Clasificación de los componentes de Fatou

En matemáticas , los componentes de Fatou son componentes del conjunto de Fatou . Su nombre se debe a Pierre Fatou .

Si f es una función racional

${\displaystyle f={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

definida en el plano complejo extendido , y si es una función no lineal (grado > 1)

${\displaystyle d(f)=\max(\deg(P),\,\deg(Q))\geq 2,}$

Entonces, para un componente periódico del conjunto de Fatou , se cumple exactamente una de las siguientes condiciones:${\estilo de visualización U}$

1. ${\estilo de visualización U}$contiene un punto periódico de atracción
2. ${\estilo de visualización U}$es parabólica ^[1]
3. ${\estilo de visualización U}$es un disco de Siegel : un componente de Fatou simplemente conexo en el que f ( z ) es analíticamente conjugado a una rotación euclidiana del disco unitario sobre sí mismo por un ángulo de rotación irracional.
4. ${\estilo de visualización U}$es un anillo de Herman : un componente de Fatou doblemente conectado (un anillo ) en el que f ( z ) es analíticamente conjugado a una rotación euclidiana de un anillo redondo, nuevamente por un ángulo de rotación irracional.

• 
  Conjunto Julia (blanco) y conjunto Fatou (rojo oscuro/verde/azul) para dentro del plano complejo.${\displaystyle f:z\mapsto z-{\frac {g}{g'}}(z)}$${\displaystyle g:z\mapsto z^{3}-1}$
• 
  Conjunto Julia con ciclo parabólico
• 
  Conjunto Julia con disco Siegel (caja elíptica)
• 
  Conjunto Julia con anillo Herman

Los componentes del mapa contienen los puntos de atracción que son las soluciones de . Esto se debe a que el mapa es el que se utiliza para encontrar soluciones a la ecuación mediante la fórmula de Newton-Raphson . Las soluciones deben ser naturalmente puntos fijos de atracción.${\displaystyle f(z)=z-(z^{3}-1)/3z^{2}}$${\displaystyle z^{3}=1}$${\displaystyle z^{3}=1}$

• 
  El plano dinámico consta de cuencas de superatracción Fatou 2 del periodo 1, cada una con un solo componente.
• 
  Curvas de nivel y rayos en caso superatractivo
• 
  Conjunto de Julia con ciclos superatractores (hiperbólicos) en el interior (periodo 2) y el exterior (periodo 1)

El mapa

${\displaystyle f(z)=e^{2\pi it}z^{2}(z-4)/(1-4z)}$

y t = 0,6151732... producirá un anillo de Herman. ^[2] Shishikura demuestra que el grado de dicho mapa debe ser al menos 3, como en este ejemplo.

Si el grado d es mayor que 2 entonces hay más de un punto crítico y entonces puede haber más de un tipo de componente

• 
  Herman+Parabólico
• 
  Periodo 3 y 105
• 
  atractivo y parabólico
• 
  periodo 1 y periodo 1
• 
  Periodo 4 y 4 (2 cuencas de atracción)
• 
  Dos cuencas del periodo 2

En el caso de funciones trascendentales existe otro tipo de componentes periódicos de Fatou, llamados dominios de Baker : estos son " dominios en los que las iteraciones tienden a una singularidad esencial (no posible para polinomios y funciones racionales)" ^{[3] [4]} un ejemplo de tal función es: ^[5]$${\displaystyle f(z)=z-1+(1-2z)e^{z}}$$

Los mapas trascendentales pueden tener dominios errantes : estos son componentes de Fatou que no son eventualmente periódicos.

• Teorema del dominio sin desplazamientos
• Teorema de Montel
• Dominios de juan ^[6]
• Cuencas de atracción

• Lennart Carleson y Theodore W. Gamelin, Dinámica compleja , Springer 1993.
• Alan F. Beardon Iteración de funciones racionales , Springer 1991.