Conmutador

En matemáticas , el conmutador da una indicación del grado en el que una determinada operación binaria no es conmutativa . Existen diferentes definiciones que se utilizan en la teoría de grupos y la teoría de anillos .

El conmutador de dos elementos, g y h , de un grupo G , es el elemento

[ g , h ] = g ⁻¹ h ⁻¹ gh .

Este elemento es igual a la identidad del grupo si y solo si g y h conmutan (es decir, si y solo si gh = hg ).

El conjunto de todos los conmutadores de un grupo no está en general cerrado bajo la operación de grupo, pero el subgrupo de G generado por todos los conmutadores sí lo está y se denomina grupo derivado o subgrupo conmutador de G. Los conmutadores se utilizan para definir grupos nilpotentes y resolubles y el mayor grupo cociente abeliano .

La definición del conmutador anterior se utiliza en todo este artículo, pero muchos teóricos de grupos definen el conmutador como

[ g , h ] = ghg ^​​−1 h ⁻¹ . ^{[1] [2]}

Usando la primera definición, esto se puede expresar como [ g ⁻¹ , h ⁻¹ ] .

Las identidades de conmutadores son una herramienta importante en la teoría de grupos . ^[3] La expresión a ^x denota el conjugado de a por x , definido como x ⁻¹ ax .

1. ${\displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
3. ${\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}$y${\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}$
4. ${\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}$y${\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}$
5. ${\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}$y${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}$

La identidad (5) también se conoce como identidad de Hall–Witt , en honor a Philip Hall y Ernst Witt . Es un análogo en teoría de grupos de la identidad de Jacobi para el conmutador en teoría de anillos (véase la siguiente sección).

NB, la definición anterior del conjugado de a por x es utilizada por algunos teóricos de grupos. ^[4] Muchos otros teóricos de grupos definen el conjugado de a por x como xax ⁻¹ . ^[5] Esto a menudo se escribe . Se aplican identidades similares para estas convenciones.${\displaystyle {}^{x}a}$

También se utilizan muchas identidades que son verdaderas módulo ciertos subgrupos. Estas pueden ser particularmente útiles en el estudio de grupos resolubles y grupos nilpotentes . Por ejemplo, en cualquier grupo, las segundas potencias se comportan bien:

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}$

Si el subgrupo derivado es central, entonces

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

Los anillos a menudo no admiten la división. Por lo tanto, el conmutador de dos elementos a y b de un anillo (o cualquier álgebra asociativa ) se define de manera diferente por

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

El conmutador es cero si y solo si a y b conmutan. En álgebra lineal , si dos endomorfismos de un espacio se representan mediante matrices conmutativas en términos de una base, entonces se representan en términos de cada base. Al utilizar el conmutador como corchete de Lie , cada álgebra asociativa se puede convertir en un álgebra de Lie .

El anticonmutador de dos elementos a y b de un anillo o álgebra asociativa se define por

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

A veces se utiliza para denotar anticonmutador, mientras que entonces se utiliza para conmutador. ^[6] El anticonmutador se utiliza con menos frecuencia, pero se puede utilizar para definir álgebras de Clifford y álgebras de Jordan y en la derivación de la ecuación de Dirac en física de partículas .${\displaystyle [a,b]_{+}}$${\displaystyle [a,b]_{-}}$

El conmutador de dos operadores que actúan en un espacio de Hilbert es un concepto central en mecánica cuántica , ya que cuantifica qué tan bien se pueden medir simultáneamente los dos observables descritos por estos operadores. El principio de incertidumbre es en última instancia un teorema sobre tales conmutadores, en virtud de la relación de Robertson-Schrödinger . ^[7] En el espacio de fases , los conmutadores equivalentes de productos estrella de funciones se denominan corchetes de Moyal y son completamente isomorfos a las estructuras de conmutadores del espacio de Hilbert mencionadas.

El conmutador tiene las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
4. ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

La relación (3) se llama anticomutatividad , mientras que (4) es la identidad de Jacobi .

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

Si A es un elemento fijo de un anillo R , la identidad (1) puede interpretarse como una regla de Leibniz para la función dada por . En otras palabras, la función ad _A define una derivación en el anillo R . Las identidades (2), (3) representan reglas de Leibniz para más de dos factores y son válidas para cualquier derivación. Las identidades (4)–(6) también pueden interpretarse como reglas de Leibniz. Las identidades (7), (8) expresan Z - bilinealidad .${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$

A partir de la identidad (9), se obtiene que el conmutador de potencias enteras de elementos del anillo es:

${\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n} B^{m}[A,B]B^{Nn-1}A^{Mm-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M -1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{Nn-1}B^{Mm-1}}$

Algunas de las identidades anteriores se pueden extender al anticonmutador utilizando la notación de subíndice ± anterior. ^[8] Por ejemplo:

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}$
4. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
5. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm}=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm}=[A,B]_{\pm}C\mp B[A,C]_{-}}$
6. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

Consideremos un anillo o álgebra en el que la exponencial pueda definirse de forma significativa, como un álgebra de Banach o un anillo de series de potencias formales .${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$

En un anillo de este tipo, el lema de Hadamard aplicado a conmutadores anidados da: (Para la última expresión, véase la derivación adjunta a continuación). Esta fórmula subyace a la expansión de Baker–Campbell–Hausdorff de log(exp( A ) exp( B )).${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

Una expansión similar expresa el conmutador de grupo de expresiones (análogo a los elementos de un grupo de Lie ) en términos de una serie de conmutadores anidados (corchetes de Lie),${\displaystyle e^{A}}$$${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$$

Cuando se trata de álgebras graduadas , el conmutador suele sustituirse por el conmutador graduado , definido en componentes homogéneos como

${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

Especialmente si se trabaja con múltiples conmutadores en un anillo R , resulta útil otra notación. Para un elemento , definimos la función adjunta mediante:${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

Esta aplicación es una derivación del anillo R :

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}$

Por la identidad de Jacobi , también es una derivación sobre la operación de conmutación:

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}$

Al componer tales aplicaciones, obtenemos, por ejemplo , y Podemos considerarlo como una aplicación, , donde es el anillo de aplicaciones de R a sí mismo con la composición como operación de multiplicación. Entonces es un homomorfismo del álgebra de Lie , que conserva el conmutador:${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}$$${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}$$${\displaystyle \mathrm {ad} }$${\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}$

Por el contrario, no siempre se trata de un homomorfismo de anillo: normalmente .${\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}$

La regla general de Leibniz , que desarrolla derivadas repetidas de un producto, se puede escribir de forma abstracta utilizando la representación adjunta:

${\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}$

Reemplazando por el operador de diferenciación y por el operador de multiplicación , obtenemos , y aplicando ambos lados a una función g , la identidad se convierte en la regla de Leibniz habitual para la derivada n -ésima .${\displaystyle x}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle y}$${\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}$${\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}$${\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}$

• Anticonmutatividad
• Asociador
• Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
• Relación de conmutación canónica
• Centralizador también conocido como conmutador
• Derivación (álgebra abstracta)
• Soporte Moyal
• Derivado de Pincherle
• Soporte de Poisson
• Conmutador ternario
• Lema de los tres subgrupos

• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Griffiths, David J. (2004), Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.), Prentice Hall , ISBN 0-13-805326-X
• Herstein, IN (1975), Temas de álgebra (2.ª ed.), Wiley, ISBN 0471010901
• Lavrov, PM (2014), "Identidades de tipo Jacobi en álgebras y superálgebras", Física teórica y matemática , 179 (2): 550–558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode :2014TMP...179..550L, doi :10.1007/s11232-014-0161-2, S2CID  119175276
• Liboff, Richard L. (2003), Introducción a la mecánica cuántica (4.ª ed.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5
• McKay, Susan (2000), Grupos p finitos , Queen Mary Maths Notes, vol. 18, Universidad de Londres , ISBN 978-0-902480-17-9, Sr.  1802994
• McMahon, D. (2008), Teoría cuántica de campos , McGraw Hill , ISBN 978-0-07-154382-8

• McKenzie, R. ; Snow, J. (2005), "Variedades modulares de congruencia: teoría del conmutador", en Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (eds.), Teoría estructural de autómatas, semigrupos y álgebra universal , NATO Science Series II, vol. 207, Springer, págs. 273–329, doi :10.1007/1-4020-3817-8_11, ISBN 9781402038174

• "Conmutador", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]