Constante gravitacional

La constante gravitacional es una constante física empírica que interviene en el cálculo de los efectos gravitacionales en la ley de gravitación universal de Sir Isaac Newton y en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein . También se la conoce como constante gravitacional universal , constante gravitacional newtoniana o constante gravitacional de Cavendish , ^[a] denotada por la letra mayúscula G.

En la ley de Newton, es la constante de proporcionalidad que relaciona la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos con el producto de sus masas por el inverso del cuadrado de su distancia . En las ecuaciones de campo de Einstein , cuantifica la relación entre la geometría del espacio-tiempo y el tensor de energía-momento (también denominado tensor de tensión-energía ).

El valor medido de la constante se conoce con cierta certeza hasta cuatro dígitos significativos. En unidades del SI , su valor es aproximadamente6,6743 × 10 ⁻¹¹  N⋅m ² /kg ² . ^[1]

La notación moderna de la ley de Newton que incluye G fue introducida en la década de 1890 por CV Boys . La primera medición implícita con una precisión de aproximadamente el 1 % se atribuye a Henry Cavendish en un experimento de 1798. [ ^b]

Según la ley de gravitación universal de Newton , la magnitud de la fuerza de atracción ( F ) entre dos cuerpos, cada uno con una distribución de densidad esféricamente simétrica, es directamente proporcional al producto de sus masas , m ₁ y m ₂ , e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia , r , dirigida a lo largo de la línea que conecta sus centros de masa : La constante de proporcionalidad , G , en esta formulación no relativista es la constante gravitacional. Coloquialmente, la constante gravitacional también se llama "Gran G", distinta de "pequeña g" ( g ), que es el campo gravitacional local de la Tierra (también conocido como aceleración de caída libre). ^{[2] [3]} Donde es la masa de la Tierra y es el radio de la Tierra , las dos cantidades están relacionadas por:$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.}$$${\displaystyle M_{\oplus}}$${\displaystyle r_{\oplus}}$$${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r_{\oplus }^{2}}}.}$$

La constante gravitacional aparece en las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general , ^{[4] [5]} donde G _μν es el tensor de Einstein (no la constante gravitacional a pesar del uso de G ), Λ es la constante cosmológica , g _μν es el tensor métrico , T _μν es el tensor de tensión-energía , y κ es la constante gravitacional de Einstein , una constante introducida originalmente por Einstein que está directamente relacionada con la constante de gravitación newtoniana: ^{[5] [6] [c]}$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$$${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\aproximadamente 2.076647(46)\times 10^{-43}\mathrm {\,N^{-1}} .}$$

La constante gravitacional es una constante física que es difícil de medir con alta precisión. ^[7] Esto se debe a que la fuerza gravitacional es una fuerza extremadamente débil en comparación con otras fuerzas fundamentales a escala de laboratorio. ^[d]

En unidades del SI , el valor recomendado por CODATA de la constante gravitacional es: ^[1]

${\estilo de visualización G}$=6,674 30 (15) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅ kg ⁻¹ ⋅ s ⁻²

La incertidumbre estándar relativa es2,2 × 10 ⁻⁵ .

Debido a su uso como constante definitoria en algunos sistemas de unidades naturales , en particular sistemas de unidades geometrizadas como las unidades de Planck y las unidades de Stoney , el valor de la constante gravitacional generalmente tendrá un valor numérico de 1 o un valor cercano a él cuando se expresa en términos de esas unidades. Debido a la incertidumbre significativa en el valor medido de G en términos de otras constantes fundamentales conocidas, un nivel similar de incertidumbre aparecerá en el valor de muchas cantidades cuando se expresen en un sistema de unidades de ese tipo.

En astrofísica , es conveniente medir distancias en parsecs (pc), velocidades en kilómetros por segundo (km/s) y masas en unidades solares M _⊙ . En estas unidades, la constante gravitacional es: Para situaciones donde las mareas son importantes, las escalas de longitud relevantes son radios solares en lugar de parsecs. En estas unidades, la constante gravitacional es: En mecánica orbital , el período P de un objeto en órbita circular alrededor de un objeto esférico obedece a donde V es el volumen dentro del radio de la órbita y M es la masa total de los dos objetos. De ello se deduce que$${\displaystyle G\aprox 4.3009\times 10^{-3}\ {\mathrm {pc{\cdot }(km/s)^{2}} \,M_{\odot }}^{-1}.}$$$${\displaystyle G\aprox 1,90809\times 10^{5}\mathrm {\ (km/s)^{2}} \,R_{\odot }M_{\odot }^{-1}.}$$$${\displaystyle GM={\frac {3\pi V}{P^{2}}},}$$

${\displaystyle P^{2}={\frac {3\pi }{G}}{\frac {V}{M}}\aprox 10.896\,\mathrm {h^{2}{\cdot }g{\cdot }cm^{-3}\,} {\frac {V}{M}}.}$

Esta forma de expresar G muestra la relación entre la densidad media de un planeta y el período de un satélite que orbita justo por encima de su superficie.

Para órbitas elípticas, aplicando la 3ª ley de Kepler , expresada en unidades características de la órbita terrestre :

${\displaystyle G=4\pi ^{2}\mathrm {\AU^{3}{\cdot }año^{-2}} \ M^{-1}\approx 39.478\mathrm {\AU^{3}{\cdot }año^{-2}} \ M_{\odot }^{-1},}$

donde la distancia se mide en términos del semieje mayor de la órbita de la Tierra (la unidad astronómica , UA), el tiempo en años y la masa en la masa total del sistema en órbita ( M = M _☉ + M _E + M _☾ ^[e] ).

La ecuación anterior es exacta sólo dentro de la aproximación de la órbita de la Tierra alrededor del Sol como un problema de dos cuerpos en la mecánica newtoniana, las cantidades medidas contienen correcciones de las perturbaciones de otros cuerpos en el sistema solar y de la relatividad general.

Sin embargo, desde 1964 hasta 2012 se utilizó como definición de la unidad astronómica y, por lo tanto, se mantuvo por definición: desde 2012, la UA se define como$${\displaystyle 1\ \mathrm {AU} =\left({\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\mathrm {yr} ^{2}\right)^{\frac {1}{3}}\aprox 1,495979\times 10^{11}\ \mathrm {m} .}$$1,495 978 707 × 10 ¹¹  m exactamente, y la ecuación ya no puede considerarse como válida con precisión.

La cantidad GM —el producto de la constante gravitacional por la masa de un cuerpo astronómico dado, como el Sol o la Tierra— se conoce como parámetro gravitacional estándar (también denominado μ ). El parámetro gravitacional estándar GM aparece como se indica arriba en la ley de gravitación universal de Newton, así como en las fórmulas para la desviación de la luz causada por el efecto de lente gravitacional , en las leyes de Kepler del movimiento planetario y en la fórmula para la velocidad de escape .

Esta cantidad simplifica de forma conveniente varias fórmulas relacionadas con la gravedad. El producto GM se conoce con mucha más precisión que cualquiera de los dos factores.

Los cálculos en mecánica celeste también se pueden realizar utilizando unidades de masas solares , días solares medios y unidades astronómicas en lugar de las unidades estándar del SI. Para este propósito, históricamente se ha utilizado ampliamente la constante gravitacional gaussiana , k =0,017 202 098 95 radianes por día , que expresa la velocidad angular mediadel sistema Sol-Tierra. ^{[ cita requerida ]} El uso de esta constante y la definición implícita de la unidad astronómica analizada anteriormente han sido desaprobados por la UAI desde 2012. ^{[ cita requerida ]}

La existencia de la constante está implícita en la ley de gravitación universal de Newton publicada en la década de 1680 (aunque su notación como G data de la década de 1890), ^[10] pero no se calcula en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica donde postula la ley de gravitación del cuadrado inverso . En los Principia , Newton consideró la posibilidad de medir la fuerza de la gravedad midiendo la desviación de un péndulo en las proximidades de una gran colina, pero pensó que el efecto sería demasiado pequeño para ser medible. ^[11] Sin embargo, tuvo la oportunidad de estimar el orden de magnitud de la constante cuando supuso que "la densidad media de la Tierra podría ser cinco o seis veces mayor que la densidad del agua", lo que equivale a una constante gravitacional del orden: ^[12]

G ≈(6,7 ± 0,6 ) × 10 ⁻¹¹  m3 ^{⋅kg −1} ⋅s ⁻²

En 1738, Pierre Bouguer y Charles Marie de La Condamine intentaron realizar una medición en su « expedición peruana ». Bouguer restó importancia a sus resultados en 1740, sugiriendo que el experimento había demostrado al menos que la Tierra no podía ser una cáscara hueca , como habían sugerido algunos pensadores de la época, incluido Edmond Halley . ^[13]

El experimento de Schiehallion , propuesto en 1772 y completado en 1776, fue la primera medición exitosa de la densidad media de la Tierra y, por lo tanto, indirectamente de la constante gravitacional. El resultado informado por Charles Hutton (1778) sugirió una densidad de4,5 g/ ^cm3 ( ⁠4+1/2⁠ veces la densidad del agua), aproximadamente un 20% por debajo del valor moderno. ^[14] Esto condujo inmediatamente a estimaciones sobre las densidades y masas del Sol , la Luna y los planetas , enviadas por Hutton a Jérôme Lalande para su inclusión en sus tablas planetarias. Como se discutió anteriormente, establecer la densidad promedio de la Tierra es equivalente a medir la constante gravitacional, dado el radio medio de la Tierra y la aceleración gravitacional media en la superficie de la Tierra, estableciendo ^[10] Con base en esto, el resultado de Hutton de 1778 es equivalente a G ≈$${\displaystyle G=g{\frac {R_{\oplus }^{2}}{M_{\oplus }}}={\frac {3g}{4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }}}.}$$8 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² .

La primera medición directa de la atracción gravitatoria entre dos cuerpos en el laboratorio fue realizada en 1798, setenta y un años después de la muerte de Newton, por Henry Cavendish . ^[15] Determinó un valor para G de manera implícita, utilizando una balanza de torsión inventada por el geólogo Rev. John Michell (1753). Utilizó una viga de torsión horizontal con bolas de plomo cuya inercia (en relación con la constante de torsión) podía determinar cronometrando la oscilación de la viga. Su débil atracción hacia otras bolas colocadas a lo largo de la viga era detectable por la desviación que causaba. A pesar de que el diseño experimental se debió a Michell, el experimento ahora se conoce como el experimento de Cavendish por su primera ejecución exitosa por Cavendish.

El objetivo declarado de Cavendish era "pesar la Tierra", es decir, determinar la densidad media de la Tierra y la masa de la Tierra . Su resultado, ρ _🜨 =5.448(33) g⋅cm ⁻³ , corresponde al valor de G =6,74(4) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . Es sorprendentemente preciso, aproximadamente un 1 % por encima del valor moderno (comparable a la incertidumbre estándar relativa declarada de 0,6 %). ^[16]

La precisión del valor medido de G ha aumentado sólo modestamente desde el experimento original de Cavendish. ^[17] G es bastante difícil de medir porque la gravedad es mucho más débil que otras fuerzas fundamentales y un aparato experimental no puede separarse de la influencia gravitacional de otros cuerpos.

Las mediciones con péndulos fueron realizadas por Francesco Carlini (1821,4,39 g/cm3 ⁾ , Edward Sabine (1827,4,77 g/cm ³ ), Carlo Ignazio Giulio (1841,4,95 g/cm ³ ) y George Biddell Airy (1854,6,6 g/cm3 ⁾ . ^[18]

El experimento de Cavendish fue repetido por primera vez por Ferdinand Reich (1838, 1842, 1853), quien encontró un valor de5,5832(149) g⋅cm ⁻³ , ^[19] que en realidad es peor que el resultado de Cavendish, ya que difiere del valor moderno en un 1,5%. Cornu y Baille (1873), encontraron5,56 g⋅cm ⁻³ . ^[20]

El experimento de Cavendish demostró dar como resultado mediciones más fiables que los experimentos de péndulo del tipo "Schiehallion" (deflexión) o "peruano" (periodo en función de la altitud). Los experimentos de péndulo continuaron realizándose, por Robert von Sterneck (1883, resultados entre 5,0 y 10,0).6,3 g/cm ³ ) y Thomas Corwin Mendenhall (1880,5,77 g/cm3 ⁾ . ^[21]

El resultado de Cavendish fue mejorado por primera vez por John Henry Poynting (1891), ^[22] quien publicó un valor de5,49(3) g⋅cm ⁻³ , que difiere del valor moderno en un 0,2%, pero es compatible con el valor moderno dentro de la incertidumbre estándar relativa citada de 0,55%. Además de Poynting, CV Boys (1895) ^[23] y Carl Braun (1897), ^[24] realizaron mediciones con resultados compatibles que sugieren que G =6,66(1) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . La notación moderna que implica la constante G fue introducida por Boys en 1894 ^[10] y se convirtió en estándar a fines de la década de 1890, con valores generalmente citados en el sistema cgs . Richarz y Krigar-Menzel (1898) intentaron una repetición del experimento de Cavendish utilizando 100 000 kg de plomo para la masa de atracción. La precisión de su resultado de6.683(11) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² fue, sin embargo, del mismo orden de magnitud que los otros resultados en ese momento. ^[25]

Arthur Stanley Mackenzie, en The Laws of Gravitation (1899), analiza el trabajo realizado en el siglo XIX. ^[26] Poynting es el autor del artículo "Gravitación" en la Encyclopædia Britannica Undécima Edición (1911). Aquí, cita un valor de G =6,66 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² con una incertidumbre relativa del 0,2%.

Paul R. Heyl (1930) publicó el valor de6.670(5) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² (incertidumbre relativa 0,1 %), ^[27] mejorado a6,673(3) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² (incertidumbre relativa 0,045% = 450 ppm) en 1942. ^[28]

Sin embargo, Heyl utilizó la dispersión estadística como desviación estándar y admitió que las mediciones realizadas con el mismo material arrojaban resultados muy similares, mientras que las realizadas con materiales diferentes arrojaban resultados muy diferentes. Pasó los 12 años siguientes a su artículo de 1930 realizando mediciones más precisas, con la esperanza de que el efecto dependiente de la composición desapareciera, pero no fue así, como señaló en su artículo final del año 1942.

Los valores publicados de G derivados de mediciones de alta precisión desde la década de 1950 han seguido siendo compatibles con Heyl (1930), pero dentro de la incertidumbre relativa de aproximadamente 0,1% (o 1000 ppm) han variado bastante ampliamente, y no está del todo claro si la incertidumbre se ha reducido en absoluto desde la medición de 1942. Algunas mediciones publicadas entre los años 1980 y 2000 fueron, de hecho, mutuamente excluyentes. ^{[7] [29]} Por lo tanto , establecer un valor estándar para G con una incertidumbre estándar relativa mejor que 0,1% ha seguido siendo bastante especulativo.

En 1969, el valor recomendado por el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) fue citado con una incertidumbre estándar relativa de 0,046% (460 ppm), reducida a 0,012% (120 ppm) en 1986. Pero la continua publicación de mediciones conflictivas llevó al NIST a aumentar considerablemente la incertidumbre estándar en el valor recomendado de 1998, por un factor de 12, a una incertidumbre estándar de 0,15%, mayor que la dada por Heyl (1930).

La incertidumbre se redujo nuevamente en 2002 y 2006, pero volvió a aumentarse, en un 20% más conservador, en 2010, coincidiendo con la incertidumbre estándar relativa de 120 ppm publicada en 1986. ^[30] Para la actualización de 2014, CODATA redujo la incertidumbre a 46 ppm, menos de la mitad del valor de 2010 y un orden de magnitud por debajo de la recomendación de 1969.

La siguiente tabla muestra los valores recomendados por el NIST publicados desde 1969:

En la edición de enero de 2007 de Science , Fixler et al. describieron una medición de la constante gravitacional mediante una nueva técnica, la interferometría atómica , informando un valor de G =6,693(34) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² , 0,28 % (2800 ppm) más alto que el valor CODATA de 2006. ^[41] En 2014 se publicó una medición mejorada de átomos fríos realizada por Rosi et al. de G =6.671 91 (99) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . ^{[42] [43]} Aunque mucho más cerca del valor aceptado (lo que sugiere que la medición de Fixler et al. era errónea), este resultado fue 325 ppm inferior al valor CODATA 2014 recomendado, con intervalos de incertidumbre estándar no superpuestos.

A partir de 2018, se están realizando esfuerzos para reevaluar los resultados conflictivos de las mediciones, coordinados por el NIST, en particular una repetición de los experimentos informados por Quinn et al. (2013). ^[44]

En agosto de 2018, un grupo de investigación chino anunció nuevas mediciones basadas en equilibrios de torsión,6,674 184 (78) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² y6,674 484 (78) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² según dos métodos diferentes. ^[45] Se afirma que estas son las mediciones más precisas jamás realizadas, con incertidumbres estándar citadas tan bajas como 12 ppm. La diferencia de 2,7 σ entre los dos resultados sugiere que podría haber fuentes de error no explicadas.

El análisis de las observaciones de 580 supernovas de tipo Ia muestra que la constante gravitacional ha variado en menos de una parte en diez mil millones por año durante los últimos nueve mil millones de años. ^[46]

Notas al pie

Citas

• Constante de gravitación newtoniana G en Referencias sobre constantes, unidades e incertidumbre del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología
• La controversia sobre la constante gravitacional de Newton: comentarios adicionales sobre problemas de medición