Clases especiales de semigrupos

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En matemáticas , un semigrupo es un conjunto no vacío junto con una operación binaria asociativa . Una clase especial de semigrupos es una clase de semigrupos que satisface propiedades o condiciones adicionales . Por lo tanto, la clase de semigrupos conmutativos consiste en todos aquellos semigrupos en los que la operación binaria satisface la propiedad de conmutatividad de que ab = ba para todos los elementos a y b en el semigrupo. La clase de semigrupos finitos consiste en aquellos semigrupos para los que el conjunto subyacente tiene cardinalidad finita . Se requiere que los miembros de la clase de semigrupos de Brandt satisfagan no solo una condición sino un conjunto de propiedades adicionales. Se ha definido una gran colección de clases especiales de semigrupos, aunque no todos ellos se han estudiado con la misma intensidad.

En la teoría algebraica de semigrupos, al construir clases especiales, la atención se centra únicamente en aquellas propiedades, restricciones y condiciones que pueden expresarse en términos de las operaciones binarias en los semigrupos y, ocasionalmente, en la cardinalidad y propiedades similares de los subconjuntos del conjunto subyacente . No se supone que los conjuntos subyacentes tengan otras estructuras matemáticas como orden o topología .

Como en cualquier teoría algebraica, uno de los principales problemas de la teoría de semigrupos es la clasificación de todos los semigrupos y una descripción completa de su estructura. En el caso de los semigrupos, dado que se requiere la operación binaria para satisfacer solo la propiedad de asociatividad, el problema de la clasificación se considera extremadamente difícil. Se han obtenido descripciones de estructuras para ciertas clases especiales de semigrupos. Por ejemplo, la estructura de los conjuntos de idempotentes de semigrupos regulares es completamente conocida. Las descripciones de la estructura se presentan en términos de tipos de semigrupos más conocidos. El tipo de semigrupo más conocido es el grupo .

A continuación se presenta una lista (necesariamente incompleta) de varias clases especiales de semigrupos. En la medida de lo posible, las propiedades definitorias se formulan en términos de las operaciones binarias en los semigrupos. Las referencias indican las ubicaciones de donde provienen las propiedades definitorias.

Al describir las propiedades definitorias de las diversas clases especiales de semigrupos, se adoptan las siguientes convenciones de notación.

Notaciones

Notación	Significado
S	Semigrupo arbitrario
mi	Conjunto de idempotentes en S
GRAMO	Grupo de unidades en S
I	Ideal mínimo de S
V	Elementos regulares de S
incógnita	Conjunto arbitrario
a , b , c	Elementos arbitrarios de S
x , y , z	Elementos específicos de S
mi , f , sol	Elementos arbitrarios de E
yo	Elemento específico de E
yo , yo , yo	Números enteros positivos arbitrarios
yo , yo	Números enteros positivos específicos
v , v	Elementos arbitrarios de V
0	Elemento cero de S
1	Elemento de identidad de S
S 1	S si 1 ∈ S ; S ∪ { 1 } si 1 ∉ S
a ≤ L b a ≤ R b a ≤ H b a ≤ J b	S 1 a ⊆ S 1 b aS 1 ⊆ bS 1 S 1 a ⊆ S 1 b y aS 1 ⊆ bS 1 S 1 aS 1 ⊆ S 1 bS 1
Izquierda , Derecha , Alta , Reversa , J	Las relaciones de Green
L a , R a , H a , D a , J a	Clases verdes que contienen una
${\displaystyle x^{\omega }}$	La única potencia de x que es idempotente. Este elemento existe, suponiendo que el semigrupo es (localmente) finito. Consulte la variedad de semigrupos finitos para obtener más información sobre esta notación.
${\displaystyle |X|}$	La cardinalidad de X , asumiendo que X es finito.

Por ejemplo, la definición xab = xba debe leerse como:

• Existe x un elemento del semigrupo tal que, para cada a y b en el semigrupo, xab y xba son iguales.

La tercera columna indica si este conjunto de semigrupos forma una variedad . Y si el conjunto de semigrupos finitos de esta clase especial forma una variedad de semigrupos finitos . Nótese que si este conjunto es una variedad, su conjunto de elementos finitos es automáticamente una variedad de semigrupos finitos.

Lista de clases especiales de semigrupos

Terminología	Definición de propiedad	Variedad de semigrupo finito	Referencia(s)
Semigrupo finito	S es un conjunto finito .	No infinito Finito
Semigrupo vacío	S =${\displaystyle \emptyset }$	No
Semigrupo trivial	La cardinalidad de S es 1.	Infinito Finito
Monoide	1 ∈ S	No	Gril pág. 3
Banda (semigrupo idempotente)	un 2 = un	Infinito Finito	C&P pág. 4
Banda rectangular	Una banda tal que abca = acba	Infinito Finito	Fennemore
Semirretículo	Una banda conmutativa, es decir: un 2 = un ab = ba	Infinito Finito	C&P pág. 24 Fennemore
Semigrupo conmutativo	ab = ba	Infinito Finito	C&P pág. 3
Semigrupo conmutativo arquimediano	ab = ba Existen x y k tales que a k = xb .		C&P pág. 131
Semigrupo conmutativo en ninguna parte	ab = ba   ⇒   a = b		C&P pág. 26
Débilmente conmutativo a la izquierda	Existen x y k tales que ( ab ) k = bx .		Nagy pág. 59
Derecha débilmente conmutativa	Existen x y k tales que ( ab ) k = xa .		Nagy pág. 59
Débilmente conmutativo	Izquierda y derecha débilmente conmutativas. Es decir: Existen x y j tales que ( ab ) j = bx . Existen y y k tales que ( ab ) k = ya .		Nagy pág. 59
Semigrupo condicionalmente conmutativo	Si ab = ba entonces axb = bxa para todo x .		Nagy pág. 77
R -semigrupo conmutativo	ab r ba		Nagy pág. 69–71
RC -semigrupo conmutativo	R -conmutativa y condicionalmente conmutativa		Nagy pág. 93–107
Semigrupo L -conmutativo	ab L ba		Nagy pág. 69–71
LC - semigrupo conmutativo	L -conmutativa y condicionalmente conmutativa		Nagy pág. 93–107
H -semigrupo conmutativo	ab h ba		Nagy pág. 69–71
Semigrupo cuasi-conmutativo	ab = ( ba ) k para algún k .		Nagy pág. 109
Semigrupo conmutativo derecho	xab = xba		Nagy pág. 137
Semigrupo conmutativo izquierdo	abx = bax		Nagy pág. 137
Semigrupo conmutativo externo	axb = bxa		Nagy pág. 175
Semigrupo medial	xaby = xbay		Nagy pág. 119
E- k semigrupo ( k fijo)	( ab ) k = a k b k	Infinito Finito	Nagy pág. 183
Semigrupo exponencial	( ab ) m = a m b m para todo m	Infinito Finito	Nagy pág. 183
WE- k semigrupo ( k fijo)	Existe un entero positivo j que depende del par (a,b) tal que ( ab ) k + j = a k b k ( ab ) j = ( ab ) j a k b k		Nagy pág. 199
Semigrupo débilmente exponencial	NOSOTROS- m para todos m		Nagy pág. 215
Semigrupo cancelatorio derecho	ba = ca   ⇒   b = c		C&P pág. 3
Semigrupo cancelativo izquierdo	ab = ac   ⇒   b = c		C&P pág. 3
Semigrupo cancelatorio	Semigrupo cancelatorio izquierdo y derecho, es decir ab = ac   ⇒   b = c ba = ca   ⇒   b = c		C&P pág. 3
Semigrupo E-inverso ( semigrupo E -denso)	Existe x tal que ax ∈ E .		C&P pág. 98
Semigrupo regular	Existe x tal que axa = a .		C&P pág. 26
Banda regular	Una banda tal que abaca = abca	Infinito Finito	Fennemore
Semigrupo intrarregular	Existen x e y tales que xa 2 y = a .		C&P pág. 121
Semigrupo regular izquierdo	Existe x tal que xa 2 = a .		C&P pág. 121
Banda regular izquierda	Una banda tal que aba = ab	Infinito Finito	Fennemore
Semigrupo regular derecho	Existe x tal que a 2 x = a .		C&P pág. 121
Banda regular derecha	Una banda tal que aba = ba	Infinito Finito	Fennemore
Semigrupo completamente regular	H a es un grupo.		Gril pág. 75
Semigrupo de Clifford (inverso)	Un semigrupo regular en el que todos los idempotentes son centrales. De manera equivalente, para un semigrupo finito:${\displaystyle a^{\omega }b=ba^{\omega }}$	Finito	Petrich pág. 65
k -semigrupo regular ( k fijo)	Existe x tal que a k xa k = a k .		Hari
Semigrupo eventualmente regular (semigrupo π-regular, semigrupo cuasi regular)	Existen k y x (dependiendo de a ) tales que a k xa k = a k .		Edwa Shum Higg pág. 49
Semigrupo cuasiperiódico, epigrupo , semigrupo ligado a un grupo, semigrupo completamente (o fuertemente) π-regular y muchos otros (véase Kela para obtener una lista)	Existe k (dependiendo de a ) tal que a k pertenece a un subgrupo de S		Kela Gril pág. 110 Higg pág. 4
Semigrupo primitivo	Si 0 ≠ e y f = ef = fe entonces e = f .		C&P pág. 26
Unidad semigrupo regular	Existe u en G tal que aua = a .		Tvm
Semigrupo regular fuertemente unitario	Existe u en G tal que aua = a . e D f ⇒ f = v −1 ev para algún v en G .		Tvm
Semigrupo ortodoxo	Existe x tal que axa = a . E es un subsemigrupo de S.		Gril pág. 57 Howi pág. 226
Semigrupo inverso	Existe un único x tal que axa = a y xax = x .		C&P pág. 28
Semigrupo inverso izquierdo ( R -unipotente)	R a contiene una h única .		Gril pág. 382
Semigrupo inverso derecho ( L -unipotente)	L a contiene una h única .		Gril pág. 382
Semigrupo localmente inverso (semigrupo pseudoinverso)	Existe x tal que axa = a . E es una pseudosemilretícula.		Gril pág. 352
Semigrupo M -inverso	Existen x e y tales que baxc = bc y byac = bc .		C&P pág. 98
Semigrupo abundante	Las clases L * a y R * a , donde a L * b si ac = ad ⇔ bc = bd y a R * b si ca = da ⇔ cb = db , contienen idempotentes.		Chen
Semigrupo Rpp (Semigrupo proyectivo principal derecho)	La clase L * a , donde a L * b si ac = ad ⇔ bc = bd , contiene al menos un idempotente.		silbar
Semigrupo Lpp (semigrupo proyectivo principal izquierdo)	La clase R * a , donde a R * b si ca = da ⇔ cb = db , contiene al menos un idempotente.		silbar
Semigrupo nulo ( semigrupo cero )	0 ∈ S ab = 0 Equivalentemente ab = cd	Infinito Finito	C&P pág. 4
Semigrupo cero izquierdo	ab = un	Infinito Finito	C&P pág. 4
Banda cero izquierda	Un semigrupo cero izquierdo que es una banda. Es decir: ab = un aa = un	Infinito Finito	Fennemore
Grupo de izquierda	Un semigrupo que es simple por la izquierda y cancelativo por la derecha. El producto directo de un semigrupo cero izquierdo y un grupo abeliano.		C&P pág. 37, 38
Semigrupo cero derecho	ab = b	Infinito Finito	C&P pág. 4
Banda cero derecha	Un semigrupo cero derecho que es una banda. Es decir: ab = b aa = un	Infinito Finito	Fennemore
Grupo correcto	Un semigrupo que es simple por derecha y cancelativo por izquierda. El producto directo de un semigrupo cero derecho y un grupo.		C&P pág. 37, 38
Grupo abeliano derecho	Un semigrupo conmutativo condicionalmente simple y correcto. El producto directo de un semigrupo cero recto y un grupo abeliano.		Nagy pág. 87
Semigrupo unipotente	E es singleton.	Infinito Finito	C&P pág. 21
Semigrupo reductivo izquierdo	Si xa = xb para todo x entonces a = b .		C&P pág. 9
Semigrupo reductivo derecho	Si ax = bx para todo x entonces a = b .		C&P pág. 4
Semigrupo reductivo	Si xa = xb para todo x entonces a = b . Si ax = bx para todo x entonces a = b .		C&P pág. 4
Semigrupo separativo	ab = a2 = b2   ⇒   a = b​​		C&P pág. 130-131
Semigrupo reversible	Sa ∩ Sb ≠ Ø aS ∩ bS ≠ Ø		C&P pág. 34
Semigrupo reversible derecho	Sa ∩ Sb ≠ Ø		C&P pág. 34
Semigrupo reversible izquierdo	aS ∩ bS ≠ Ø		C&P pág. 34
Semigrupo aperiódico	Existe k (dependiendo de a ) tal que a k = a k+1 De manera equivalente, para un semigrupo finito: para cada a , .${\displaystyle a^{\omega }a=a^{\omega }}$		KKM pág. 29 Pin pág. 158
ω-semigrupo	E es una cadena descendente contable bajo el orden a ≤ H b		Gril pág. 233–238
Semigrupo de Clifford izquierdo (semigrupo LC)	comoS ⊆ Sa		silbar
Semigrupo de Clifford derecho (semigrupo RC)	Sa ⊆ aS		silbar
Grupo orto	H a es un grupo. E es un subsemigrupo de S		silbar
Semigrupo conmutativo completo	ab = ba a k está en un subgrupo de S para algún k . Todo subconjunto no vacío de E tiene un ínfimo.		Gril pág. 110
Semigrupo nilpotente (semigrupo nilpotente)	0 ∈ S a k = 0 para algún entero k que depende de a . De manera equivalente, para un semigrupo finito: para cada elemento x e y , .${\displaystyle yx^{\omega }=x^{\omega }=x^{\omega }y}$	Finito	Gril pág. 99 Pin pág. 148
Semigrupo elemental	ab = ba S tiene la forma G ∪ N donde G es un grupo y 1 ∈ G N es un ideal, un nilsemigrupo y 0 ∈ N		Gril pág. 111
Semigrupo unitario E	Existe un único x tal que axa = a y xax = x . ea = e   ⇒   a ∈ E		Gril pág. 245
Semigrupo presentado de forma finita	S tiene una presentación ( X ; R ) en la que X y R son finitos.		Gril pág. 134
Semigrupo fundamental	La igualdad en S es la única congruencia contenida en H.		Gril pág. 88
Semigrupo generado idempotente	S es igual al semigrupo generado por E .		Gril pág. 328
Semigrupo finito localmente	Todo subsemigrupo finitamente generado de S es finito.	No infinito Finito	Gril pág. 161
N -semigrupo	ab = ba Existe x y un entero positivo n tal que a = xb n . ax = ay   ⇒   x = y xa = ya   ⇒   x = y E = Ø		Gril pág. 100
Semigrupo L -unipotente (Semigrupo inverso derecho)	L a contiene una e única .		Gril pág. 362
Semigrupo R -unipotente (Semigrupo inverso izquierdo)	R a contiene un e único .		Gril pág. 362
Semigrupo simple izquierdo	L a = S		Gril pág. 57
Semigrupo simple derecho	Ra = S​		Gril pág. 57
Semigrupo subelemental	ab = ba S = C ∪ N donde C es un semigrupo cancelativo, N es un nilsemigrupo o un semigrupo de un elemento. N es ideal de S. Cero de N es 0 de S. Para x , y en S y c en C , cx = cy implica que x = y .		Gril pág. 134
Semigrupo simétrico ( Semigrupo de transformación completa )	Conjunto de todas las aplicaciones de X en sí mismo con composición de aplicaciones como operación binaria.		C&P pág. 2
Semigrupo débilmente reductivo	Si xz = yz y zx = zy para todo z en S entonces x = y .		C&P pág. 11
Semigrupo unívoco correcto	Si x , y ≥ R z entonces x ≥ R y o y ≥ R x .		Gril pág. 170
Semigrupo unívoco de la izquierda	Si x , y ≥ L z entonces x ≥ L y o y ≥ L x .		Gril pág. 170
Semigrupo inequívoco	Si x , y ≥ R z entonces x ≥ R y o y ≥ R x . Si x , y ≥ L z entonces x ≥ L y o y ≥ L x .		Gril pág. 170
Izquierda 0-inequívoco	0∈ S 0 ≠ x ≤ L y , z   ⇒   y ≤ L z o z ≤ L y		Gril pág. 178
Derecha 0-inequívoco	0∈ S 0 ≠ x ≤ Ry , z   ⇒   y ≤ L z o z ≤ Ry​		Gril pág. 178
0-semigrupo no ambiguo	0∈ S 0 ≠ x ≤ L y , z   ⇒   y ≤ L z o z ≤ L y 0 ≠ x ≤ Ry , z   ⇒   y ≤ L z o z ≤ Ry​		Gril pág. 178
Semigrupo Putcha izquierdo	a ∈ bS 1   ⇒   a n ∈ b 2 S 1 para algún n .		Nagy pág. 35
Semigrupo Putcha derecho	a ∈ S 1 b   ⇒   a n ∈ S 1 b 2 para algún n .		Nagy pág. 35
Semigrupo de Putcha	a ∈ S 1 b S 1   ⇒   a n ∈ S 1 b 2 S 1 para algún entero positivo n		Nagy pág. 35
Semigrupo bisimple ( semigrupo D -simple)	D a = S		C&P pág. 49
Semigrupo 0-bisimple	0 ∈ S S - {0} es una clase D de S.		C&P pág. 76
Semigrupo completamente simple	No existe A ⊆ S , A ≠ S tal que SA ⊆ A y AS ⊆ A . Existe h en E tal que siempre que hf = f y fh = f tenemos h = f .		C&P pág. 76
Semigrupo completamente 0-simple	0 ∈ S S2 ≠ 0 Si A ⊆ S es tal que AS ⊆ A y SA ⊆ A entonces A = 0 o A = S . Existe un h distinto de cero en E tal que siempre que hf = f , fh = f y f ≠ 0 tenemos h = f .		C&P pág. 76
Semigrupo D -simple (Semigrupo Bisimple)	D a = S		C&P pág. 49
Semigrupo semisimple	Sea J ( a ) = S 1 aS 1 , I ( a ) = J ( a ) − J a . Cada semigrupo de factores de Rees J ( a )/ I ( a ) es 0-simple o simple.		C&P pág. 71–75
${\displaystyle \mathbf {CS} }$: Semigrupo simple	J a = S . (No existe ningún A ⊆ S , A ≠ S tal que SA ⊆ A y AS ⊆ A .), equivalentemente, para semigrupo finito: y .${\displaystyle a^{\omega }a=a}$${\displaystyle (aba)^{\omega }=a^{\omega }}$	Finito	C&P pág. 5 Higg pág. 16 Pin págs. 151, 158
Semigrupo 0-simple	0 ∈ S S2 ≠ 0 Si A ⊆ S es tal que AS ⊆ A y SA ⊆ A entonces A = 0.		C&P pág. 67
Semigrupo 0-simple de izquierda	0 ∈ S S2 ≠ 0 Si A ⊆ S es tal que SA ⊆ A entonces A = 0.		C&P pág. 67
Semigrupo 0-simple derecho	0 ∈ S S2 ≠ 0 Si A ⊆ S es tal que AS ⊆ A entonces A = 0.		C&P pág. 67
Semigrupo cíclico ( semigrupo monogénico )	S = { w , w 2 , w 3 , ... } para algún w en S	No infinito No finito	C&P pág. 19
Semigrupo periódico	{ a , a 2 , a 3 , ... } es un conjunto finito.	No infinito Finito	C&P pág. 20
Semigrupo bicíclico	1 ∈ S S admite la presentación .${\displaystyle \langle x,y\mid xy=1\rangle }$		C&P pág. 43–46
Semigrupo de transformación completa T X (Semigrupo simétrico)	Conjunto de todas las aplicaciones de X en sí mismo con composición de aplicaciones como operación binaria .		C&P pág. 2
Banda rectangular	Una banda tal que aba = a Equivalentemente abc = ac	Infinito Finito	Fennemore
Semigrupo rectangular	Siempre que tres de ax , ay , bx , by sean iguales, los cuatro son iguales.		C&P pág. 97
Semigrupo inverso simétrico I X	El semigrupo de transformaciones parciales uno a uno de X .		C&P pág. 29
Semigrupo Brandt	0 ∈ S ( ac = bc ≠ 0 o ca = cb ≠ 0 ) ⇒   a = b ( ab ≠ 0 y bc ≠ 0 ) ⇒   abc ≠ 0 Si a ≠ 0 existen únicos x , y , z , tales que xa = a , ay = a , za = y . ( e ≠ 0 y f ≠ 0 ) ⇒   eSf ≠ 0.		C&P pág. 101
Semigrupo libre F X	Conjunto de sucesiones finitas de elementos de X con la operación ( x 1 , ..., x m ) ( y 1 , ..., y n ) = ( x 1 , ..., x m , y 1 , ..., y n )		Gril pág. 18
Semigrupo de matrices de Rees	G 0 un grupo G con 0 adyacente. P  : Λ × I → G 0 un mapa. Defina una operación en I × G 0 × Λ por ( i , g , λ ) ( j , h , μ ) = ( i , g P( λ, j ) h , μ ). ( I , G 0 , Λ )/( I × { 0 } × Λ ) es el semigrupo de matrices de Rees M 0 ( G 0 ; I , Λ ; P ).		C&P pág. 88
Semigrupo de transformaciones lineales	Semigrupo de transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F bajo composición de funciones .		C&P pág. 57
Semigrupo de relaciones binarias B X	Conjunto de todas las relaciones binarias en X bajo composición		C&P pág. 13
Semigrupo numérico	0 ∈ S ⊆ N = { 0,1,2, ... } bajo + . N - S es finito		Delgadez
Semigrupo con involución (*-semigrupo)	Existe una operación unaria a → a * en S tal que a ** = a y ( ab )* = b * a *.		Cómo
Semigrupo Baer-Levi	Semigrupo de transformaciones biunívocas f de X tales que X − f ( X ) es infinito.		C&P II Cap.8
Semigrupo U	Existe una operación unaria a → a ' en S tal que ( a ')' = a .		Howi pág. 102
I -semigrupo	Existe una operación unaria a → a ' en S tal que ( a ')' = a y aa ' a = a .		Howi pág. 102
Semibanda	Un semigrupo regular generado por sus idempotentes.		Howi pág. 230
Grupo	Existe h tal que para todo a, ah = ha = a . Existe x (dependiendo de a ) tal que ax = xa = h .	No infinito Finito
Semigrupo topológico	Semigrupo que es también un espacio topológico, tal que el producto del semigrupo es continuo.	No aplicable	Pin pág. 130
Semigrupo sintáctico	El monoide finito más pequeño que puede reconocer un subconjunto de otro semigrupo.		Pin pág. 14
${\displaystyle \mathbf {R} }$:los monoides R -triviales	R -trivial. Es decir, cada clase de R -equivalencia es trivial. De manera equivalente, para semigrupo finito: .${\displaystyle (ab)^{\omega }a=(ab)^{\omega }}$	Finito	Pin pág. 158
${\displaystyle \mathbf {L} }$: los monoides L -triviales	L -trivial. Es decir, cada clase de L -equivalencia es trivial. De manera equivalente, para monoides finitos, .${\displaystyle b(ab)^{\omega }=(ab)^{\omega }}$	Finito	Pin pág. 158
${\displaystyle \mathbf {J} }$: los monoides J -triviales	Monoides que son J -triviales. Es decir, cada clase de J -equivalencia es trivial. Equivalentemente, los monoides que son L -triviales y R -triviales.	Finito	Pin pág. 158
${\displaystyle \mathbf {R_{1}} }$: monoides idempotentes y R -triviales	R -trivial. Es decir, cada clase de R -equivalencia es trivial. De manera equivalente, para monoides finitos: aba = ab .	Finito	Pin pág. 158
${\displaystyle \mathbf {L_{1}} }$: monoides idempotentes y L -triviales	L -trivial. Es decir, cada clase de L -equivalencia es trivial. De manera equivalente, para monoides finitos: aba = ba .	Finito	Pin pág. 158
${\displaystyle \mathbb {D} \mathbf {S} }$:Semigrupo cuyos D regulares son semigrupo	De manera equivalente, para monoides finitos: .${\displaystyle (a^{\omega }a^{\omega }a^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }}$ De manera equivalente, las clases H regulares son grupos, De manera equivalente, v ≤ J a implica v R va y v L av De manera equivalente, para cada idempotente e , el conjunto de a tal que e ≤ J a es cerrado bajo producto (es decir, este conjunto es un subsemigrupo) De manera equivalente, no existen e y f idempotentes tales que e J f pero no ef J e De manera equivalente, el monoide no se divide${\displaystyle B_{2}^{1}}$${\displaystyle S\times S}$	Finito	Pin págs. 154, 155, 158
${\displaystyle \mathbb {D} \mathbf {A} }$:Semigrupo cuyos D regulares son semigrupos aperiódicos	Cada clase D regular es un semigrupo aperiódico De manera equivalente, cada clase D regular es una banda rectangular. De manera equivalente, las clases D regulares son semigrupos y, además, S es aperiódico. De manera equivalente, para un monoide finito: las D-clases regulares son semigrupos y, además,${\displaystyle aa^{\omega }=a^{\omega }}$ De manera equivalente, e ≤ J a implica eae = e Equivalentemente, e ≤ J f implica efe = e .	Finito	Pin pág. 156, 158
${\displaystyle \ell \mathbf {1} }$/ : Semigrupo trivial para zurdos${\displaystyle \mathbf {K} }$	y : eS = e , De manera equivalente, I es un semigrupo cero izquierdo igual a E , De manera equivalente, para un semigrupo finito: I es un semigrupo cero izquierdo igual a ,${\displaystyle S^{|S|}}$ De manera equivalente, para un semigrupo finito: ,${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}y=a_{1}\dots a_{n}}$ De manera equivalente, para semigrupo finito: .${\displaystyle a^{\omega }b=a^{\omega }}$	Finito	Pin págs. 149, 158
${\displaystyle \mathbf {r1} }$/ : Semigrupo trivial derecho${\displaystyle \mathbf {D} }$	y : Se = e , De manera equivalente, I es un semigrupo cero derecho igual a E , De manera equivalente, para un semigrupo finito: I es un semigrupo cero derecho igual a ,${\displaystyle S^{|S|}}$ De manera equivalente, para un semigrupo finito: ,${\displaystyle ba_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$ De manera equivalente, para semigrupo finito: .${\displaystyle ba^{\omega }=a^{\omega }}$	Finito	Pin págs. 149, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {1} }$: Semigrupo trivial localmente	eSe = e , De manera equivalente, I es igual a E , De manera equivalente, eaf = ef , De manera equivalente, para un semigrupo finito: ,${\displaystyle ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$ De manera equivalente, para un semigrupo finito: ,${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$ De manera equivalente, para semigrupo finito: .${\displaystyle a^{\omega }ba^{\omega }=a^{\omega }}$	Finito	Pin págs. 150, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {G} }$:Grupos locales	eSe es un grupo, De manera equivalente, E ⊆ I , De manera equivalente, para semigrupo finito: .${\displaystyle (a^{\omega }ba^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }}$	Finito	Pin págs. 151, 158

Lista de clases especiales de semigrupos ordenados

Terminología	Definición de propiedad	Variedad	Referencia(s)
Semigrupo ordenado	Un semigrupo con una relación de orden parcial ≤, tal que a ≤ b implica c•a ≤ c•b y a•c ≤ b•c	Finito	Pin pág. 14
${\displaystyle \mathbf {N} ^{+}}$	Semigrupos finitos nilpotentes, con${\displaystyle a\leq b^{\omega }}$	Finito	Pin págs. 157, 158
${\displaystyle \mathbf {N} ^{-}}$	Semigrupos finitos nilpotentes, con${\displaystyle b^{\omega }\leq a}$	Finito	Pin págs. 157, 158
${\displaystyle \mathbf {J} _{1}^{+}}$	Semirrejillas con${\displaystyle 1\leq a}$	Finito	Pin págs. 157, 158
${\displaystyle \mathbf {J} _{1}^{-}}$	Semirrejillas con${\displaystyle a\leq 1}$	Finito	Pin págs. 157, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {J} _{1}^{+}}$Semigrupo J-trivial localmente positivo	Semigrupos finitos que satisfacen${\displaystyle a^{\omega }\leq a^{\omega }ba^{\omega }}$	Finito	Pin págs. 157, 158