Cero elevado a cero
Expresión matemática con estatus controvertido

Cero elevado a cero , denotado por 0 0 , es una expresión matemática que se define como 1 o se deja sin definir , según el contexto. En álgebra y combinatoria , normalmente se define   0 0 = 1. En análisis matemático , la expresión a veces se deja sin definir. Los lenguajes y el software de programación informática también tienen diferentes formas de manejar esta expresión.

Exponentes discretos

Muchas fórmulas de uso generalizado que involucran exponentes de números naturales requieren que 0 0 se defina como 1 . Por ejemplo, las siguientes tres interpretaciones de b 0 tienen tanto sentido para b = 0 como para los números enteros positivos b :

Los tres se especializan para dar 0 0 = 1 .

Polinomios y series de potencias

Al evaluar polinomios , es conveniente definir 0 0 como 1. Un polinomio (real) es una expresión de la forma a 0 x 0 + ⋅⋅⋅ + a n x n , donde x es un indeterminado y los coeficientes a i son números reales . Los polinomios se suman término por término y se multiplican aplicando la ley distributiva y las reglas usuales para exponentes. Con estas operaciones, los polinomios forman un anillo R [ x ] . La identidad multiplicativa de R [ x ] es el polinomio x0 ; es decir, x0 por cualquier polinomio p ( x ) es simplemente p ( x ) . [2] Además , los polinomios se pueden evaluar especializando x en un número real. Más precisamente, para cualquier número real dado r , existe un homomorfismo R -álgebra unital único ev r  : R [ x ] → R tal que ev r ( x ) = r . Como ev r es unital, ev r ( x 0 ) = 1 . Es decir, r 0 = 1 para cada número real r , incluido 0. El mismo argumento se aplica con R reemplazado por cualquier anillo . [3]

La definición de 0 0 = 1 es necesaria para muchas identidades polinómicas. Por ejemplo, el teorema del binomio se cumple para x = 0 solo si 0 0 = 1. [ 4] ( 1 + incógnita ) norte = ∑ a = 0 norte ( norte a ) incógnita a {\textstyle (1+x)^{n}=\sum _ {k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}

De manera similar, los anillos de series de potencias requieren que x 0 se defina como 1 para todas las especializaciones de x . Por ejemplo, identidades como y se cumplen para x = 0 solo si 0 0 = 1 . [5] 1 1 − incógnita = ∑ norte = 0 ∞ incógnita norte {\textstyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}} mi incógnita = ∑ norte = 0 ∞ incógnita norte norte ! {\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

Para que el polinomio x 0 defina una función continua R → R , se debe definir 0 0 = 1 .

En cálculo , la regla de potencia es válida para n = 1 en x = 0 sólo si 0 0 = 1 . d d incógnita incógnita norte = norte incógnita norte − 1 {\textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}

Exponentes continuos

Gráfica de z = x y . Las curvas rojas (con z constante) arrojan diferentes límites a medida que ( x , y ) se acerca a (0, 0) . Las curvas verdes (de pendiente constante finita, y = ax ) arrojan un límite de 1 .

Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo se pueden evaluar reemplazando subexpresiones con sus límites; si la expresión resultante no determina el límite original, la expresión se conoce como una forma indeterminada . [6] La expresión 0 0 es una forma indeterminada: Dadas funciones de valor real f ( t ) y g ( t ) que tienden a 0 (cuando t se acerca a un número real o ±∞ ) con f ( t ) > 0 , el límite de f ( t ) g ( t ) puede ser cualquier número real no negativo o +∞ , o puede divergir , dependiendo de f y g . Por ejemplo, cada límite a continuación involucra una función f ( t ) g ( t ) con f ( t ), g ( t ) → 0 cuando t → 0 + (un límite unilateral ), pero sus valores son diferentes: límite a → 0 + a a = 1 , {\displaystyle \lim_{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,} límite a → 0 + ( mi − 1 / a 2 ) a = 0 , {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{t}=0,} límite a → 0 + ( mi − 1 / a 2 ) − a = + ∞ , {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{-t}=+\infty ,} límite a → 0 + ( mi − 1 / a ) a a = mi − a . {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t}\right)^{at}=e^{-a}.}

Por lo tanto, la función de dos variables x y , aunque es continua en el conjunto {( x , y ) : x > 0} , no puede extenderse a una función continua en {( x , y ) : x > 0} ∪ {(0, 0)} , sin importar cómo se elija definir 0 0 . [7]

Por otra parte, si f y g son funciones analíticas en un entorno abierto de un número c , entonces f ( t ) g ( t ) → 1 cuando t se acerca a c desde cualquier lado en el que f sea positivo. [8] Este y otros resultados más generales se pueden obtener estudiando el comportamiento límite de la función . [9] [10] registro ⁡ ( F ( a ) gramo ( a ) ) = gramo ( a ) registro ⁡ F ( a ) {\textstyle \log(f(t)^{g(t)})=g(t)\log f(t)}

Exponentes complejos

En el dominio complejo , la función z w puede definirse para z distinto de cero eligiendo una rama de log z y definiendo z w como e w log z . Esto no define 0 w ya que no hay una rama de log z definida en z = 0 , y mucho menos en un entorno de 0 . [11] [12] [13]

Historia

Como valor

En 1752, Euler en Introductio in analysin infinitorum escribió que a 0 = 1 [14] y mencionó explícitamente que 0 0 = 1. [ 15] Una anotación atribuida [16] a Mascheroni en una edición de 1787 del libro de Euler Institutiones calculi Differentialis [17] ofrecía la "justificación"

0 0 = ( a − a ) norte − norte = ( a − a ) norte ( a − a ) norte = 1 {\displaystyle 0^{0}=(aa)^{nn}={\frac {(aa)^{n}}{(aa)^{n}}}=1}

así como otra justificación más compleja. En la década de 1830, Libri [18] [16] publicó varios argumentos adicionales que intentaban justificar la afirmación 0 0 = 1 , aunque estos estaban lejos de ser convincentes, incluso para los estándares de rigor de la época. [19]

Como forma limitante

Euler, al establecer 0 0 = 1 , mencionó que en consecuencia los valores de la función 0 x dan un "salto enorme", desde ∞ para x < 0 , a 1 en x = 0 , a 0 para x > 0 . [14] En 1814, Pfaff utilizó un argumento del teorema del apretón para demostrar que x x → 1 cuando x → 0 + . [8]

Por otra parte, en 1821 Cauchy [20] explicó por qué el límite de x y cuando los números positivos x e y tienden a 0 mientras están restringidos por alguna relación fija podría asumir cualquier valor entre 0 y ∞ eligiendo la relación apropiadamente. Dedujo que el límite de la función completa de dos variables x y sin una restricción especificada es "indeterminado". Con esta justificación, listó 0 0 junto con expresiones como ⁠0/0⁠ en una tabla de formas indeterminadas .

Aparentemente sin conocer el trabajo de Cauchy, Möbius [8] en 1834, basándose en el argumento de Pfaff, afirmó incorrectamente que f ( x ) g ( x ) → 1 siempre que f ( x ), g ( x ) → 0 cuando x se acerca a un número c (presumiblemente f se supone positiva lejos de c ). Möbius redujo al caso c = 0 , pero luego cometió el error de suponer que cada uno de f y g podría expresarse en la forma Px n para alguna función continua P que no se anule en 0 y algún entero no negativo n , lo que es cierto para funciones analíticas, pero no en general. Un comentarista anónimo señaló el paso injustificado; [21] Luego, otro comentarista que firmó su nombre simplemente como "S" proporcionó los contraejemplos explícitos ( e −1/ x ) x → e −1 y ( e −1/ x ) 2 x → e −2 cuando x → 0 + y expresó la situación escribiendo que " 0 0 puede tener muchos valores diferentes". [21]

Situación actual

  • Algunos autores definen 0 0 como 1 porque simplifica muchas afirmaciones de teoremas. Según Benson (1999), "La elección de definir 0 0 se basa en la conveniencia, no en la corrección. Si nos abstenemos de definir 0 0 , entonces ciertas afirmaciones se vuelven innecesariamente incómodas. ... El consenso es utilizar la definición 0 0 = 1 , aunque hay libros de texto que se abstienen de definir 0 0 ." [22] Knuth (1992) sostiene con más fuerza que 0 0 " tiene que ser 1 "; Establece una distinción entre el valor 0 0 , que debería ser igual a 1 , y la forma límite 0 0 (una abreviatura de un límite de f ( t ) g ( t ) donde f ( t ), g ( t ) → 0 ), que es una forma indeterminada: "Tanto Cauchy como Libri tenían razón, pero Libri y sus defensores no entendían por qué la verdad estaba de su lado". [19]
  • Otros autores dejan 0 0 sin definir porque 0 0 es una forma indeterminada: f ( t ), g ( t ) → 0 no implica f ( t ) g ( t ) → 1 . [23] [24]

No parece haber ningún autor que asigne a 0 0 un valor específico distinto de 1. [22]

Tratamiento en ordenadores

Estándar de punto flotante IEEE

El estándar de punto flotante IEEE 754-2008 se utiliza en el diseño de la mayoría de las bibliotecas de punto flotante. Recomienda una serie de operaciones para calcular una potencia: [25]

  • pown(cuyo exponente es un entero) trata 0 0 como 1 ; ver § Exponentes discretos.
  • pow(cuya intención es devolver un resultado que no sea NaN cuando el exponente es un entero, como pown) trata 0 0 como 1 .
  • powrtrata 0 0 como NaN (no es un número) debido a la forma indeterminada; consulte § Exponentes continuos.

La powvariante está inspirada en la powfunción de C99 , principalmente por cuestiones de compatibilidad. [26] Es útil principalmente para lenguajes con una sola función de potencia. Las variantes powny powrse han introducido debido al uso conflictivo de las funciones de potencia y los diferentes puntos de vista (como se indicó anteriormente). [27]

Lenguajes de programación

Los estándares C y C++ no especifican el resultado de 0 0 (puede ocurrir un error de dominio). Pero para C, a partir de C99 , si se admite el anexo normativo F, se requiere que el resultado para tipos de punto flotante reales sea 1 porque hay aplicaciones significativas para las que este valor es más útil que NaN [28] (por ejemplo, con exponentes discretos); el resultado en tipos complejos no se especifica, incluso si se admite el anexo informativo G. El estándar Java , [29] el método .NET Framework , [30] Julia y Python [31] [32] también tratan 0 0 como 1. Algunos lenguajes documentan que su operación de exponenciación corresponde a la función de la biblioteca matemática C ; este es el caso del operador de Lua [33] y el operador de Perl [34] (donde se menciona explícitamente que el resultado de depende de la plataforma). System.Math.Pow pow^**0**0

Software matemático y científico

R , [35] SageMath , [36] y PARI/GP [37] evalúan x 0 a 1 . Mathematica [38] simplifica x 0 a 1 incluso si no se imponen restricciones en x ; sin embargo, si se ingresa 0 0 directamente, se trata como un error o indeterminado. Mathematica [38] y PARI/GP [37] [39] distinguen además entre valores enteros y de punto flotante: si el exponente es un cero de tipo entero, devuelven un 1 del tipo de la base; la exponenciación con un exponente de punto flotante de valor cero se trata como indefinida, indeterminada o error.

Véase también

Referencias

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  • Preguntas frecuentes de sci.math: ¿Qué es 00?
  • ¿A qué equivale 00 (cero elevado a cero)? en AskAMathematician.com
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