Conjunto convexo

En geometría , un conjunto de puntos es convexo si contiene todos los segmentos de línea entre dos puntos del conjunto. De manera equivalente, un conjunto convexo o una región convexa es un conjunto que interseca todas las líneas de un segmento de línea , un único punto o el conjunto vacío . ^{[1] [2]} Por ejemplo, un cubo sólido es un conjunto convexo, pero cualquier cosa que sea hueca o tenga una sangría, por ejemplo, una forma de medialuna , no es convexa.

El límite de un conjunto convexo en el plano es siempre una curva convexa . La intersección de todos los conjuntos convexos que contienen un subconjunto dado A del espacio euclidiano se denomina envoltura convexa de A. Es el conjunto convexo más pequeño que contiene a A.

Una función convexa es una función de valor real definida en un intervalo con la propiedad de que su epígrafe (el conjunto de puntos sobre o por encima del gráfico de la función) es un conjunto convexo. La minimización convexa es un subcampo de la optimización que estudia el problema de minimizar funciones convexas sobre conjuntos convexos. La rama de las matemáticas dedicada al estudio de las propiedades de los conjuntos convexos y las funciones convexas se denomina análisis convexo .

Los espacios en los que se definen conjuntos convexos incluyen los espacios euclidianos , los espacios afines sobre los números reales y ciertas geometrías no euclidianas . La noción de un conjunto convexo en espacios euclidianos se puede generalizar de varias maneras modificando su definición, por ejemplo, restringiendo los segmentos de línea que se requiere que contenga dicho conjunto.

Sea S un espacio vectorial o un espacio afín sobre los números reales o, más generalmente, sobre algún cuerpo ordenado (esto incluye los espacios euclidianos, que son espacios afines). Un subconjunto C de S es convexo si, para todo x e y en C , el segmento de línea que une x e y está incluido en C .

Esto significa que la combinación afín (1 − t ) x + ty pertenece a C para todo x,y en C y t en el intervalo [0, 1] . Esto implica que la convexidad es invariante bajo transformaciones afines . Además, implica que un conjunto convexo en un espacio vectorial topológico real o complejo está conexo por trayectorias (y, por lo tanto, también conexo ).

Un conjunto C esestrictamente convexo si cada punto del segmento de línea que conectaxey, excepto los puntos finales, está dentro delinterior topológicodeC.Un subconjunto convexo cerrado es estrictamente convexo si y solo si cada uno de suspuntos límitees unpunto extremo.^[3]

Un conjunto C es absolutamente convexo si es convexo y equilibrado .

Los subconjuntos convexos de R (el conjunto de los números reales) son los intervalos y los puntos de R. Algunos ejemplos de subconjuntos convexos del plano euclidiano son los polígonos sólidos regulares , los triángulos sólidos y las intersecciones de triángulos sólidos. Algunos ejemplos de subconjuntos convexos de un espacio tridimensional euclidiano son los sólidos de Arquímedes y los sólidos platónicos . Los poliedros de Kepler-Poinsot son ejemplos de conjuntos no convexos.

Un conjunto que no es convexo se denomina conjunto no convexo . Un polígono que no es un polígono convexo a veces se denomina polígono cóncavo ^[4] y algunas fuentes usan de manera más general el término conjunto cóncavo para referirse a un conjunto no convexo ^[5] , pero la mayoría de las autoridades prohíben este uso ^{[6] [7]}

El complemento de un conjunto convexo, como el epígrafe de una función cóncava , a veces se denomina conjunto convexo inverso , especialmente en el contexto de la optimización matemática . ^[8]

Dados r puntos u ₁ , ..., u _r en un conjunto convexo S , y r números no negativos λ ₁ , ..., λ _r tales que λ ₁ + ... + λ _r = 1 , la combinación afín pertenece a S . Como la definición de un conjunto convexo es el caso r = 2 , esta propiedad caracteriza a los conjuntos convexos.$${\displaystyle \suma _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}}$$

Una combinación afín de este tipo se denomina combinación convexa de u ₁ , ..., u _r .

La colección de subconjuntos convexos de un espacio vectorial, un espacio afín o un espacio euclidiano tiene las siguientes propiedades: ^{[9] [10]}

1. El conjunto vacío y todo el espacio son convexos.
2. La intersección de cualquier colección de conjuntos convexos es convexa.
3. La unión de una secuencia de conjuntos convexos es convexa si forman una cadena no decreciente para su inclusión. Para esta propiedad, la restricción a cadenas es importante, ya que la unión de dos conjuntos convexos no necesita ser convexa.

Los conjuntos convexos cerrados son conjuntos convexos que contienen todos sus puntos límite . Se pueden caracterizar como las intersecciones de semiespacios cerrados (conjuntos de puntos en el espacio que se encuentran sobre y a un lado de un hiperplano ).

De lo que se acaba de decir, es claro que tales intersecciones son convexas, y también serán conjuntos cerrados. Para demostrar lo contrario, es decir, que todo conjunto convexo cerrado puede ser representado como tal intersección, se necesita el teorema del hiperplano de apoyo en la forma que para un conjunto convexo cerrado dado C y un punto P fuera de él, hay un semiespacio cerrado H que contiene a C y no a P . El teorema del hiperplano de apoyo es un caso especial del teorema de Hahn-Banach del análisis funcional .

Sea C un cuerpo convexo en el plano (un conjunto convexo cuyo interior no está vacío). Podemos inscribir un rectángulo r en C tal que una copia homotética R de r esté circunscrita a C. La razón de homotecia positiva es como máximo 2 y: ^[11]$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {Área} (R)\leq \operatorname {Área} (C)\leq 2\cdot \operatorname {Área} (r)}$$

El conjunto de todos los cuerpos convexos planos puede parametrizarse en términos del diámetro del cuerpo convexo D , su radio interno r (el círculo más grande contenido en el cuerpo convexo) y su radio circunscrito R (el círculo más pequeño que contiene el cuerpo convexo). De hecho, este conjunto puede describirse mediante el conjunto de desigualdades dado por ^{[12] [13]} y puede visualizarse como la imagen de la función g que mapea un cuerpo convexo al punto R ² dado por ( r / R , D /2 ​​R ). La imagen de esta función se conoce como diagrama de Blachke-Santaló ( r , D , R ). ^[13]${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$ $${\displaystyle 2r\leq D\leq 2R}$$$${\displaystyle R\leq {\frac {\sqrt {3}}{3}}D}$$$${\displaystyle r+R\leq D}$$$${\displaystyle D^{2}{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}}\leq 2R(2R+{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}})}$$

Alternativamente, el conjunto también puede parametrizarse por su ancho (la distancia más pequeña entre dos hiperplanos de soporte paralelos diferentes), perímetro y área. ^{[12] [13]}${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$

Sea X un espacio vectorial topológico y convexo. ${\displaystyle C\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {Cl} C}$y ambos son convexos (es decir, el cierre y el interior de los conjuntos convexos son convexos).${\displaystyle \operatorname {Int} C}$
• Si y entonces (donde ).${\displaystyle a\in \operatorname {Int} C}$${\displaystyle b\in \operatorname {Cl} C}$${\displaystyle [a,b[\,\subseteq \operatorname {Int} C}$${\displaystyle [a,b[\,:=\left\{(1-r)a+rb:0\leq r<1\right\}}$
• Si entonces:${\displaystyle \operatorname {Int} C\neq \emptyset }$
  • ${\displaystyle \operatorname {cl} \left(\operatorname {Int} C\right)=\operatorname {Cl} C}$, y
  • ${\displaystyle \operatorname {Int} C=\operatorname {Int} \left(\operatorname {Cl} C\right)=C^{i}}$, donde es el interior algebraico de C .${\displaystyle C^{i}}$

Cada subconjunto A del espacio vectorial está contenido dentro de un conjunto convexo más pequeño (llamado envoltura convexa de A ), es decir, la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a A. El operador de envoltura convexa Conv() tiene las propiedades características de un operador de envoltura :

• extensiva : S  ⊆ Conv( S ) ,
• no decreciente : S  ⊆  T implica que Conv( S ) ⊆ Conv( T ) , y
• idempotente : Conv(Conv( S )) = Conv( S ) .

La operación de envoltura convexa es necesaria para que el conjunto de conjuntos convexos forme una red , en la que la operación " unir " es la envoltura convexa de la unión de dos conjuntos convexos. La intersección de cualquier colección de conjuntos convexos es en sí misma convexa, por lo que los subconjuntos convexos de un espacio vectorial (real o complejo) forman una red completa .$${\displaystyle \operatorname {Conv} (S)\vee \operatorname {Conv} (T)=\operatorname {Conv} (S\cup T)=\operatorname {Conv} {\bigl (}\operatorname {Conv} (S)\cup \operatorname {Conv} (T){\bigr )}.}$$

En un espacio vectorial real, la suma de Minkowski de dos conjuntos (no vacíos), S ₁ y S ₂ , se define como el conjunto S ₁  +  S ₂ formado por la adición de vectores elemento por elemento de los conjuntos sumando. De manera más general, la suma de Minkowski de una familia finita de conjuntos (no vacíos) S _n es el conjunto formado por la adición de vectores elemento por elemento.$${\displaystyle S_{1}+S_{2}=\{x_{1}+x_{2}:x_{1}\in S_{1},x_{2}\in S_{2}\}.}$$$${\displaystyle \sum _{n}S_{n}=\left\{\sum _{n}x_{n}:x_{n}\in S_{n}\right\}.}$$

Para la adición de Minkowski, el conjunto cero  {0} que contiene solo el vector cero  0 tiene una importancia especial : para cada subconjunto no vacío S de un espacio vectorial en terminología algebraica, {0} es el elemento identidad de la adición de Minkowski (en la colección de conjuntos no vacíos). ^[14]$${\displaystyle S+\{0\}=S;}$$

La adición de Minkowski se comporta bien con respecto a la operación de tomar envolturas convexas, como lo demuestra la siguiente proposición:

Sean S ₁ , S ₂ subconjuntos de un espacio vectorial real, la envoltura convexa de su suma de Minkowski es la suma de Minkowski de sus envolturas convexas$${\displaystyle \operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).}$$

Este resultado se aplica de forma más general a cada colección finita de conjuntos no vacíos:$${\displaystyle {\text{Conv}}\left(\sum _{n}S_{n}\right)=\sum _{n}{\text{Conv}}\left(S_{n}\right).}$$

En terminología matemática, las operaciones de suma de Minkowski y de formación de envolturas convexas son operaciones conmutativas . ^{[15] [16]}

La suma de Minkowski de dos conjuntos compactos convexos es compacta. La suma de un conjunto compacto convexo y un conjunto cerrado convexo es cerrada. ^[17]

El siguiente teorema famoso, demostrado por Dieudonné en 1966, da una condición suficiente para que la diferencia de dos subconjuntos convexos cerrados sea cerrada. ^[18] Utiliza el concepto de cono de recesión de un subconjunto convexo no vacío S , definido como: donde este conjunto es un cono convexo que contiene y satisface . Nótese que si S es cerrado y convexo entonces es cerrado y para todo ,$${\displaystyle \operatorname {rec} S=\left\{x\in X\,:\,x+S\subseteq S\right\},}$$${\displaystyle 0\in X}$${\displaystyle S+\operatorname {rec} S=S}$${\displaystyle \operatorname {rec} S}$${\displaystyle s_{0}\in S}$$${\displaystyle \operatorname {rec} S=\bigcap _{t>0}t(S-s_{0}).}$$

Teorema de Dieudonné. Sean A y B subconjuntos no vacíos, cerrados y convexos de un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que sea un subespacio lineal. Si A o B son localmente compactos , entonces A  −  B es cerrado.${\displaystyle \operatorname {rec} A\cap \operatorname {rec} B}$

La noción de convexidad en el espacio euclidiano puede generalizarse modificando la definición en algunos aspectos. Se utiliza el nombre común de "convexidad generalizada" porque los objetos resultantes conservan ciertas propiedades de los conjuntos convexos.

Sea C un conjunto en un espacio vectorial real o complejo. C es convexo en estrella (tiene forma de estrella) si existe un x ₀ en C tal que el segmento de recta desde x ₀ hasta cualquier punto y en C está contenido en C . Por lo tanto, un conjunto convexo no vacío es siempre convexo en estrella, pero un conjunto convexo en estrella no es siempre convexo.

Un ejemplo de convexidad generalizada es la convexidad ortogonal . ^[19]

Un conjunto S en el espacio euclidiano se denomina ortogonalmente convexo u ortoconvexo si cualquier segmento paralelo a cualquiera de los ejes de coordenadas que conecta dos puntos de S se encuentra totalmente dentro de S. Es fácil demostrar que una intersección de cualquier conjunto de conjuntos ortoconvexos es ortoconvexo. También son válidas otras propiedades de los conjuntos convexos.

La definición de un conjunto convexo y de una envoltura convexa se extiende naturalmente a geometrías que no son euclidianas al definir un conjunto geodésicamente convexo como aquel que contiene las geodésicas que unen dos puntos cualesquiera en el conjunto.

La convexidad se puede extender para un conjunto totalmente ordenado X dotado de la topología de orden . ^[20]

Sea Y ⊆ X . El subespacio Y es un conjunto convexo si para cada par de puntos a , b en Y tales que a ≤ b , el intervalo [ a , b ] = { x ∈ X | a ≤ x ≤ b } está contenido en Y . Es decir, Y es convexo si y solo si para todo a , b en Y , a ≤ b implica [ a , b ] ⊆ Y .

Un conjunto convexo no es conexo en general: un contraejemplo lo da el subespacio {1,2,3} en Z , que es convexo y no conexo.

La noción de convexidad puede generalizarse a otros objetos, si se seleccionan ciertas propiedades de convexidad como axiomas .

Dado un conjunto X , una convexidad sobre X es una colección 𝒞 de subconjuntos de X que satisfacen los siguientes axiomas: ^{[9] [10] [21]}

1. El conjunto vacío y X están en 𝒞
2. La intersección de cualquier colección de 𝒞 está en 𝒞 .
3. La unión de una cadena (con respecto a la relación de inclusión ) de elementos de 𝒞 está en 𝒞 .

Los elementos de 𝒞 se denominan conjuntos convexos y el par ( X , 𝒞 ) se denomina espacio de convexidad . Para la convexidad ordinaria, se cumplen los dos primeros axiomas y el tercero es trivial.

Para una definición alternativa de convexidad abstracta, más adecuada a la geometría discreta , véanse las geometrías convexas asociadas con los antimatroides .

La convexidad se puede generalizar como una estructura algebraica abstracta: un espacio es convexo si es posible tomar combinaciones convexas de puntos.

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• "Subconjunto convexo". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Conferencias sobre conjuntos convexos, notas de Niels Lauritzen, en la Universidad de Aarhus , marzo de 2010.