Espacio de coordenadas real

Este artículo incluye una lista de referencias , lecturas relacionadas o enlaces externos , pero sus fuentes no están claras porque carece de citas en línea . Ayúdenos a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( febrero de 2024 ) ( aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje )

En matemáticas , el espacio de coordenadas reales o n -espacio de coordenadas reales , de dimensión n , denotado R ⁿ o , es el conjunto de todas las n -tuplas ordenadas de números reales , es decir, el conjunto de todas las sucesiones de n números reales, también conocidos como vectores de coordenadas . Los casos especiales se denominan línea real R ¹ , plano de coordenadas reales R ² y espacio tridimensional de coordenadas reales R ³ . Con la adición de componentes y la multiplicación escalar, es un espacio vectorial real .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Las coordenadas sobre cualquier base de los elementos de un espacio vectorial real forman un espacio de coordenadas real de la misma dimensión que la del espacio vectorial. De manera similar, las coordenadas cartesianas de los puntos de un espacio euclidiano de dimensión n , E ⁿ ( línea euclidiana , E ; plano euclidiano , E ² ; espacio tridimensional euclidiano , E ³ ) forman un espacio de coordenadas real de dimensión n .

Estas correspondencias uno a uno entre vectores, puntos y vectores de coordenadas explican los nombres de espacio de coordenadas y vector de coordenadas . Permite utilizar términos y métodos geométricos para estudiar espacios de coordenadas reales y, a la inversa, utilizar métodos de cálculo en geometría. Este enfoque de la geometría fue introducido por René Descartes en el siglo XVII. Es ampliamente utilizado, ya que permite localizar puntos en espacios euclidianos y realizar cálculos con ellos.

Para cualquier número natural n , el conjunto R ⁿ está formado por todas las n - tuplas de números reales ( R ). Se denomina " espacio real n -dimensional" o "espacio real n ".

Un elemento de R ⁿ es, por tanto, una n -tupla, y se escribe donde cada x _i es un número real. Por tanto, en cálculo multivariable , el dominio de una función de varias variables reales y el codominio de una función vectorial real son subconjuntos de R ⁿ para algún n .$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$

El espacio n real tiene varias propiedades adicionales, en particular:

• Con la suma de componentes y la multiplicación escalar , se trata de un espacio vectorial real . Todo espacio vectorial real n -dimensional es isomorfo a él.
• Con el producto escalar (suma del producto término por término de los componentes), se obtiene un espacio de producto interno . Todo espacio de producto interno real n -dimensional es isomorfo a él.
• Como todo espacio de producto interno, es un espacio topológico y un espacio vectorial topológico .
• Es un espacio euclidiano y un espacio afín real , y todo espacio euclidiano o afín es isomorfo a él.
• Es una variedad analítica , y puede considerarse como el prototipo de todas las variedades , ya que, por definición, una variedad es, cerca de cada punto, isomorfa a un subconjunto abierto de R ⁿ .
• Es una variedad algebraica , y cada variedad algebraica real es un subconjunto de R ⁿ .

Estas propiedades y estructuras de R ⁿ lo hacen fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas y sus dominios de aplicación, como la estadística , la teoría de la probabilidad y muchas partes de la física .

Cualquier función f ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ) de n variables reales puede considerarse como una función en R ⁿ (es decir, con R ⁿ como su dominio ). El uso del n -espacio real, en lugar de varias variables consideradas por separado, puede simplificar la notación y sugerir definiciones razonables. Considérese, para n = 2 , una composición de funciones de la siguiente forma: donde las funciones g ₁ y g ₂ son continuas . Si$${\displaystyle F(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t)),}$$

• ∀ x ₁  ∈  R  : f ( x ₁ , ·) es continua (por x ₂ )
• ∀ x ₂  ∈  R  : f (·,  x ₂ ) es continua (por x ₁ )

Entonces F no es necesariamente continua. La continuidad es una condición más fuerte: la continuidad de f en la topología natural R ² (discutida más adelante), también llamada continuidad multivariable , que es suficiente para la continuidad de la composición F .

El espacio de coordenadas R ⁿ forma un espacio vectorial n -dimensional sobre el cuerpo de los números reales con la adición de la estructura de linealidad , y a menudo todavía se denota R ⁿ . Las operaciones sobre R ⁿ como espacio vectorial se definen típicamente por El vector cero está dado por y el inverso aditivo del vector x está dado por$${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots,x_{n}+y_{n})}$$$${\displaystyle \alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n}).}$$$${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0,\ldots ,0)}$$$${\displaystyle -\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n}).}$$

Esta estructura es importante porque cualquier espacio vectorial real n -dimensional es isomorfo al espacio vectorial R ⁿ .

En la notación matricial estándar , cada elemento de R ⁿ se escribe normalmente como un vector columna y, a veces, como un vector fila :$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vpuntos \\x_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

El espacio de coordenadas R ⁿ puede entonces interpretarse como el espacio de todos los vectores columna n  × 1 , o todos los vectores fila 1 ×  n con las operaciones matriciales ordinarias de suma y multiplicación escalar .

Las transformaciones lineales de R ⁿ a R ^m pueden entonces escribirse como matrices m  ×  n que actúan sobre los elementos de R ⁿ mediante multiplicación por la izquierda (cuando los elementos de R ⁿ son vectores columna) y sobre los elementos de R ^m mediante multiplicación por la derecha (cuando son vectores fila). La fórmula para la multiplicación por la izquierda, un caso especial de multiplicación de matrices , es:$${\displaystyle (A{\mathbf {x} })_{k}=\sum _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}}$$

Cualquier transformación lineal es una función continua (ver más abajo). Además, una matriz define una función abierta de R ⁿ a R ^m si y solo si el rango de la matriz es igual a m .

El espacio de coordenadas R ⁿ viene con una base estándar:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}}$$

Para ver que esto es una base, observe que un vector arbitrario en R ⁿ se puede escribir de forma única en la forma$${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}$$

El hecho de que los números reales , a diferencia de muchos otros cuerpos , constituyan un cuerpo ordenado produce una estructura de orientación en R ⁿ . Cualquier función lineal de rango completo de R ⁿ consigo misma preserva o invierte la orientación del espacio dependiendo del signo del determinante de su matriz. Si uno permuta coordenadas (o, en otras palabras, elementos de la base), la orientación resultante dependerá de la paridad de la permutación .

Los difeomorfismos de R ⁿ o dominios en él , por su virtud de evitar el jacobiano cero , también se clasifican en conservadores de orientación e inversores de orientación. Esto tiene consecuencias importantes para la teoría de formas diferenciales , cuyas aplicaciones incluyen la electrodinámica .

Otra manifestación de esta estructura es que la reflexión puntual en R ⁿ tiene diferentes propiedades dependiendo de la paridad de n . Para n par conserva la orientación, mientras que para n impar se invierte (véase también rotación impropia ).

R ⁿ entendido como un espacio afín es el mismo espacio, donde R ⁿ como espacio vectorial actúa por traslaciones . Por el contrario, un vector debe entenderse como una " diferencia entre dos puntos", generalmente ilustrada por un segmento de línea dirigido que une dos puntos. La distinción dice que no hay una elección canónica de dóndedebe ir el origen en un n- espacio afín, porque puede trasladarse a cualquier parte.

En un espacio vectorial real, como R ⁿ , se puede definir un cono convexo , que contiene todas las combinaciones lineales no negativas de sus vectores. El concepto correspondiente en un espacio afín es un conjunto convexo , que solo permite combinaciones convexas (combinaciones lineales no negativas que suman 1).

En el lenguaje del álgebra universal , un espacio vectorial es un álgebra sobre el espacio vectorial universal R ^∞ de sucesiones finitas de coeficientes, correspondientes a sumas finitas de vectores, mientras que un espacio afín es un álgebra sobre el hiperplano afín universal en este espacio (de sucesiones finitas que suman 1), un cono es un álgebra sobre el ortante universal (de sucesiones finitas de números no negativos), y un conjunto convexo es un álgebra sobre el símplex universal (de sucesiones finitas de números no negativos que suman 1). Esto geometriza los axiomas en términos de "sumas con (posibles) restricciones en las coordenadas".

Otro concepto del análisis convexo es una función convexa de R ⁿ a números reales, que se define a través de una desigualdad entre su valor en una combinación convexa de puntos y la suma de valores en esos puntos con los mismos coeficientes.

El producto escalar define la norma | x | = √ x ⋅ x en el espacio vectorial R ⁿ . Si cada vector tiene su norma euclidiana , entonces para cualquier par de puntos se define la distancia, proporcionando una estructura de espacio métrico en R ⁿ además de su estructura afín.$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}$$ $${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$$

En cuanto a la estructura del espacio vectorial, se suele suponer que el producto escalar y la distancia euclidiana existen en R ⁿ sin explicaciones especiales. Sin embargo, el espacio n real y un espacio n euclidiano son objetos distintos, estrictamente hablando. Cualquier espacio n euclidiano tiene un sistema de coordenadas donde el producto escalar y la distancia euclidiana tienen la forma que se muestra arriba, llamada cartesiana . Pero hay muchos sistemas de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano.

Por el contrario, la fórmula anterior para la métrica euclidiana define la estructura euclidiana estándar en R ⁿ , pero no es la única posible. En realidad, cualquier forma cuadrática positiva definida q define su propia "distancia" √ q ( x − y ) , pero no es muy diferente de la euclidiana en el sentido de que tal cambio de la métrica conserva algunas de sus propiedades, por ejemplo la propiedad de ser un espacio métrico completo . Esto también implica que cualquier transformación lineal de rango completo de R ⁿ , o su transformación afín , no magnifica las distancias más que por algún C ₂ fijo , y no hace que las distancias sean más pequeñas que 1 /  C ₁ veces, un número finito fijo de veces más pequeñas. ^{[ aclaración necesaria ]}$${\displaystyle \exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$$

La equivalencia antes mencionada de funciones métricas sigue siendo válida si √ q ( x − y ) se reemplaza por M ( x − y ) , donde M es cualquier función homogénea positiva convexa de grado 1, es decir, una norma vectorial (ver la distancia de Minkowski para ejemplos útiles). Debido a este hecho de que cualquier métrica "natural" en R ⁿ no es especialmente diferente de la métrica euclidiana, R ⁿ no siempre se distingue de un n -espacio euclidiano incluso en trabajos matemáticos profesionales.

Aunque la definición de una variedad no requiere que su espacio modelo sea R ⁿ , esta elección es la más común y casi exclusiva en geometría diferencial .

Por otra parte, los teoremas de incrustación de Whitney establecen que cualquier variedad m -dimensional diferenciable real puede ser incrustada en R ^{2 m} .

Otras estructuras consideradas en R ⁿ incluyen la de un espacio pseudo-euclidiano , la estructura simpléctica ( n par ) y la estructura de contacto ( n impar ). Todas estas estructuras, aunque pueden definirse de manera libre de coordenadas, admiten formas estándar (y razonablemente simples) en coordenadas.

R ⁿ es también un subespacio vectorial real de C ⁿ que es invariante a la conjugación compleja ; véase también complejización .

Hay tres familias de politopos que tienen representaciones simples en espacios R ⁿ , para cualquier n , y pueden usarse para visualizar cualquier sistema de coordenadas afín en un n -espacio real. Los vértices de un hipercubo tienen coordenadas ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ) donde cada x _k toma uno de solo dos valores, típicamente 0 o 1. Sin embargo, se pueden elegir dos números cualesquiera en lugar de 0 y 1, por ejemplo −1 y 1. Un n -hipercubo puede considerarse como el producto cartesiano de n intervalos idénticos (como el intervalo unitario [0,1] ) en la línea real. Como un subconjunto n -dimensional, puede describirse con un sistema de 2 n desigualdades : para [0,1] , y para [−1,1] .$${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}}$$

Cada vértice del politopo cruzado tiene, para algún k , la coordenada x _k igual a ±1 y todas las demás coordenadas iguales a 0 (de modo que es el k ésimo vector base estándar hasta el signo ). Este es un politopo dual del hipercubo. Como un subconjunto n -dimensional puede describirse con una única desigualdad que utiliza la operación del valor absoluto : pero esto puede expresarse también con un sistema de 2 ^{n desigualdades lineales.}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,}$$

El tercer politopo con coordenadas enumerables de forma sencilla es el símplex estándar , cuyos vértices son n vectores base estándar y el origen (0, 0, ..., 0) . Como subconjunto n -dimensional, se describe con un sistema de n + 1 desigualdades lineales: La sustitución de todos los "≤" por "<" da los interiores de estos politopos.$${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}}$$

La estructura topológica de R ⁿ (llamada topología estándar , topología euclidiana o topología usual ) puede obtenerse no solo a partir del producto cartesiano. También es idéntica a la topología natural inducida por la métrica euclidiana discutida anteriormente: un conjunto es abierto en la topología euclidiana si y solo si contiene una bola abierta alrededor de cada uno de sus puntos. Además, R ⁿ es un espacio topológico lineal (ver continuidad de aplicaciones lineales arriba), y solo hay una topología posible (no trivial) compatible con su estructura lineal. Como hay muchas aplicaciones lineales abiertas de R ⁿ a sí mismo que no son isometrías , puede haber muchas estructuras euclidianas en R ⁿ que correspondan a la misma topología. En realidad, no depende mucho ni siquiera de la estructura lineal: hay muchos difeomorfismos no lineales (y otros homeomorfismos) de R ⁿ sobre sí mismo, o sus partes, como una bola abierta euclidiana o el interior de un hipercubo).

R ⁿ tiene la dimensión topológica n .

Un resultado importante sobre la topología de R ⁿ , que está lejos de ser superficial, es la invariancia de dominio de Brouwer . Cualquier subconjunto de R ⁿ (con su topología de subespacio ) que sea homeomorfo a otro subconjunto abierto de R ⁿ es en sí mismo abierto. Una consecuencia inmediata de esto es que R ^m no es homeomorfo a R ⁿ si m ≠ n – un resultado intuitivamente "obvio" que, no obstante, es difícil de demostrar.

A pesar de la diferencia en la dimensión topológica, y contrariamente a una percepción ingenua, es posible mapear un espacio real de menor dimensión ^{[ aclaración necesaria ] de manera continua y} sobreyectiva sobre R ⁿ . Es posible una curva continua (aunque no suave) que llena el espacio (una imagen de R ¹ ). ^{[ aclaración necesaria ]}

Vector columna vacío , el único elemento de R 0

Los casos de 0 ≤ n ≤ 1 no ofrecen nada nuevo: R ¹ es la recta real , mientras que R ⁰ (el espacio que contiene el vector columna vacío) es un singleton , entendido como un espacio vectorial cero . Sin embargo, es útil incluirlos como casos triviales de teorías que describen n diferentes .

El caso de ( x,y ) donde x e y son números reales se ha desarrollado como el plano cartesiano P . Se ha adjuntado una estructura adicional con vectores euclidianos que representan segmentos de línea dirigidos en P . El plano también se ha desarrollado como la extensión del campo añadiendo raíces de X ² + 1 = 0 al campo real. La raíz i actúa en P como un cuarto de vuelta con orientación en sentido antihorario. Esta raíz genera el grupo . Cuando ( x,y ) se escribe x + y i es un número complejo .${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {R} .}$ ${\displaystyle \{i,-1,-i,+1\}\equiv \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$

Otra acción grupal de , donde el actor ha sido expresado como j, utiliza la línea y = x para la involución de voltear el plano ( x,y ) ↦ ( y,x ), un intercambio de coordenadas. En este caso los puntos de P se escriben x + y j y se llaman números complejos divididos . Estos números, con la adición y multiplicación por coordenadas según jj =+1, forman un anillo que no es un cuerpo.${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Otra estructura de anillo en P utiliza un e nilpotente para escribir x + y e para ( x,y ). La acción de e sobre P reduce el plano a una línea: se puede descomponer en la proyección en la coordenada x, luego girando el resultado en un cuarto hacia el eje y: e ( x + y e ) = x e ya que e ² = 0. Un número x + y e es un número dual . Los números duales forman un anillo, pero, como e no tiene inverso multiplicativo, no genera un grupo, por lo que la acción no es una acción de grupo.

Excluyendo (0,0) de P se obtienen coordenadas proyectivas [ x  : y ] que describen la línea proyectiva real, un espacio unidimensional. Dado que se excluye el origen, existe al menos una de las razones x / y e y / x . Entonces [ x  : y ] = [ x / y  : 1] o [ x  : y ] = [1 : y / x ]. La línea proyectiva P ¹ ( R ) es una variedad topológica cubierta por dos gráficos de coordenadas , [ z  : 1] → z o [1 : z ] → z , que forman un atlas . Para los puntos cubiertos por ambos gráficos, la función de transición es una inversión multiplicativa en un entorno abierto del punto, que proporciona un homeomorfismo como se requiere en una variedad. Una aplicación de la línea proyectiva real se encuentra en la geometría métrica de Cayley-Klein .

Se puede imaginar R ⁴ usando el hecho de que 16 puntos ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) , donde cada x _k es 0 o 1, son vértices de un teseracto (en la imagen), el 4-hipercubo (ver arriba).

El primer uso importante de R ⁴ es un modelo espacio-temporal : tres coordenadas espaciales más una temporal . Esto suele asociarse con la teoría de la relatividad , aunque se han utilizado cuatro dimensiones para dichos modelos desde Galileo . Sin embargo, la elección de la teoría conduce a una estructura diferente: en la relatividad galileana se privilegia la coordenada t , pero en la relatividad einsteiniana no. La relatividad especial se sitúa en el espacio de Minkowski . La relatividad general utiliza espacios curvos, que pueden considerarse como R ⁴ con una métrica curva para la mayoría de los fines prácticos. Ninguna de estas estructuras proporciona una métrica (positiva-definida) en R ⁴ .

La R ⁴ euclidiana también atrae la atención de los matemáticos, por ejemplo, debido a su relación con los cuaterniones , un álgebra real de cuatro dimensiones . Véase rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones para obtener más información.

En geometría diferencial, n = 4 es el único caso donde R ⁿ admite una estructura diferencial no estándar : ver el exótico R ⁴ .

Se podrían definir muchas normas en el espacio vectorial R ⁿ . Algunos ejemplos comunes son

• la p-norma , definida por para todo donde es un entero positivo. El caso es muy importante, porque es exactamente la norma euclidiana .${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$
• la -norma o norma máxima , definida por para todo . Este es el límite de todas las p-normas : .${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$

Un resultado realmente sorprendente y útil es que toda norma definida en R ⁿ es equivalente . Esto significa que para dos normas arbitrarias y en R ⁿ siempre se pueden encontrar números reales positivos , tales que para todo .${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|'}$${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$$${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|}$$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las normas en R ⁿ . Con este resultado se puede comprobar que una secuencia de vectores en R ⁿ converge con si y solo si converge con .${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|'}$

He aquí un esbozo de cómo podría ser una prueba de este resultado:

Debido a la relación de equivalencia, es suficiente demostrar que toda norma sobre R ⁿ es equivalente a la norma euclidiana . Sea una norma arbitraria sobre R ⁿ . La demostración se divide en dos pasos:${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

• Demostramos que existe un , tal que para todo . En este paso, se utiliza el hecho de que todo puede representarse como una combinación lineal de la base estándar : . Luego, con la desigualdad de Cauchy-Schwarz donde .${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n}}$${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2},}$$${\textstyle \beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}}$
• Ahora tenemos que encontrar un , tal que para todo . Supongamos que no existe tal . Entonces existe para todo a , tal que . Definamos una segunda sucesión por . Esta sucesión está acotada porque . Así que debido al teorema de Bolzano-Weierstrass existe una subsucesión convergente con límite R ⁿ . Ahora demostramos que pero , lo cual es una contradicción. Es porque y , por lo que . Esto implica , por lo que . Por otro lado , porque . Esto nunca puede ser cierto, por lo que la suposición era falsa y existe tal .${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k\in \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{k}\in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|}$${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {x} }}_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$${\displaystyle \|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1}$${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}})_{j\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle \mathbf {a} \in }$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\longrightarrow }}\ 0,}$$${\displaystyle \|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0}$${\displaystyle 0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}}$${\displaystyle {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|=0}$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=1}$${\displaystyle \alpha >0}$

• Objeto exponencial , para la explicación teórica de la notación superíndice
• Espacio geométrico
• Espacio proyectivo real

• Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Munkres, James (1999). Topología . Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.