Espacio compacto

En matemáticas , específicamente en topología general , la compacidad es una propiedad que busca generalizar la noción de un subconjunto cerrado y acotado del espacio euclidiano . ^[1] La idea es que un espacio compacto no tiene "pinchazos" ni "puntos finales faltantes", es decir, incluye todos los valores límite de los puntos. Por ejemplo, el intervalo abierto (0,1) no sería compacto porque excluye los valores límite de 0 y 1, mientras que el intervalo cerrado [0,1] sí sería compacto. De manera similar, el espacio de los números racionales no es compacto, porque tiene infinitos "pinchazos" correspondientes a los números irracionales , y el espacio de los números reales tampoco es compacto, porque excluye los dos valores límite y . Sin embargo, la recta de números reales extendida sería compacta, ya que contiene ambos infinitos. Hay muchas formas de hacer precisa esta noción heurística. Estas formas suelen concordar en un espacio métrico , pero pueden no ser equivalentes en otros espacios topológicos .${\displaystyle \mathbb {Q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$${\estilo de visualización +\infty}$${\estilo de visualización -\infty}$

Una de esas generalizaciones es que un espacio topológico es secuencialmente compacto si cada secuencia infinita de puntos muestreados del espacio tiene una subsecuencia infinita que converge a algún punto del espacio. ^[2] El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que un subconjunto del espacio euclidiano es compacto en este sentido secuencial si y solo si es cerrado y acotado. Por lo tanto, si uno elige un número infinito de puntos en el intervalo unitario cerrado [0, 1] , algunos de esos puntos se acercarán arbitrariamente a algún número real en ese espacio. Por ejemplo, algunos de los números en la secuencia ⁠ 1/2⁠ , ⁠4/5⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠5/6⁠ , ⁠1/4⁠ , ⁠6/7⁠ , ... se acumulan hasta 0 (mientras que otros se acumulan hasta 1). Dado que ni 0 ni 1 son miembros del intervalo unitario abierto (0, 1) , esos mismos conjuntos de puntos no se acumularían en ningún punto de él, por lo que el intervalo unitario abierto no es compacto. Aunque los subconjuntos (subespacios) del espacio euclidiano pueden ser compactos, el espacio entero en sí mismo no es compacto, ya que no está acotado. Por ejemplo, considerando(la recta de números reales), la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3, ... no tiene subsucesión que converja a ningún número real.${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

La compacidad fue introducida formalmente por Maurice Fréchet en 1906 para generalizar el teorema de Bolzano-Weierstrass desde espacios de puntos geométricos a espacios de funciones . El teorema de Arzelà-Ascoli y el teorema de existencia de Peano ejemplifican aplicaciones de esta noción de compacidad al análisis clásico. Después de su introducción inicial, varias nociones equivalentes de compacidad, incluyendo compacidad secuencial y compacidad de punto límite , fueron desarrolladas en espacios métricos generales . ^[3] En espacios topológicos generales, sin embargo, estas nociones de compacidad no son necesariamente equivalentes. La noción más útil —y la definición estándar del término no calificado compacidad— se expresa en términos de la existencia de familias finitas de conjuntos abiertos que " cubren " el espacio, en el sentido de que cada punto del espacio se encuentra en algún conjunto contenido en la familia. Esta noción más sutil, introducida por Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn en 1929, exhibe espacios compactos como generalizaciones de conjuntos finitos . En espacios que son compactos en este sentido, a menudo es posible unir información que es válida localmente –es decir, en un vecindario de cada punto– en enunciados correspondientes que son válidos en todo el espacio, y muchos teoremas son de este carácter.

El término conjunto compacto se utiliza a veces como sinónimo de espacio compacto, pero también suele referirse a un subespacio compacto de un espacio topológico .

En el siglo XIX se comprendieron varias propiedades matemáticas dispares que más tarde se considerarían consecuencias de la compacidad. Por un lado, Bernard Bolzano (1817) había sido consciente de que cualquier secuencia acotada de puntos (en la línea o el plano, por ejemplo) tiene una subsecuencia que eventualmente debe acercarse arbitrariamente a algún otro punto, llamado punto límite . La prueba de Bolzano se basó en el método de bisección : la secuencia se colocó en un intervalo que luego se dividió en dos partes iguales, y se seleccionó una parte que contenía infinitos términos de la secuencia. El proceso se podía repetir luego dividiendo el intervalo más pequeño resultante en partes cada vez más pequeñas, hasta que se cerrara en el punto límite deseado. El significado completo del teorema de Bolzano y su método de prueba no emergería hasta casi 50 años después, cuando fue redescubierto por Karl Weierstrass . ^[4]

En la década de 1880, se hizo evidente que resultados similares al teorema de Bolzano-Weierstrass podían formularse para espacios de funciones en lugar de solo números o puntos geométricos. La idea de considerar las funciones como puntos de un espacio generalizado se remonta a las investigaciones de Giulio Ascoli y Cesare Arzelà . ^[5] La culminación de sus investigaciones, el teorema de Arzelà-Ascoli , fue una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass a familias de funciones continuas , cuya conclusión precisa fue que era posible extraer una secuencia uniformemente convergente de funciones a partir de una familia adecuada de funciones. El límite uniforme de esta secuencia jugó entonces exactamente el mismo papel que el "punto límite" de Bolzano. Hacia principios del siglo XX, resultados similares a los de Arzelà y Ascoli comenzaron a acumularse en el área de ecuaciones integrales , como lo investigaron David Hilbert y Erhard Schmidt . Para una cierta clase de funciones de Green provenientes de soluciones de ecuaciones integrales, Schmidt había demostrado que se cumplía una propiedad análoga al teorema de Arzelà-Ascoli en el sentido de convergencia media –o convergencia en lo que más tarde se llamaría espacio de Hilbert– . Esto finalmente condujo a la noción de operador compacto como una derivación de la noción general de espacio compacto. Fue Maurice Fréchet quien, en 1906, había destilado la esencia de la propiedad de Bolzano-Weierstrass y acuñado el término compacidad para referirse a este fenómeno general (usó el término ya en su artículo de 1904 ^[6] que condujo a la famosa tesis de 1906).

Sin embargo, a finales del siglo XIX también había surgido lentamente una noción diferente de compacidad a partir del estudio del continuo , que se consideraba fundamental para la formulación rigurosa del análisis. En 1870, Eduard Heine demostró que una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado era de hecho uniformemente continua . En el curso de la demostración, hizo uso de un lema según el cual, de cualquier cobertura numerable del intervalo por intervalos abiertos más pequeños, era posible seleccionar un número finito de estos que también lo cubrieran. La importancia de este lema fue reconocida por Émile Borel (1895), y fue generalizada a colecciones arbitrarias de intervalos por Pierre Cousin (1895) y Henri Lebesgue (1904). El teorema de Heine-Borel , como se conoce ahora el resultado, es otra propiedad especial que poseen los conjuntos cerrados y acotados de números reales.

Esta propiedad era significativa porque permitía el paso de información local sobre un conjunto (como la continuidad de una función) a información global sobre el conjunto (como la continuidad uniforme de una función). Este sentimiento fue expresado por Lebesgue (1904), quien también lo explotó en el desarrollo de la integral que ahora lleva su nombre . Finalmente, la escuela rusa de topología de conjuntos puntuales , bajo la dirección de Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn , formuló la compacidad de Heine-Borel de una manera que pudiera aplicarse a la noción moderna de un espacio topológico . Alexandrov y Urysohn (1929) demostraron que la versión anterior de compacidad debida a Fréchet, ahora llamada compacidad secuencial (relativa) , en condiciones apropiadas se desprendía de la versión de compacidad que se formuló en términos de la existencia de subcubiertas finitas. Fue esta noción de compacidad la que se convirtió en la dominante, porque no sólo era una propiedad más fuerte, sino que podía formularse en un contexto más general con un mínimo de maquinaria técnica adicional, ya que se basaba únicamente en la estructura de los decorados abiertos en un espacio.

Todo espacio finito es compacto; se puede obtener una subcubierta finita seleccionando, para cada punto, un conjunto abierto que lo contenga. Un ejemplo no trivial de un espacio compacto es el intervalo unitario (cerrado) [0,1] de números reales . Si se elige un número infinito de puntos distintos en el intervalo unitario, entonces debe haber algún punto de acumulación entre estos puntos en ese intervalo. Por ejemplo, los términos impares de la secuencia 1,  ⁠1/2⁠ ,  ⁠1/3⁠ ,  ⁠3/4⁠ ,  ⁠1/5⁠ ,  ⁠5/6⁠ ,  ⁠1/7⁠ ,  ⁠7/8⁠ , ... se acercan arbitrariamente a 0, mientras que los pares se acercan arbitrariamente a 1. La secuencia de ejemplo dada muestra la importancia de incluir los puntos límite del intervalo, ya que los puntos límite deben estar en el espacio mismo: un intervalo abierto (o semiabierto) de los números reales no es compacto. También es crucial que el intervalo esté acotado , ya que en el intervalo [0,∞) , se podría elegir la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3, ... , de las cuales ninguna subsecuencia se acerca arbitrariamente a ningún número real dado.

En dos dimensiones, los discos cerrados son compactos, ya que para cualquier número infinito de puntos muestreados de un disco, algún subconjunto de esos puntos debe acercarse arbitrariamente a un punto dentro del disco o a un punto en el límite. Sin embargo, un disco abierto no es compacto, porque una secuencia de puntos puede tender al límite, sin acercarse arbitrariamente a ningún punto en el interior. Del mismo modo, las esferas son compactas, pero una esfera a la que le falta un punto no lo es, ya que una secuencia de puntos aún puede tender al punto faltante, por lo que no se acerca arbitrariamente a ningún punto dentro del espacio. Las líneas y los planos no son compactos, ya que uno puede tomar un conjunto de puntos igualmente espaciados en cualquier dirección dada sin acercarse a ningún punto.

Se pueden aplicar varias definiciones de compacidad, dependiendo del nivel de generalidad. Un subconjunto del espacio euclidiano en particular se llama compacto si es cerrado y acotado . Esto implica, por el teorema de Bolzano-Weierstrass , que cualquier secuencia infinita del conjunto tiene una subsecuencia que converge a un punto en el conjunto. Se pueden desarrollar varias nociones equivalentes de compacidad, como la compacidad secuencial y la compacidad del punto límite , en espacios métricos generales . ^[3]

Por el contrario, las diferentes nociones de compacidad no son equivalentes en espacios topológicos generales , y la noción más útil de compacidad –originalmente llamada bicompacidad– se define utilizando cubiertas que consisten en conjuntos abiertos (véase la definición de cubierta abierta más abajo). El hecho de que esta forma de compacidad se cumpla para subconjuntos cerrados y acotados del espacio euclidiano se conoce como el teorema de Heine-Borel . La compacidad, cuando se define de esta manera, a menudo permite tomar información que se conoce localmente –en un entorno de cada punto del espacio– y extenderla a información que se cumple globalmente en todo el espacio. Un ejemplo de este fenómeno es el teorema de Dirichlet, al que Heine lo aplicó originalmente, que sostiene que una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua ; aquí, la continuidad es una propiedad local de la función, y la continuidad uniforme la propiedad global correspondiente.

Formalmente, un espacio topológico X se llama compacto si cada cubierta abierta de X tiene una subcubierta finita . ^[7] Es decir, X es compacto si para cada colección C de subconjuntos abiertos ^[8] de X tales que

$${\displaystyle X=\bigcup _{S\in C}S\ ,}$$

existe una subcolección finita F ⊆ C tal que

$${\displaystyle X=\bigcup _{S\in F}S\ .}$$

Algunas ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica , típicamente influenciada por la escuela francesa de Bourbaki , utilizan el término cuasicompacto para la noción general y reservan el término compacto para los espacios topológicos que son tanto de Hausdorff como cuasicompactos . A veces se hace referencia a un conjunto compacto como compactum , plural compacta .

Se dice que un subconjunto K de un espacio topológico X es compacto si es compacto como subespacio (en la topología de subespacios ). Es decir, K es compacto si para cada colección arbitraria C de subconjuntos abiertos de X tales que

$${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\ ,}$$

existe una subcolección finita F ⊆ C tal que

$${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\ .}$$

La compacidad es una propiedad topológica. Es decir, si , con el subconjunto Z dotado de la topología de subespacio, entonces K es compacto en Z si y solo si K es compacto en Y .${\displaystyle K\subconjunto Z\subconjunto Y}$

Si X es un espacio topológico entonces los siguientes son equivalentes:

1. X es compacto; es decir, cada cubierta abierta de X tiene una subcubierta finita .
2. X tiene una subbase tal que cada cobertura del espacio, por miembros de la subbase, tiene una subcobertura finita ( teorema de la subbase de Alexander ).
3. X es Lindelöf y numerablemente compacto . ^[9]
4. Cualquier colección de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersección finita tiene intersección no vacía.
5. Cada red en X tiene una subred convergente (consulte el artículo sobre redes para obtener una prueba).
6. Cada filtro en X tiene un refinamiento convergente.
7. Cada red en X tiene un punto de agrupamiento.
8. Cada filtro en X tiene un punto de agrupamiento.
9. Cada ultrafiltro en X converge al menos a un punto.
10. Todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación completo . ^[10]
11. Para cada espacio topológico Y , la proyección es una aplicación cerrada ^[11] (ver la aplicación propiamente dicha ).${\displaystyle X\veces Y\a Y}$
12. Toda cubierta abierta ordenada linealmente por inclusión de subconjunto contiene X . ^[12]

Bourbaki define un espacio compacto (espacio cuasi-compacto) como un espacio topológico donde cada filtro tiene un punto de agrupamiento (es decir, 8. en el ejemplo anterior). ^[13]

Para cualquier subconjunto A del espacio euclidiano , A es compacto si y sólo si es cerrado y acotado ; este es el teorema de Heine-Borel .

Como un espacio euclidiano es un espacio métrico, las condiciones de la siguiente subsección también se aplican a todos sus subconjuntos. De todas las condiciones equivalentes, en la práctica es más fácil verificar que un subconjunto es cerrado y acotado, por ejemplo, para un intervalo cerrado o una bola n cerrada .

Para cualquier espacio métrico ( X , d ) , los siguientes son equivalentes (asumiendo una elección contable ):

1. ( X , d ) es compacto.
2. ( X , d ) es completo y totalmente acotado (esto también es equivalente a compacidad para espacios uniformes ). ^[14]
3. ( X , d ) es secuencialmente compacta; es decir, cada secuencia en X tiene una subsecuencia convergente cuyo límite está en X (esto también es equivalente a la compacidad para espacios uniformes numerables primero ).
4. ( X , d ) es compacto en puntos límite (también llamado compacto débilmente numerable); es decir, cada subconjunto infinito de X tiene al menos un punto límite en X .
5. ( X , d ) es numerablemente compacto ; es decir, cada cubierta abierta numerable de X tiene una subcubierta finita.
6. ( X , d ) es una imagen de una función continua del conjunto de Cantor . ^[15]
7. Toda secuencia anidada decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos S ₁ ⊇ S ₂ ⊇ ... en ( X , d ) tiene una intersección no vacía.
8. Toda secuencia anidada creciente de subconjuntos abiertos propios S ₁ ⊆ S ₂ ⊆ ... en ( X , d ) no cubre X .

Un espacio métrico compacto ( X , d ) también satisface las siguientes propiedades:

1. Lema del número de Lebesgue : Para cada cubierta abierta de X , existe un número δ > 0 tal que cada subconjunto de X de diámetro < δ está contenido en algún miembro de la cubierta.
2. ( X , d ) es numerable en segundo lugar , separable y de Lindelöf : estas tres condiciones son equivalentes para los espacios métricos. Lo inverso no es cierto; por ejemplo, un espacio discreto numerable satisface estas tres condiciones, pero no es compacto.
3. X es cerrado y acotado (como un subconjunto de cualquier espacio métrico cuya métrica restringida es d ). La inversa puede fallar para un espacio no euclidiano; por ejemplo, la línea real equipada con la métrica discreta es cerrada y acotada pero no compacta, ya que la colección de todos los singletons del espacio es una cobertura abierta que no admite ninguna subcobertura finita. Es completa pero no totalmente acotada.

Para un espacio ordenado ( X , <) (es decir, un conjunto totalmente ordenado equipado con la topología de orden), los siguientes son equivalentes:

1. ( X , <) es compacto.
2. Cada subconjunto de X tiene un supremo (es decir, un límite superior mínimo) en X.
3. Cada subconjunto de X tiene un ínfimo (es decir, un límite inferior máximo) en X.
4. Cada subconjunto cerrado no vacío de X tiene un elemento máximo y un elemento mínimo.

Un espacio ordenado que satisface (cualquiera de) estas condiciones se denomina red completa.

Además, las siguientes son equivalentes para todos los espacios ordenados ( X , <) y (asumiendo que la elección es contable ) son verdaderas siempre que ( X , <) sea compacto. (La inversa en general falla si ( X , <) no es también metrizable.):

1. Cada secuencia en ( X , <) tiene una subsecuencia que converge en ( X , <) .
2. Toda secuencia monótona creciente en X converge a un límite único en X.
3. Toda secuencia monótona decreciente en X converge a un límite único en X.
4. Toda secuencia anidada decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos S ₁ ⊇ S ₂ ⊇ ... en ( X , <) tiene una intersección no vacía.
5. Toda secuencia anidada creciente de subconjuntos abiertos propios S ₁ ⊆ S ₂ ⊆ ... en ( X , <) no cubre X .

Sea X un espacio topológico y C( X ) el anillo de funciones reales continuas en X . Para cada p ∈ X , la función de evaluación dada por ev _p ( f ) = f ( p ) es un homomorfismo de anillo. El núcleo de ev _p es un ideal maximal , ya que el cuerpo de residuos C( X )/ker ev _p es el cuerpo de números reales, por el primer teorema de isomorfismo . Un espacio topológico X es pseudocompacto si y solo si cada ideal maximal en C( X ) tiene cuerpo de residuos los números reales. Para espacios completamente regulares , esto es equivalente a que cada ideal maximal sea el núcleo de un homomorfismo de evaluación. ^[16] Sin embargo, hay espacios pseudocompactos que no son compactos.${\displaystyle \operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbb {R} }$

En general, para espacios no pseudocompactos siempre hay ideales maximales m en C( X ) tales que el cuerpo de residuos C( X )/ m es un cuerpo hiperreal ( no arquimediano ) . El marco del análisis no estándar permite la siguiente caracterización alternativa de la compacidad: ^[17] un espacio topológico X es compacto si y solo si cada punto x de la extensión natural *X está infinitamente cerca de un punto x ₀ de X (más precisamente, x está contenido en la mónada de x ₀ ).

Un espacio X es compacto si su extensión hiperreal *X (construida, por ejemplo, mediante la construcción de ultrapotencias ) tiene la propiedad de que cada punto de *X está infinitamente cerca de algún punto de X ⊂ *X . Por ejemplo, un intervalo real abierto X = (0, 1) no es compacto porque su extensión hiperreal *(0,1) contiene infinitesimales, que están infinitamente cerca de 0, que no es un punto de X .

• Un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto. ^[18]
• Una unión finita de conjuntos compactos es compacta.
• Una imagen continua de un espacio compacto es compacta. ^[19]
• La intersección de cualquier colección no vacía de subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff es compacta (y cerrada);
  • Si X no es Hausdorff, entonces la intersección de dos subconjuntos compactos puede no ser compacta (véase la nota al pie, por ejemplo). ^[a]
• El producto de cualquier colección de espacios compactos es compacto. (Este es el teorema de Tichonoff , que es equivalente al axioma de elección ).
• En un espacio metrizable , un subconjunto es compacto si y sólo si es secuencialmente compacto (asumiendo una elección contable ).
• Un conjunto finito dotado de cualquier topología es compacto.

• Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff X es cerrado.
  • Si X no es Hausdorff, entonces un subconjunto compacto de X puede no ser un subconjunto cerrado de X (véase la nota al pie, por ejemplo). ^[b]
  • Si X no es Hausdorff, entonces el cierre de un conjunto compacto puede no ser compacto (véase la nota al pie, por ejemplo). ^[c]
• En cualquier espacio vectorial topológico (TVS), un subconjunto compacto es completo . Sin embargo, todo TVS que no sea de Hausdorff contiene subconjuntos compactos (y, por lo tanto, completos) que no son cerrados.
• Si A y B son subconjuntos compactos disjuntos de un espacio de Hausdorff X , entonces existen conjuntos abiertos disjuntos U y V en X tales que A ⊆ U y B ⊆ V.
• Una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo .
• Un espacio de Hausdorff compacto es normal y regular .
• Si un espacio X es compacto y de Hausdorff, entonces ninguna topología más fina en X es compacta y ninguna topología más gruesa en X es de Hausdorff.
• Si un subconjunto de un espacio métrico ( X , d ) es compacto entonces está d -acotado.

Como una imagen continua de un espacio compacto es compacta, el teorema del valor extremo se cumple para tales espacios: una función continua de valor real en un espacio compacto no vacío está acotada superiormente y alcanza su supremo. ^[20] (De manera un poco más general, esto es cierto para una función semicontinua superior). Como una especie de recíproco a las afirmaciones anteriores, la preimagen de un espacio compacto bajo una función propia es compacta.

Todo espacio topológico X es un subespacio denso abierto de un espacio compacto que tiene como máximo un punto más que X , por compactificación de un punto de Alexandroff . Por la misma construcción, todo espacio de Hausdorff localmente compacto X es un subespacio denso abierto de un espacio de Hausdorff compacto que tiene como máximo un punto más que X .

Un subconjunto compacto no vacío de los números reales tiene un elemento mayor y un elemento menor.

Sea X un conjunto ordenado de manera simple dotado de la topología de orden . Entonces X es compacto si y sólo si X es una red completa (es decir, todos los subconjuntos tienen suprema e ínfima). ^[21]

• Todo espacio topológico finito , incluido el conjunto vacío , es compacto. En términos más generales, todo espacio con una topología finita (solo un número finito de conjuntos abiertos) es compacto; esto incluye en particular la topología trivial .
• Cualquier espacio que lleve la topología cofinita es compacto.
• Cualquier espacio localmente compacto de Hausdorff puede convertirse en un espacio compacto si se le añade un único punto, mediante la compactificación de un punto de Alexandroff . La compactificación de un punto de es homeomorfa al círculo S ¹ ; la compactificación de un punto de es homeomorfa a la esfera S ² . Utilizando la compactificación de un punto, también se pueden construir fácilmente espacios compactos que no sean de Hausdorff, empezando con un espacio que no sea de Hausdorff.${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• La topología de orden derecho o de orden izquierdo en cualquier conjunto totalmente ordenado y acotado es compacta. En particular, el espacio de Sierpiński es compacto.
• Ningún espacio discreto con un número infinito de puntos es compacto. La colección de todos los singletons del espacio es una cubierta abierta que no admite ninguna subcubierta finita. Los espacios discretos finitos son compactos.
• Al llevar a cabo la topología de límite inferior , ningún conjunto incontable es compacto.${\displaystyle \mathbb {R}}$
• En la topología cocontable sobre un conjunto incontable, ningún conjunto infinito es compacto. Al igual que en el ejemplo anterior, el espacio en su totalidad no es localmente compacto , pero sigue siendo Lindelöf .
• El intervalo unitario cerrado [0, 1] es compacto. Esto se deduce del teorema de Heine-Borel . El intervalo abierto (0, 1) no es compacto: la cobertura abierta para n = 3, 4, ...  no tiene una subcobertura finita. De manera similar, el conjunto de números racionales en el intervalo cerrado [0,1] no es compacto: los conjuntos de números racionales en los intervalos cubren todos los racionales en [0, 1] para n = 4, 5, ...  pero esta cobertura no tiene una subcobertura finita. Aquí, los conjuntos son abiertos en la topología del subespacio aunque no sean abiertos como subconjuntos de  .${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ y }}\left[{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$${\displaystyle \mathbb {R}}$
• El conjunto de todos los números reales no es compacto, ya que existe una cobertura de intervalos abiertos que no tiene una subcobertura finita. Por ejemplo, los intervalos ( n − 1,  n + 1) , donde n toma todos los valores enteros en Z , cubren , pero no hay una subcobertura finita.${\displaystyle \mathbb {R}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$
• Por otra parte, la recta real extendida que lleva la topología análoga es compacta; nótese que la cobertura descrita anteriormente nunca alcanzaría los puntos en el infinito y, por lo tanto, no cubriría la recta real extendida. De hecho, el conjunto tiene el homeomorfismo de [−1, 1] de mapear cada infinito a su unidad correspondiente y cada número real a su signo multiplicado por el número único en la parte positiva del intervalo que da como resultado su valor absoluto cuando se divide por uno menos sí mismo, y dado que los homeomorfismos conservan las coberturas, se puede inferir la propiedad de Heine-Borel.
• Para cada número natural n , la n -esfera es compacta. De nuevo, a partir del teorema de Heine-Borel, la esfera unitaria cerrada de cualquier espacio vectorial normado de dimensión finita es compacta. Esto no es cierto para dimensiones infinitas; de hecho, un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y solo si su esfera unitaria cerrada es compacta.
• Por otra parte, la bola unitaria cerrada del dual de un espacio normado es compacta para la topología débil-*. ( Teorema de Alaoglu )
• El conjunto de Cantor es compacto. De hecho, todo espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor.
• Considérese el conjunto K de todas las funciones f  : → [0, 1]${\displaystyle \mathbb {R}}$ desde la recta de números reales hasta el intervalo unitario cerrado, y defina una topología en K de modo que una sucesión en K converja hacia f ∈ K si y solo si converge hacia f ( x ) para todos los números reales x . Solo existe una topología de este tipo; se llama topología de convergencia puntual o topología de producto . Entonces K es un espacio topológico compacto; esto se deduce del teorema de Tichonoff .$Estilo de visualización: f_{n}$$Estilo de visualización: f(x)$
• Un subconjunto del espacio de Banach de funciones continuas de valor real en un espacio de Hausdorff compacto es relativamente compacto si y sólo si es equicontinuo y puntualmente acotado ( teorema de Arzelà-Ascoli ).
• Considérese el conjunto K de todas las funciones f  : [0, 1]  → [0, 1] que satisfacen la condición de Lipschitz | f ( x ) −  f ( y ) | ≤ | x  −  y | para todo x ,  y  ∈  [0,1] . Considérese en K la métrica inducida por la distancia uniforme Entonces, por el teorema de Arzelà–Ascoli, el espacio K es compacto.${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$
• El espectro de cualquier operador lineal acotado en un espacio de Banach es un subconjunto compacto no vacío de los números complejos . A la inversa, cualquier subconjunto compacto de surge de esta manera, como el espectro de algún operador lineal acotado. Por ejemplo, un operador diagonal en el espacio de Hilbert puede tener cualquier subconjunto compacto no vacío de como espectro.${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$
• El espacio de medidas de probabilidad de Borel en un espacio de Hausdorff compacto es compacto para la topología vaga , por el teorema de Alaoglu.
• Una colección de medidas de probabilidad en los conjuntos de Borel del espacio euclidiano se denomina compacta si, para cualquier épsilon positivo, existe un subconjunto compacto que contiene todas las masas de cada una de las medidas, excepto como máximo épsilon. El teorema de Helly afirma entonces que una colección de medidas de probabilidad es relativamente compacta para la topología vaga si y solo si es compacta.

• Los grupos topológicos como un grupo ortogonal son compactos, mientras que los grupos como un grupo lineal general no lo son.
• Dado que los números enteros p -ádicos son homeomorfos al conjunto de Cantor, forman un conjunto compacto.
• Cualquier cuerpo global K es un subgrupo aditivo discreto de su anillo de Adele y el espacio cociente es compacto. Esto se utilizó en la tesis de John Tate para permitir que el análisis armónico se utilizara en la teoría de números .
• El espectro de cualquier anillo conmutativo con la topología de Zariski (es decir, el conjunto de todos los ideales primos) es compacto, pero nunca de Hausdorff (excepto en casos triviales). En geometría algebraica, tales espacios topológicos son ejemplos de esquemas cuasi-compactos , donde "cuasi" hace referencia a la naturaleza no hausdorffiana de la topología.
• El espectro de un álgebra de Boole es compacto, hecho que forma parte del teorema de representación de Stone . Los espacios de Stone , espacios de Hausdorff compactos y totalmente desconectados , forman el marco abstracto en el que se estudian estos espectros. Dichos espacios también son útiles en el estudio de grupos profinitos .
• El espacio de estructura de un álgebra de Banach unital conmutativa es un espacio de Hausdorff compacto.
• El cubo de Hilbert es compacto, otra consecuencia del teorema de Tichonoff.
• Un grupo profinito (por ejemplo, el grupo de Galois ) es compacto.

• Sundström, Manya Raman (2010). "Una historia pedagógica de la compacidad". arXiv : 1006.4131v1 [math.HO].

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