Reflexión puntual

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En geometría , una reflexión puntual (también llamada inversión puntual o inversión central ) es una transformación del espacio afín en la que cada punto se refleja a través de un punto fijo específico . Cuando se trata de estructuras cristalinas y en las ciencias físicas, los términos simetría de inversión, centro de inversión o centrosimetría se utilizan con más frecuencia.

Una reflexión puntual es una involución : al aplicarla dos veces se obtiene la transformación identidad . Equivale a una transformación homotética con factor de escala −1 . El punto de inversión también se denomina centro homotético .

Se dice que un objeto que es invariante bajo una reflexión puntual posee simetría puntual ; si es invariante bajo una reflexión puntual a través de su centro , se dice que posee simetría central o que es centralmente simétrico . Un grupo puntual que incluye una reflexión puntual entre sus simetrías se denomina centrosimétrico .

En el espacio euclidiano , una reflexión puntual es una isometría (preserva la distancia ). ^[1] En el plano euclidiano , una reflexión puntual es lo mismo que una rotación de media vuelta (180° o π radianes ); una reflexión puntual a través del centroide del objeto es lo mismo que un giro de media vuelta .

El término reflexión es vago y algunos lo consideran un abuso del lenguaje, prefiriéndose la inversión ; sin embargo, la reflexión puntual se usa ampliamente. Tales mapas son involuciones , lo que significa que tienen orden 2 - son su propia inversa: al aplicarlas dos veces se obtiene la función identidad - lo que también es cierto para otras funciones llamadas reflexiones . Más estrictamente, una reflexión se refiere a una reflexión en un hiperplano ( subespacio afín dimensional - un punto en la línea , una línea en el plano , un plano en el espacio tridimensional), con el hiperplano fijo, pero más ampliamente la reflexión se aplica a cualquier involución del espacio euclidiano, y el conjunto fijo (un espacio afín de dimensión k , donde ) se llama espejo . En la dimensión 1 estos coinciden, ya que un punto es un hiperplano en la línea.${\estilo de visualización n-1}$${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$

En términos de álgebra lineal, suponiendo que el origen es fijo, las involuciones son exactamente las funciones diagonalizables con todos los valores propios 1 o −1. La reflexión en un hiperplano tiene un único valor propio −1 (y multiplicidad en el valor propio 1), mientras que la reflexión puntual tiene solo el valor propio −1 (con multiplicidad n ).${\estilo de visualización n-1}$

El término inversión no debe confundirse con geometría inversa , donde la inversión se define con respecto a un círculo.

Ejemplos 2D

Paralelogono hexagonal

Octágono

En dos dimensiones, una reflexión puntual es lo mismo que una rotación de 180 grados. En tres dimensiones, una reflexión puntual puede describirse como una rotación de 180 grados compuesta por una reflexión a través del plano de rotación, perpendicular al eje de rotación. En la dimensión n , las reflexiones puntuales conservan la orientación si n es par y la invierten si n es impar.

Dado un vector a en el espacio euclidiano R ⁿ , la fórmula para la reflexión de a a través del punto p es

${\displaystyle \mathrm {Ref} _{\mathbf {p} }(\mathbf {a} )=2\mathbf {p} -\mathbf {a} .}$

En el caso donde p es el origen, la reflexión puntual es simplemente la negación del vector a .

En geometría euclidiana , la inversión de un punto X respecto de un punto P es un punto X * tal que P es el punto medio del segmento de recta con extremos X y X *. En otras palabras, el vector de X a P es el mismo que el vector de P a X *.

La fórmula para la inversión en P es

x * = 2 p − x

donde p , x y x * son los vectores de posición de P , X y X * respectivamente.

Esta aplicación es una transformación afín involutiva isométrica que tiene exactamente un punto fijo , que es P.

Cuando el punto de inversión P coincide con el origen, la reflexión puntual equivale a un caso especial de escala uniforme : escala uniforme con factor de escala igual a -1. Este es un ejemplo de transformación lineal .

Cuando P no coincide con el origen, la reflexión puntual equivale a un caso especial de transformación homotética : homotecia con centro homotético coincidente con P y factor de escala −1. (Este es un ejemplo de transformación afín no lineal ).

La composición de dos reflexiones puntuales es una traslación . ^[2] Específicamente, la reflexión puntual en p seguida de la reflexión puntual en q es una traslación por el vector 2( q  − p ).

El conjunto formado por todas las reflexiones y traslaciones puntuales es el subgrupo de Lie del grupo euclidiano . Es un producto semidirecto de R ⁿ con un grupo cíclico de orden 2, actuando este último sobre R ⁿ por negación. Es precisamente el subgrupo del grupo euclidiano el que fija la recta en el infinito puntualmente.

En el caso n = 1, el grupo de reflexión puntual es el grupo de isometría completo de la línea.

• La reflexión puntual a través del centro de una esfera produce el mapa antípoda .
• Un espacio simétrico es una variedad de Riemann con una reflexión isométrica en cada punto. Los espacios simétricos desempeñan un papel importante en el estudio de los grupos de Lie y la geometría de Riemann .

Dado el punto y su reflexión con respecto al punto , este último es el punto medio del segmento ;${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle P'(x',y')}$${\displaystyle C(x_{c},y_{c})}$${\displaystyle {\overline {PP'}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}}$

Por lo tanto, las ecuaciones para encontrar las coordenadas del punto reflejado son

${\displaystyle {\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}}$

Particular es el caso en que el punto C tiene coordenadas (ver párrafo siguiente)${\estilo de visualización (0,0)}$

${\displaystyle {\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}}$

En un espacio euclidiano de dimensión par , digamos un espacio de 2 N dimensiones, la inversión en un punto P es equivalente a N rotaciones sobre ángulos π en cada plano de un conjunto arbitrario de N planos mutuamente ortogonales que se intersecan en P. Estas rotaciones son mutuamente conmutativas. Por lo tanto, la inversión en un punto en un espacio de dimensión par es una isometría que preserva la orientación o isometría directa .

En un espacio euclidiano de dimensión impar , digamos un espacio de dimensión (2 N  + 1), es equivalente a N rotaciones sobre π en cada plano de un conjunto arbitrario de N planos mutuamente ortogonales que se intersecan en P , combinado con la reflexión en el subespacio de dimensión 2 N abarcado por estos planos de rotación. Por lo tanto, invierte en lugar de conservar la orientación , es una isometría indirecta .

Geométricamente, en 3D, equivale a una rotación sobre un eje que pasa por P en un ángulo de 180°, combinada con una reflexión en el plano que pasa por P y que es perpendicular al eje; el resultado no depende de la orientación (en el otro sentido) del eje. Las notaciones para el tipo de operación, o el tipo de grupo que genera, son , C _i , S ₂ y 1×. El tipo de grupo es uno de los tres tipos de grupos de simetría en 3D sin ninguna simetría rotacional pura , consulte simetrías cíclicas con n  = 1.${\displaystyle {\overline {1}}}$

Los siguientes grupos de puntos en tres dimensiones contienen inversión:

• C _{n h} y D _{n h} para n par
• S _{2 n} y D _{n d} para n impar
• T _h , Oh _h , y yo _h

Íntimamente relacionada con la inversa en un punto está la reflexión con respecto a un plano , que puede considerarse como una "inversión en un plano".

Las moléculas contienen un centro de inversión cuando existe un punto a través del cual todos los átomos pueden reflejarse mientras mantienen la simetría. En cristalografía , la presencia de centros de inversión distingue entre compuestos centrosimétricos y no centrosimétricos. Las estructuras cristalinas están compuestas por varios poliedros, categorizados por su número de coordinación y ángulos de enlace. Por ejemplo, los poliedros de cuatro coordenadas se clasifican como tetraedros , mientras que los entornos de cinco coordenadas pueden ser piramidales cuadrados o bipiramidales trigonales dependiendo de los ángulos de enlace. Todos los compuestos cristalinos provienen de una repetición de un bloque de construcción atómico conocido como celda unitaria, y estas celdas unitarias definen qué poliedros se forman y en qué orden. Estos poliedros se unen entre sí a través de compartir esquinas, aristas o caras, dependiendo de qué átomos compartan enlaces comunes. Los poliedros que contienen centros de inversión se conocen como centrosimétricos, mientras que los que no los tienen son no centrosimétricos. Los octaedros de seis coordenadas son un ejemplo de poliedros centrosimétricos, ya que el átomo central actúa como un centro de inversión a través del cual los seis átomos enlazados mantienen la simetría. Los tetraedros, por otra parte, no son centrosimétricos, ya que una inversión a través del átomo central daría como resultado una inversión del poliedro. Los poliedros con un número de coordinación impar (en lugar de par) no son centrosimétricos.

Los poliedros reales en los cristales a menudo carecen de la uniformidad esperada en su geometría de enlace. Las irregularidades comunes encontradas en cristalografía incluyen distorsiones y desorden. La distorsión implica la deformación de los poliedros debido a longitudes de enlace no uniformes, a menudo debido a la diferente atracción electrostática entre heteroátomos. Por ejemplo, un centro de titanio probablemente se unirá de manera uniforme a seis oxígenos en un octaedro, pero se produciría distorsión si uno de los oxígenos se reemplazara por un flúor más electronegativo . Las distorsiones no cambiarán la geometría inherente de los poliedros: un octaedro distorsionado todavía se clasifica como un octaedro, pero las distorsiones lo suficientemente fuertes pueden tener un efecto en la centrosimetría de un compuesto. El desorden implica una ocupación dividida en dos o más sitios, en la que un átomo ocupará una posición cristalográfica en un cierto porcentaje de poliedros y la otra en las posiciones restantes. El desorden también puede influir en la centrosimetría de ciertos poliedros, dependiendo de si la ocupación está dividida o no en un centro de inversión ya presente.

La centrosimetría se aplica a la estructura cristalina en su conjunto, no solo a los poliedros individuales. Los cristales se clasifican en treinta y dos grupos puntuales cristalográficos que describen cómo se organizan los diferentes poliedros en el espacio en la estructura global. De estos treinta y dos grupos puntuales, once son centrosimétricos. La presencia de poliedros no centrosimétricos no garantiza que el grupo puntual sea el mismo: dos formas no centrosimétricas pueden orientarse en el espacio de una manera que contenga un centro de inversión entre las dos. Dos tetraedros enfrentados pueden tener un centro de inversión en el medio, porque la orientación permite que cada átomo tenga un par reflejado. Lo inverso también es cierto, ya que múltiples poliedros centrosimétricos pueden organizarse para formar un grupo puntual no centrosimétrico.

Los compuestos aislantes no centrosimétricos son piezoeléctricos y pueden ser útiles para su aplicación en óptica no lineal . La falta de simetría a través de los centros de inversión puede permitir que las áreas del cristal interactúen de manera diferente con la luz entrante. La longitud de onda, la frecuencia y la intensidad de la luz están sujetas a cambios a medida que la radiación electromagnética interactúa con diferentes estados de energía en toda la estructura. El fosfato de titanilo y potasio , KTiOPO _{4 (KTP), cristaliza en el} grupo espacial ortorrómbico no centrosimétrico Pna21 y es un cristal no lineal útil. El KTP se utiliza para láseres dopados con neodimio que duplican la frecuencia , utilizando una propiedad óptica no lineal conocida como generación de segundo armónico . Las aplicaciones para materiales no lineales aún se están investigando, pero estas propiedades se derivan de la presencia (o falta de ella) de un centro de inversión.

La inversión con respecto al origen corresponde a la inversión aditiva del vector de posición, y también a la multiplicación escalar por −1. La operación conmuta con cualquier otra transformación lineal , pero no con la traslación : está en el centro del grupo lineal general . "Inversión" sin indicar "en un punto", "en una línea" o "en un plano", significa esta inversión; en física, la reflexión tridimensional a través del origen también se llama transformación de paridad .

En matemáticas, la reflexión a través del origen se refiere a la reflexión puntual del espacio euclidiano R ⁿ a través del origen del sistema de coordenadas cartesianas . La reflexión a través del origen es una transformación ortogonal que corresponde a la multiplicación escalar por , y también se puede escribir como , donde es la matriz identidad . En tres dimensiones, esto envía , y así sucesivamente.${\estilo de visualización -1}$${\estilo de visualización -I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$

Como matriz escalar , se representa en cada base por una matriz con en la diagonal, y, junto con la identidad, es el centro del grupo ortogonal .${\estilo de visualización -1}$ ${\displaystyle O(n)}$

Es un producto de n reflexiones ortogonales (reflexión a través de los ejes de cualquier base ortogonal ); tenga en cuenta que las reflexiones ortogonales conmutan.

En 2 dimensiones, de hecho es una rotación de 180 grados, y en la dimensión , es una rotación de 180 grados en n planos ortogonales; ^[a] observe nuevamente que las rotaciones en planos ortogonales son conmutativas.${\estilo de visualización 2n}$

Tiene determinante (a partir de la representación por una matriz o como un producto de reflexiones). Por lo tanto, conserva la orientación en dimensión par, por lo tanto, es un elemento del grupo ortogonal especial SO(2 n ), y es inversora de orientación en dimensión impar, por lo tanto, no es un elemento de SO(2 n  + 1) y, en cambio, proporciona una división de la función , que se muestra como un producto directo interno .${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle O(2n+1)\to \pm 1}$${\displaystyle O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}}$

• Junto con la identidad, forma el centro del grupo ortogonal .
• Conserva cada forma cuadrática, es decir , y por lo tanto también es un elemento de cada grupo ortogonal indefinido .${\displaystyle Q(-v)=Q(v)}$
• Es igual a la identidad si y sólo si la característica es 2.
• Es el elemento más largo del grupo de Coxeter de permutaciones con signo .

De manera análoga, es un elemento más largo del grupo ortogonal, con respecto al conjunto generador de reflexiones: los elementos del grupo ortogonal tienen todos una longitud como máximo n con respecto al conjunto generador de reflexiones, ^[b] y la reflexión a través del origen tiene una longitud n, aunque no es única en esto: otras combinaciones máximas de rotaciones (y posiblemente reflexiones) también tienen una longitud máxima.

En SO(2 r ), la reflexión a través del origen es el punto más alejado del elemento identidad con respecto a la métrica habitual. En O(2 r + 1), la reflexión a través del origen no está en SO(2 r +1) (está en el componente no identidad), y no hay un sentido natural en el que sea un "punto más alejado" que cualquier otro punto en el componente no identidad, pero sí proporciona un punto base en el otro componente.

No debe confundirse con el elemento del grupo de espín . Esto es particularmente confuso para los grupos de espín pares, ya que , y por lo tanto en hay y 2 elevaciones de .${\displaystyle -1\in \mathrm {Girar} (n)}$${\displaystyle -I\en SO(2n)}$${\displaystyle \operatorname {Giro} (n)}$${\estilo de visualización -1}$${\estilo de visualización -I}$

La reflexión a través de la identidad se extiende a un automorfismo de un álgebra de Clifford , llamado involución principal o involución de grado.

La reflexión a través de la identidad se eleva a un pseudoescalar .

• Involución afín
• Inversión del círculo
• Álgebra de Clifford
• Congruencia (geometría)
• Medida de Estermann
• Grupo euclidiano
• Medida de Kovner-Besicovitch
• Grupo ortogonal
• Paridad (física)
• Reflexión (matemáticas)
• Espacio simétrico de Riemann
• Grupo de spinning