Formas diferenciales cerradas y exactas

En matemáticas , especialmente en cálculo vectorial y topología diferencial , una forma cerrada es una forma diferencial α cuya derivada exterior es cero ( dα = 0 ), y una forma exacta es una forma diferencial, α , que es la derivada exterior de otra forma diferencial β . Por lo tanto, una forma exacta está en la imagen de d , y una forma cerrada está en el núcleo de d .

Para una forma exacta α , α = dβ para alguna forma diferencial β de grado uno menor que el de α . La forma β se denomina "forma potencial" o "primitiva" para α . Dado que la derivada exterior de una forma cerrada es cero, β no es única, pero puede modificarse mediante la adición de cualquier forma cerrada de grado uno menor que el de α .

Como d ² = 0 , toda forma exacta es necesariamente cerrada. La cuestión de si toda forma cerrada es exacta depende de la topología del dominio de interés. En un dominio contráctil , toda forma cerrada es exacta según el lema de Poincaré . Las cuestiones más generales de este tipo en una variedad diferenciable arbitraria son objeto de la cohomología de De Rham , que permite obtener información puramente topológica utilizando métodos diferenciales.

Un ejemplo simple de una forma cerrada pero no exacta es la 1-forma ^{[nota 1]} dada por la derivada del argumento en el plano perforado . Como no es en realidad una función (ver el párrafo siguiente) no es una forma exacta. Aun así, tiene derivada nula y, por lo tanto, es cerrada.${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle d\theta }$

Tenga en cuenta que el argumento solo se define hasta un múltiplo entero de ya que a un solo punto se le pueden asignar diferentes argumentos , , etc. Podemos asignar argumentos de manera localmente consistente alrededor de , pero no de manera globalmente consistente. Esto se debe a que si trazamos un bucle en sentido antihorario alrededor del origen y de regreso a , el argumento aumenta en . Generalmente, el argumento cambia en${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+2\pi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

sobre un bucle orientado en sentido antihorario .${\displaystyle S^{1}}$

Aunque técnicamente el argumento no es una función, las distintas definiciones locales de at en un punto difieren entre sí por constantes. Dado que la derivada at solo utiliza datos locales, y dado que las funciones que difieren por una constante tienen la misma derivada, el argumento tiene una derivada globalmente bien definida " ". ^{[nota 2]}${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d\theta }$

El resultado es que es una forma unitaria que no es en realidad la derivada de ninguna función bien definida . Decimos que no es exacta . Explícitamente, se da como:${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle d\theta }$

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},}$

que por inspección tiene derivada cero. Como tiene derivada nula, decimos que es cerrada .${\displaystyle d\theta }$

Esta forma genera el grupo de cohomología de De Rham, lo que significa que cualquier forma cerrada es la suma de una forma exacta y un múltiplo de : , donde representa una integral de contorno no trivial alrededor del origen, que es la única obstrucción a una forma cerrada en el plano perforado (localmente la derivada de una función potencial ) que es la derivada de una función definida globalmente.${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\})\cong \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle df}$${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta }$${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$

Las formas diferenciales en y eran bien conocidas en la física matemática del siglo XIX. En el plano, las formas 0 son simplemente funciones, y las formas 2 son funciones multiplicadas por el elemento de área básico , de modo que son las formas 1${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dx\wedge dy}$

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

que son de verdadero interés. La fórmula para la derivada exterior aquí es${\displaystyle d}$

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

donde los subíndices denotan derivadas parciales . Por lo tanto, la condición para que sea cerrada es${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

En este caso si es una función entonces${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

La implicación de 'exacto' a 'cerrado' es entonces una consecuencia de la simetría de las segundas derivadas , con respecto a y .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

El teorema del gradiente afirma que una forma 1 es exacta si y solo si la integral de línea de la forma depende solo de los puntos finales de la curva o, equivalentemente, si la integral alrededor de cualquier curva cerrada suave es cero.

En una variedad de Riemann , o más generalmente en una variedad pseudo-Riemanniana , las k -formas corresponden a k -campos vectoriales (por dualidad a través de la métrica ), por lo que existe una noción de campo vectorial correspondiente a una forma cerrada o exacta.

En 3 dimensiones, un campo vectorial exacto (considerado como una forma 1) se denomina campo vectorial conservativo , lo que significa que es la derivada ( gradiente ) de una forma 0 (campo escalar suave), llamado potencial escalar . Un campo vectorial cerrado (considerado como una forma 1) es aquel cuya derivada ( rot ) se anula, y se denomina campo vectorial irrotacional .

Si pensamos en un campo vectorial como una forma 2, un campo vectorial cerrado es aquel cuya derivada ( divergencia ) se anula y se denomina flujo incompresible (a veces campo vectorial solenoidal ). El término incompresible se utiliza porque una divergencia distinta de cero corresponde a la presencia de fuentes y sumideros en analogía con un fluido.

Los conceptos de campos vectoriales conservativos e incompresibles se generalizan a n dimensiones, porque el gradiente y la divergencia se generalizan a n dimensiones; el rotacional se define solo en tres dimensiones, por lo tanto, el concepto de campo vectorial irrotacional no se generaliza de esta manera.

El lema de Poincaré establece que si B es una bola abierta en R ⁿ , cualquier p -forma cerrada ω definida en B es exacta, para cualquier entero p con 1 ≤ p ≤ n . ^[1]

De manera más general, el lema establece que en un subconjunto abierto contráctil de una variedad (por ejemplo, ), una p -forma cerrada, p > 0, es exacta. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Cuando la diferencia de dos formas cerradas es una forma exacta, se dice que son cohomólogas entre sí. Es decir, si ζ y η son formas cerradas, y se puede encontrar algún β tal que

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

entonces se dice que ζ y η son cohomólogas entre sí. A veces se dice que las formas exactas son cohomólogas con cero . El conjunto de todas las formas cohomólogas con una forma dada (y por lo tanto entre sí) se llama clase de cohomología de De Rham ; el estudio general de tales clases se conoce como cohomología . No tiene sentido real preguntar si una forma 0 (función suave) es exacta, ya que d aumenta el grado en 1; pero las pistas de la topología sugieren que solo la función cero debería llamarse "exacta". Las clases de cohomología se identifican con funciones localmente constantes .

Utilizando homotopías contráctiles similares a la utilizada en la prueba del lema de Poincaré, se puede demostrar que la cohomología de De Rham es homotópicamente invariante. ^[2]

En electrodinámica, es importante el caso del campo magnético producido por una corriente eléctrica estacionaria. En este caso, se trata del potencial vectorial de este campo. Este caso corresponde a k = 2 y la región de definición es la . El vector de densidad de corriente es . Corresponde a la corriente de dos formas${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\vec {j}}}$

${\displaystyle \mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}$

Para el campo magnético se tienen resultados análogos: corresponde a la inducción de dos formas , y puede derivarse del potencial vectorial , o de la correspondiente de una forma ,${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots }$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

Por lo tanto, el potencial vectorial corresponde al potencial unidimensional.${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}$

La cerrazón de la doble forma de inducción magnética corresponde a la propiedad del campo magnético de que no tiene fuente: , es decir, que no hay monopolos magnéticos .${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0}$

En un calibre especial, esto implica para i = 1, 2, 3${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'\,dx_{2}'\,dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.}$

(Aquí está la constante magnética .)${\displaystyle \mu _{0}}$

Esta ecuación es notable porque corresponde completamente a una fórmula bien conocida para el campo eléctrico , es decir, para el potencial electrostático de Coulomb de una densidad de carga . En este punto ya se puede adivinar que${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$y${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \varphi }$y${\displaystyle {\vec {A}}}$

se puede unificar en cantidades con seis rsp. cuatro componentes no triviales, lo cual es la base de la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell .

Si se deja la condición de estacionariedad, en el lado izquierdo de la ecuación antes mencionada hay que añadir, en las ecuaciones para , a las tres coordenadas espaciales, como cuarta variable también el tiempo t , mientras que en el lado derecho, en , hay que utilizar el llamado "tiempo retardado", , es decir, se añade al argumento de la densidad de corriente. Finalmente, como antes, se integra sobre las tres coordenadas espaciales primadas. (Como es habitual, c es la velocidad de la luz en el vacío.)${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle j_{i}'}$${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$

• Flanders, Harley (1989) [1963]. Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8..
• Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), Introducción a las superficies de Riemann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Singer, IM ; Thorpe, JA (1976), Notas de clase sobre topología y geometría elemental , University of Bangalore Press, ISBN 0721114784