuencias o fuertes interconexiones con resultados conocidos. ^[5]

Una conjetura se considera probada sólo cuando se ha demostrado que es lógicamente imposible que sea falsa. Existen varios métodos para hacerlo; véase métodos de demostración matemática para más detalles.

Un método de prueba, aplicable cuando sólo hay un número finito de casos que podrían dar lugar a contraejemplos, se conoce como " fuerza bruta ": en este enfoque, se consideran todos los casos posibles y se demuestra que no dan contraejemplos. En algunas ocasiones, el número de casos es bastante grande, en cuyo caso una prueba de fuerza bruta puede requerir como cuestión práctica el uso de un algoritmo informático para comprobar todos los casos. Por ejemplo, la validez de las pruebas de fuerza bruta de 1976 y 1997 del teorema de los cuatro colores por ordenador fue puesta en duda inicialmente, pero finalmente fue confirmada en 2005 por un software de prueba de teoremas .

Cuando una conjetura ha sido demostrada , ya no es una conjetura sino un teorema . Muchos teoremas importantes fueron alguna vez conjeturas, como el teorema de geometrización (que resolvió la conjetura de Poincaré ), el último teorema de Fermat y otros.

Las conjeturas refutadas mediante contraejemplos se denominan a veces conjeturas falsas (cf. la conjetura de Pólya y la conjetura de la suma de potencias de Euler ). En el caso de esta última, el primer contraejemplo encontrado para el caso n=4 involucraba números del orden de millones, aunque posteriormente se ha descubierto que el contraejemplo mínimo es en realidad más pequeño.

No todas las conjeturas terminan siendo verdaderas o falsas. La hipótesis del continuo , que intenta determinar la cardinalidad relativa de ciertos conjuntos infinitos , finalmente demostró ser independiente del conjunto generalmente aceptado de axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, es posible adoptar esta afirmación, o su negación, como un nuevo axioma de manera consistente (de manera muy similar a como el postulado de las paralelas de Euclides puede tomarse como verdadero o falso en un sistema axiomático para la geometría).

En este caso, si una prueba utiliza esta afirmación, los investigadores a menudo buscarán una nueva prueba que no requiera la hipótesis (de la misma manera que es deseable que las afirmaciones en geometría euclidiana se demuestren utilizando solo los axiomas de geometría neutra, es decir, sin el postulado de las paralelas). La única excepción importante a esto en la práctica es el axioma de elección , ya que la mayoría de los investigadores generalmente no se preocupan de si un resultado lo requiere, a menos que estén estudiando este axioma en particular.

A veces, una conjetura se denomina hipótesis cuando se utiliza con frecuencia y repetidamente como suposición en las demostraciones de otros resultados. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann es una conjetura de la teoría de números que, entre otras cosas, hace predicciones sobre la distribución de los números primos . Pocos teóricos de números dudan de que la hipótesis de Riemann sea verdadera. De hecho, en previsión de su eventual demostración, algunos incluso han procedido a desarrollar más demostraciones que dependen de la verdad de esta conjetura. Estas se denominan demostraciones condicionales : las conjeturas asumidas aparecen en las hipótesis del teorema, por el momento.

Sin embargo, estas "pruebas" se desmoronarían si resultara que la hipótesis es falsa, por lo que existe un interés considerable en verificar la verdad o falsedad de conjeturas de este tipo.

En teoría de números , el último teorema de Fermat (a veces llamado conjetura de Fermat , especialmente en textos más antiguos) establece que no hay tres números enteros positivos , y pueden satisfacer la ecuación para cualquier valor entero mayor que dos. ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\estilo de visualización n}$

Este teorema fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637 en el margen de una copia de Arithmetica , donde afirmó que tenía una prueba que era demasiado grande para caber en el margen. ^[6] La primera prueba exitosa fue publicada en 1994 por Andrew Wiles , y publicada formalmente en 1995, después de 358 años de esfuerzo por parte de los matemáticos. El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX, y la prueba del teorema de modularidad en el siglo XX. Es uno de los teoremas más notables en la historia de las matemáticas , y antes de su prueba estaba en el Libro Guinness de los récords mundiales por "los problemas matemáticos más difíciles". ^[7]

En matemáticas , el teorema de los cuatro colores , o teorema del mapa de los cuatro colores, establece que dada cualquier separación de un plano en regiones contiguas, produciendo una figura llamada mapa , no se requieren más de cuatro colores para colorear las regiones del mapa, de modo que no haya dos regiones adyacentes que tengan el mismo color. Dos regiones se denominan adyacentes si comparten un límite común que no es una esquina, donde las esquinas son los puntos compartidos por tres o más regiones. ^[8] Por ejemplo, en el mapa de los Estados Unidos de América, Utah y Arizona son adyacentes, pero Utah y Nuevo México, que solo comparten un punto que también pertenece a Arizona y Colorado, no lo son.

Möbius mencionó el problema en sus conferencias ya en 1840. ^[9] La conjetura fue propuesta por primera vez el 23 de octubre de 1852 ^[10] cuando Francis Guthrie , mientras intentaba colorear el mapa de los condados de Inglaterra, se dio cuenta de que solo se necesitaban cuatro colores diferentes. El teorema de los cinco colores , que tiene una prueba elemental corta, establece que cinco colores son suficientes para colorear un mapa y fue demostrado a fines del siglo XIX; ^[11] sin embargo, demostrar que cuatro colores son suficientes resultó ser significativamente más difícil. Una serie de pruebas falsas y contraejemplos falsos han aparecido desde la primera declaración del teorema de los cuatro colores en 1852.

El teorema de los cuatro colores fue finalmente demostrado en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken . Fue el primer teorema importante que se demostró utilizando una computadora . El enfoque de Appel y Haken comenzó mostrando que existe un conjunto particular de 1.936 mapas, cada uno de los cuales no puede ser parte de un contraejemplo de tamaño más pequeño para el teorema de los cuatro colores (es decir, si aparecieran, se podría hacer un contraejemplo más pequeño). Appel y Haken utilizaron un programa de computadora de propósito especial para confirmar que cada uno de estos mapas tenía esta propiedad. Además, cualquier mapa que potencialmente podría ser un contraejemplo debe tener una parte que se parezca a uno de estos 1.936 mapas. Demostrando esto con cientos de páginas de análisis manual, Appel y Haken concluyeron que no existe un contraejemplo más pequeño porque cualquiera debe contener, pero no contiene, uno de estos 1.936 mapas. Esta contradicción significa que no hay contraejemplos en absoluto y que, por lo tanto, el teorema es verdadero. Inicialmente, su prueba no fue aceptada por los matemáticos porque la prueba asistida por computadora no era factible para que un humano la verificara a mano. ^[12] Sin embargo, desde entonces la prueba ha ganado una aceptación más amplia, aunque aún persisten dudas. ^[13]

La Hauptvermutung (conjetura principal en alemán) de la topología geométrica es la conjetura de que dos triangulaciones cualesquiera de un espacio triangulable tienen un refinamiento común, una única triangulación que es una subdivisión de ambas. Fue formulada originalmente en 1908 por Steinitz y Tietze . ^[14]

Ahora se sabe que esta conjetura es falsa. La versión no múltiple fue refutada por John Milnor ^[15] en 1961 utilizando la torsión de Reidemeister .

La versión de variedad es verdadera en dimensiones m ≤ 3. Los casos m = 2 y 3 fueron demostrados por Tibor Radó y Edwin E. Moise ^[16] en los años 1920 y 1950, respectivamente.

En matemáticas , las conjeturas de Weil fueron unas propuestas muy influyentes de André Weil  (1949) sobre las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales ) derivadas del conteo del número de puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos finitos .

Una variedad V sobre un cuerpo finito con q elementos tiene un número finito de puntos racionales , así como puntos sobre cada cuerpo finito con q ^k elementos que contengan ese cuerpo. La función generadora tiene coeficientes derivados de la cantidad N _k de puntos sobre el cuerpo (esencialmente único) con q ^k elementos.

Weil conjeturó que tales funciones zeta deberían ser funciones racionales , deberían satisfacer una forma de ecuación funcional y deberían tener sus ceros en lugares restringidos. Las dos últimas partes fueron modeladas de manera bastante consciente sobre la función zeta de Riemann y la hipótesis de Riemann . La racionalidad fue demostrada por Dwork (1960), la ecuación funcional por Grothendieck (1965) y el análogo de la hipótesis de Riemann fue demostrado por Deligne (1974).

En matemáticas , la conjetura de Poincaré es un teorema sobre la caracterización de la 3-esfera , que es la hiperesfera que limita la bola unitaria en el espacio de cuatro dimensiones. La conjetura establece que:

Toda variedad 3- cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la 3-esfera.

Una forma equivalente de la conjetura implica una forma más burda de equivalencia que el homeomorfismo, llamada equivalencia de homotopía : si una 3-variedad es homotópicamente equivalente a la 3-esfera, entonces es necesariamente homeomorfa a ella.

El teorema, que Henri Poincaré formuló originalmente en 1904, se refiere a un espacio que, localmente, parece un espacio tridimensional ordinario, pero que es conexo, de tamaño finito y carece de cualquier límite (una variedad tridimensional cerrada ). La conjetura de Poincaré afirma que si dicho espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle del espacio puede ajustarse continuamente hasta un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Hace tiempo que se conoce un resultado análogo en dimensiones superiores.

Después de casi un siglo de esfuerzos por parte de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una prueba de la conjetura en tres artículos disponibles en 2002 y 2003 en arXiv . La prueba siguió el programa de Richard S. Hamilton para utilizar el flujo de Ricci para intentar resolver el problema. Hamilton introdujo más tarde una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado flujo de Ricci con cirugía para extirpar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de forma controlada, pero no pudo demostrar que este método "convergía" en tres dimensiones. ^[17] Perelman completó esta parte de la prueba. Varios equipos de matemáticos han verificado que la prueba de Perelman es correcta.

La conjetura de Poincaré, antes de ser demostrada, era una de las cuestiones abiertas más importantes en topología .

En matemáticas, la hipótesis de Riemann , propuesta por Bernhard Riemann (1859), es una conjetura según la cual todos los ceros  no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2. El nombre también se utiliza para algunos análogos estrechamente relacionados, como la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos .

La hipótesis de Riemann implica resultados sobre la distribución de los números primos . Junto con las generalizaciones adecuadas, algunos matemáticos la consideran el problema no resuelto más importante en matemáticas puras . ^[18] La hipótesis de Riemann, junto con la conjetura de Goldbach , es parte del octavo problema de Hilbert en la lista de 23 problemas no resueltos de David Hilbert ; también es uno de los Problemas del Premio del Milenio del Instituto de Matemáticas Clay .

El problema P versus NP es un importante problema sin resolver en la ciencia informática . Informalmente, pregunta si cada problema cuya solución puede ser verificada rápidamente por una computadora también puede ser resuelto rápidamente por una computadora; se conjetura ampliamente que la respuesta es no. Básicamente fue mencionado por primera vez en una carta de 1956 escrita por Kurt Gödel a John von Neumann . Gödel preguntó si un cierto problema NP-completo podría ser resuelto en tiempo cuadrático o lineal. ^[19] El enunciado preciso del problema P=NP fue introducido en 1971 por Stephen Cook en su artículo seminal "La complejidad de los procedimientos de demostración de teoremas" ^[20] y es considerado por muchos como el problema abierto más importante en el campo. ^[21] Es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio seleccionados por el Instituto de Matemáticas Clay para llevar un premio de US$1,000,000 para la primera solución correcta.

• Conjetura de Goldbach
• La conjetura de los primos gemelos
• La conjetura de Collatz
• La conjetura de Manin
• La conjetura de Maldacena
• La conjetura de Euler , propuesta por Euler en el siglo XVIII pero para la cual se encontraron contraejemplos para un cierto número de exponentes (empezando con n=4) a partir de mediados del siglo XX.
• Las conjeturas de Hardy-Littlewood son un par de conjeturas sobre la distribución de los números primos, la primera de las cuales amplía la conjetura de los primos gemelos antes mencionada. Ninguna de las dos ha sido probada ni refutada, pero se ha demostrado que ambas no pueden ser verdaderas simultáneamente (es decir, al menos una debe ser falsa). No se ha demostrado cuál es falsa, pero se cree ampliamente que la primera conjetura es verdadera y la segunda es falsa. ^[22]
• El programa Langlands ^[23] es una red de largo alcance de estas ideas de " conjeturas unificadoras " que vinculan diferentes subcampos de las matemáticas (por ejemplo, entre la teoría de números y la teoría de representación de grupos de Lie ). Algunas de estas conjeturas ya han sido demostradas.

Karl Popper fue pionero en el uso del término "conjetura" en la filosofía científica . ^[24] La conjetura está relacionada con la hipótesis , que en ciencia se refiere a una conjetura comprobable.

• Hipótesis audaz
• Estudios de futuros
• Hipótesis
• Lista de conjeturas
• Máquina de Ramanujan

• Deligne, Pierre (1974), "La conjecture de Weil. I", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 43 (43): 273–307, doi :10.1007/BF02684373, ISSN  1618-1913, SEÑOR  0340258, S2CID  123139343
• Dwork, Bernard (1960), "Sobre la racionalidad de la función zeta de una variedad algebraica", American Journal of Mathematics , 82 (3), American Journal of Mathematics, vol. 82, núm. 3: 631–648, doi :10.2307/2372974, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372974, MR  0140494
• Grothendieck, Alexander (1995) [1965], "Formule de Lefschetz et racionalité des fonctions L", Séminaire Bourbaki, vol. 9, París: Société Mathématique de France , págs. 41–55, MR  1608788

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