Modelo Arrow-Debreu

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Ciencias económicas
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En economía matemática , el modelo Arrow-Debreu es un modelo teórico de equilibrio general . Postula que, en virtud de ciertos supuestos económicos ( preferencias convexas , competencia perfecta e independencia de la demanda), debe existir un conjunto de precios tal que la oferta agregada sea igual a la demanda agregada de cada producto de la economía. ^[1]

El modelo es fundamental para la teoría del equilibrio general (económico) y se utiliza a menudo como referencia general para otros modelos microeconómicos. Fue propuesto por Kenneth Arrow , Gérard Debreu en 1954, ^[1] y Lionel W. McKenzie de forma independiente en 1954, ^[2] con mejoras posteriores en 1959. ^{[3] [4]}

El modelo AD es uno de los modelos más generales de economía competitiva y es una parte crucial de la teoría del equilibrio general , ya que puede utilizarse para demostrar la existencia del equilibrio general (o equilibrio walrasiano ) de una economía. En general, puede haber muchos equilibrios.

Arrow (1972) y Debreu (1983) recibieron por separado el Premio Nobel de Economía por el desarrollo del modelo. McKenzie, sin embargo, no recibió el galardón. ^[5]

El contenido de ambos teoremas [teoremas fundamentales de la economía del bienestar] son ​​viejas creencias en economía. Arrow y Debreu han tratado recientemente esta cuestión con técnicas que permiten demostraciones.

—  Gérard Debreu, Equilibrio de valoración y óptimo de Pareto (1954)

Esta afirmación es absolutamente correcta: antes había creencias, ahora había conocimiento. Pero había más en juego. Los grandes eruditos cambian la forma en que pensamos sobre el mundo, y sobre qué y quiénes somos. El modelo Arrow-Debreu, tal como se comunica en la Teoría del valor, cambió el pensamiento básico y rápidamente se convirtió en el modelo estándar de la teoría de los precios. Es el modelo de referencia en finanzas, comercio internacional, finanzas públicas, transporte e incluso macroeconomía... En poco tiempo ya no era "tal como es" en Marshall, Hicks y Samuelson; más bien se convirtió en "tal como es" en la Teoría del valor.

—  Hugo Sonnenschein, comentarios en la conferencia de Debreu, Berkeley, 2005

Esta sección sigue la presentación en ^[6] que se basa en ^{[7] .}

El modelo Arrow-Debreu presenta una economía como una combinación de tres tipos de agentes: los hogares, los productores y el mercado. Los hogares y los productores realizan transacciones con el mercado, pero no entre ellos directamente.

Los hogares poseen dotaciones (paquetes de bienes con los que comienzan), que se pueden considerar como "herencia". Para mayor claridad matemática, se requiere que todos los hogares vendan toda su dotación en el mercado al comienzo. Si desean conservar parte de la dotación, tendrían que volver a comprarla en el mercado más tarde. Las dotaciones pueden ser horas de trabajo, uso de la tierra, toneladas de maíz, etc.

Los hogares poseen participaciones proporcionales en los productores, que pueden considerarse como sociedades anónimas . Las ganancias obtenidas por el productor se dividen entre los hogares en proporción a la cantidad de existencias que cada hogar posee para el productor . La propiedad se impone desde el principio y los hogares no pueden venderlas, comprarlas, crearlas ni descartarlas.${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$

Los hogares reciben un presupuesto, como la suma de los ingresos provenientes de la venta de dotaciones y los dividendos provenientes de las ganancias de los productores.

Los hogares tienen preferencias sobre paquetes de bienes, lo que, según los supuestos dados, los convierte en maximizadores de utilidad . Los hogares eligen el plan de consumo que les ofrece la mayor utilidad posible utilizando su presupuesto.

Los productores son capaces de transformar paquetes de mercancías en otros paquetes de mercancías. Los productores no tienen funciones de utilidad separadas, sino que son puramente maximizadores de beneficios.

El mercado sólo es capaz de "elegir" un vector de precios de mercado, que es una lista de precios para cada producto, que cada productor y cada familia toma (no hay comportamiento de negociación: cada productor y cada familia es un tomador de precios ). El mercado no tiene utilidad ni beneficio. En cambio, el mercado intenta elegir un vector de precios de mercado tal que, aunque cada familia y cada productor maximice su propia utilidad y beneficio, sus planes de consumo y producción "armonicen". Es decir, " el mercado se equilibra ". En otras palabras, el mercado está desempeñando el papel de un " subastador walrasiano ".

En general, escribimos los índices de los agentes como superíndices y los índices de coordenadas vectoriales como subíndices.

• ${\displaystyle x\succeq y}$si${\displaystyle \forall n,x_{n}\geq y_{n}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{N}}$es el conjunto de tales que${\displaystyle x}$${\displaystyle x\succeq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N}}$es el conjunto de tales que${\displaystyle x}$${\displaystyle x\succ 0}$
• ${\displaystyle \Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}}$es el N-simplex . A menudo lo llamamos el simplex de precios ya que a veces escalamos el vector de precios para que se encuentre en él.

• Los productos básicos se indexan como . Aquí se indica el número de productos básicos que existen en la economía. Es un número finito.${\displaystyle n\in 1:N}$${\displaystyle N}$
• El vector de precios es un vector de longitud , en el que cada coordenada es el precio de un producto. Los precios pueden ser cero o positivos.${\displaystyle p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$${\displaystyle N}$

• Los hogares están indexados como .${\displaystyle i\in I}$
• Cada hogar comienza con una dotación de productos básicos .${\displaystyle r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Cada hogar comienza con una tupla de propiedades de los productores . Las propiedades satisfacen .${\displaystyle \alpha ^{i,j}\geq 0}$${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J}$
• El presupuesto que recibe el hogar es la suma de sus ingresos por la venta de bienes a precio de mercado, más las ganancias por su propiedad de bienes de producción: ( representa dinero )$${\displaystyle M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)}$$${\displaystyle M}$
• Cada hogar tiene un conjunto de posibilidades de consumo .${\displaystyle CPS^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Cada hogar tiene una relación de preferencia sobre .${\displaystyle \succeq ^{i}}$${\displaystyle CPS^{i}}$
• Con los supuestos (que se dan en la siguiente sección), cada relación de preferencia se puede representar mediante una función de utilidad mediante los teoremas de Debreu . Por lo tanto, en lugar de maximizar la preferencia, podemos afirmar equivalentemente que el hogar está maximizando su utilidad.${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle u^{i}:CPS^{i}\to [0,1]}$
• Un plan de consumo es un vector en , escrito como .${\displaystyle CPS^{i}}$${\displaystyle x^{i}}$
• ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$¿Es el conjunto de planes de consumo al menos tan preferible como .${\displaystyle x^{i}}$
• El conjunto presupuestario es el conjunto de planes de consumo que puede permitirse: .$${\displaystyle B^{i}(p)=\{x^{i}\in CPS^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}}$$
• Para cada vector de precios , el hogar tiene un vector de demanda de bienes, como . Esta función se define como la solución a un problema de maximización de restricciones. Depende tanto de la economía como de la distribución inicial. Puede que no esté bien definida para todos los . Sin embargo, utilizaremos suficientes supuestos para que esté bien definida en vectores de precios de equilibrio.${\displaystyle p}$${\displaystyle D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$$${\displaystyle D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})}$$${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

• Los productores están indexados como .${\displaystyle j\in J}$
• Cada productor tiene un conjunto de posibilidades de producción . Tenga en cuenta que el vector de oferta puede tener coordenadas tanto positivas como negativas. Por ejemplo, indica un plan de producción que utiliza 1 unidad del producto 1 para producir 1 unidad del producto 2.${\displaystyle PPS^{j}}$${\displaystyle (-1,1,0)}$
• Un plan de producción es un vector en , escrito como .${\displaystyle PPS^{j}}$${\displaystyle y^{j}}$
• Para cada vector de precios , el productor tiene un vector de oferta de bienes, como . Esta función se definirá como la solución a un problema de maximización de restricciones. Depende tanto de la economía como de la distribución inicial. Puede que no esté bien definida para todos los . Sin embargo, utilizaremos suficientes supuestos para que esté bien definida en vectores de precios de equilibrio.${\displaystyle p}$${\displaystyle S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}}$$${\displaystyle S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$
• La ganancia es$${\displaystyle \Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$

• conjunto de posibilidades de consumo agregado .${\displaystyle CPS=\sum _{i\in I}CPS^{i}}$
• conjunto de posibilidades de producción agregada .${\displaystyle PPS=\sum _{j\in J}PPS^{j}}$
• dotación agregada${\displaystyle r=\sum _{i}r^{i}}$
• demanda agregada${\displaystyle D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)}$
• oferta agregada${\displaystyle S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)}$
• exceso de demanda${\displaystyle Z(p)=D(p)-S(p)-r}$

• Una economía es una tupla , es decir, una tupla que especifica los bienes, las preferencias de los consumidores, los conjuntos de posibilidades de consumo y los conjuntos de posibilidades de producción de los productores.${\displaystyle (N,I,J,CPS^{i},\succeq ^{i},PPS^{j})}$
• Una economía con distribución inicial es una economía, junto con una tupla de distribución inicial para la economía.${\displaystyle (r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}}$
• Un estado de la economía es una tupla de precios, planes de consumo y planes de producción para cada hogar y productor: .${\displaystyle ((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$
• Un estado es factible si y solo si cada , cada , y .${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i}}$${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$
• El conjunto de posibilidades de producción factibles, dada la dotación , es .${\displaystyle r}$${\displaystyle PPS_{r}:=\{y\in PPS:y+r\succeq 0\}}$
• Dada una economía con distribución, el estado correspondiente a un vector de precios es .${\displaystyle p}$${\displaystyle (p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})}$
• Dada una economía con distribución, un vector de precios es un vector de precios de equilibrio para la economía con distribución inicial, solo si: Es decir, si un producto no es gratuito, entonces la oferta es exactamente igual a la demanda, y si un producto es gratuito, entonces la oferta es igual o mayor que la demanda (permitimos que haya un exceso de oferta de un producto gratuito).${\displaystyle p}$$${\displaystyle Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}}$$
• Un estado es un estado de equilibrio si es el estado correspondiente a un vector de precios de equilibrio.

En los hogares

suposición	explicación	¿Podemos relajarlo?
${\displaystyle CPS^{i}}$está cerrado	Supuesto técnico necesario para que las pruebas funcionen.	No. Es necesario para la existencia de funciones de demanda.
insaciedad local:${\displaystyle \forall x\in CPS^{i},\epsilon >0,}$ ${\displaystyle \exists x'\in CPS^{i},x'\succ ^{i}x,\|x'-x\|<\epsilon }$	Los hogares siempre quieren consumir un poco más.	No. Es necesario que se cumpla la ley de Walras.
${\displaystyle CPS^{i}}$es estrictamente convexo	utilidad marginal estrictamente decreciente	Sí, a la mera convexidad, con el teorema del punto fijo de Kakutani. Véase la siguiente sección.
${\displaystyle CPS^{i}}$es convexo	utilidad marginal decreciente	Sí, a la no convexidad, con el lema de Shapley-Folkman .
continuidad: está cerrada.${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$	Supuesto técnico necesario para la existencia de funciones de utilidad según los teoremas de Debreu .	No. Si la preferencia no es continua, entonces la función de exceso de demanda puede no ser continua.
${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$es estrictamente convexo.	Para dos paquetes de consumo, cualquier paquete estrictamente entre ellos es estrictamente mejor que el menor.	Sí, a la mera convexidad, con el teorema del punto fijo de Kakutani. Véase la siguiente sección.
${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$es convexo	Para dos paquetes de consumo, cualquier paquete entre ellos no es peor que el menor.	Sí, a la no convexidad, con el lema de Shapley-Folkman .
El hogar siempre tiene al menos un plan de consumo factible.	Sin quiebra	No. Es necesario para la existencia de funciones de demanda.

sobre los productores

suposición	explicación	¿Podemos relajarlo?
${\displaystyle PPS^{j}}$es estrictamente convexo	Deseconomías de escala	Sí, a la mera convexidad, con el teorema del punto fijo de Kakutani. Véase la siguiente sección.
${\displaystyle PPS^{j}}$es convexo	Sin economías de escala	Sí, a la no convexidad, con el lema de Shapley-Folkman .
${\displaystyle PPS^{j}}$contiene 0.	Los productores pueden cerrar gratuitamente.
${\displaystyle PPS^{j}}$es un conjunto cerrado	Supuesto técnico necesario para que las pruebas funcionen.	No. Es necesario para la existencia de funciones de suministro.
${\displaystyle PPS\cap \mathbb {R} _{+}^{N}}$está delimitado	No existe un "almuerzo gratis" de una magnitud arbitraria.	No. La economía necesita escasez.
${\displaystyle PPS\cap (-PPS)}$está delimitado	La economía no puede revertir transformaciones arbitrariamente grandes.

Las funciones no están necesariamente bien definidas para todos los vectores de precios . Por ejemplo, si el productor 1 es capaz de transformar unidades del producto 1 en unidades del producto 2, y tenemos , entonces el productor puede crear planes con ganancias infinitas, por lo tanto , y no está definido.${\displaystyle D^{i}(p),S^{j}(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\sqrt {(t+1)^{2}-1}}}$${\displaystyle p_{1}/p_{2}<1}$${\displaystyle \Pi ^{j}(p)=+\infty }$${\displaystyle S^{j}(p)}$

En consecuencia, definimos " mercado restringido " como el mismo mercado, excepto que existe un límite superior universal , de modo que cada productor debe utilizar un plan de producción y cada hogar debe utilizar un plan de consumo . Denote las cantidades correspondientes en el mercado restringido con una tilde. Así, por ejemplo, es la función de exceso de demanda en el mercado restringido. ^[8]${\displaystyle C}$${\displaystyle \|y^{j}\|\leq C}$${\displaystyle \|x^{i}\|\leq C}$${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)}$

${\displaystyle C}$se elige para que sea "suficientemente grande" para la economía, de modo que la restricción no se aplique en condiciones de equilibrio (véase la siguiente sección). En detalle, se elige para que sea lo suficientemente grande como para que:${\displaystyle C}$

• Cualquier plan de consumo tal como este es tan "extravagante" que incluso si todos los productores se coordinaran, aún así no lograrían satisfacer la demanda.${\displaystyle x}$${\displaystyle x\succeq 0,\|x\|=C}$
• Para cualquier lista de planes de producción para la economía , si , entonces para cada . En otras palabras, para cualquier plan de producción alcanzable con la dotación dada , el plan de producción individual de cada productor debe estar estrictamente dentro de la restricción.${\displaystyle (y^{j}\in PPS^{j})_{j\in J}}$${\displaystyle \sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0}$${\displaystyle \|y^{j}\|<C}$${\displaystyle j\in J}$${\displaystyle r}$

Cada requisito es satisfacible.

• Definamos el conjunto de planes de producción agregada alcanzables como , entonces, bajo los supuestos para los productores dados anteriormente (especialmente el supuesto de que "no hay almuerzos gratis arbitrarios"), está acotado para cualquier (prueba omitida). Por lo tanto, el primer requisito es satisfacible.${\displaystyle PPS_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in PPS^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}}$${\displaystyle PPS_{r}}$${\displaystyle r\succeq 0}$
• Defina el conjunto de planes de producción individuales alcanzables que, en virtud de los supuestos para los productores dados anteriormente (especialmente el supuesto de que no se produzcan transformaciones arbitrariamente grandes), está acotado para cualquier (se omite la prueba). Por lo tanto, el segundo requisito es satisfacible.${\displaystyle PPS_{r}^{j}:=\{y^{j}\in PPS^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}}$${\displaystyle PPS_{r}^{j}}$${\displaystyle j\in J,r\succeq 0}$

Los dos requisitos juntos implican que la restricción no es una restricción real cuando los planes de producción y los planes de consumo son " interiores " a la restricción.

• En cualquier vector de precios , si , entonces existe y es igual a . En otras palabras, si el plan de producción de un productor restringido es interior a la restricción artificial, entonces el productor sin restricciones elegiría el mismo plan de producción. Esto se demuestra explotando el segundo requisito en .${\displaystyle p}$${\displaystyle \|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C}$${\displaystyle S^{j}(p)}$${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$${\displaystyle C}$
• Si todos , entonces los hogares restringidos y no restringidos tienen el mismo presupuesto. Ahora bien, si también tenemos , entonces existe y es igual a . En otras palabras, si el plan de consumo de un hogar restringido es interior a la restricción artificial, entonces el hogar no restringido elegiría el mismo plan de consumo. Esto se demuestra explotando el primer requisito sobre .${\displaystyle S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)}$${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C}$${\displaystyle D^{i}(p)}$${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)}$${\displaystyle C}$

Estas dos proposiciones implican que los equilibrios para el mercado restringido son equilibrios para el mercado sin restricciones:

Como última pieza de la construcción, definimos la ley de Walras :

• El mercado sin restricciones satisface la ley de Walras en si y solo si todos están definidos, y , es decir,${\displaystyle p}$${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$${\displaystyle \langle p,Z(p)\rangle =0}$$${\displaystyle \sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle }$$
• El mercado restringido satisface la ley de Walras en si y solo si .${\displaystyle p}$${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0}$

La ley de Walras se puede interpretar en ambos lados:

• Del lado de los hogares, se dice que el gasto total del hogar es igual a la ganancia total y al ingreso total por la venta de bienes. En otras palabras, cada hogar gasta todo su presupuesto.
• Del lado de los productores, lo que se dice es que el beneficio agregado más el coste agregado es igual al ingreso agregado.

Obsérvese que la prueba anterior no proporciona un algoritmo iterativo para hallar ningún equilibrio, ya que no hay garantía de que la función sea una contracción . Esto no es sorprendente, ya que no hay garantía (sin más suposiciones) de que cualquier equilibrio de mercado sea un equilibrio estable.${\displaystyle f}$

En 1954, McKenzie y el dúo Arrow y Debreu demostraron de forma independiente la existencia de equilibrios generales invocando el teorema de punto fijo de Kakutani sobre los puntos fijos de una función continua de un conjunto compacto y convexo en sí mismo. En el enfoque de Arrow-Debreu, la convexidad es esencial, porque tales teoremas de punto fijo son inaplicables a conjuntos no convexos. Por ejemplo, la rotación del círculo unitario de 90 grados carece de puntos fijos, aunque esta rotación es una transformación continua de un conjunto compacto en sí mismo; aunque compacto, el círculo unitario no es convexo. En contraste, la misma rotación aplicada a la envoltura convexa del círculo unitario deja el punto  (0,0) fijo. Nótese que el teorema de Kakutani no afirma que exista exactamente un punto fijo. Reflejar el disco unitario a través del eje y deja un segmento vertical fijo, de modo que esta reflexión tiene un número infinito de puntos fijos.

El supuesto de convexidad impidió muchas aplicaciones, que fueron discutidas en el Journal of Political Economy de 1959 a 1961 por Francis M. Bator, M. J. Farrell , Tjalling Koopmans y Thomas J. Rothenberg. ^[9] Ross M. Starr  (1969) demostró la existencia de equilibrios económicos cuando algunas preferencias de los consumidores no necesitan ser convexas . ^[9] En su artículo, Starr demostró que una economía "convexificada" tiene equilibrios generales que se aproximan estrechamente a los "cuasi-equilibrios" de la economía original; la prueba de Starr utilizó el teorema de Shapley-Folkman . ^[10]

( Uzawa , 1962) ^[11] demostró que la existencia de equilibrio general en una economía caracterizada por una función de exceso de demanda continua que cumple la Ley de Walras es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer. Por lo tanto, el uso del teorema del punto fijo de Brouwer es esencial para demostrar que el equilibrio existe en general. ^[12]

En la economía del bienestar, una posible preocupación es encontrar un plan Pareto óptimo para la economía.

Intuitivamente, se puede considerar que el problema de la economía del bienestar es el problema al que se enfrenta un planificador general para toda la economía: dada la dotación inicial para toda la sociedad, el planificador debe elegir un plan general factible de planes de producción y consumo . El planificador general tiene una amplia libertad para elegir el plan general, pero cualquier planificador razonable debería estar de acuerdo en que, si la utilidad de alguien puede aumentarse, mientras que la de los demás no disminuye, entonces es un plan mejor. Es decir, debe seguirse el ordenamiento de Pareto.${\displaystyle r}$${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$

Defina el ordenamiento de Pareto en el conjunto de todos los planes mediante ff para todos .${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})}$${\displaystyle x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}}$${\displaystyle i\in I}$

Entonces, decimos que un plan es Pareto-eficiente con respecto a una dotación inicial , si es factible y no existe otro plan factible que sea estrictamente mejor en el orden de Pareto.${\displaystyle r}$

En general, existe todo un continuo de planes Pareto-eficientes para cada dotación inicial . ${\displaystyle r}$

Con lo expuesto, tenemos dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar: ^[13]

Idea de prueba: cualquier plan de consumo óptimo en el sentido de Pareto está separado por un hiperplano del conjunto de planes de consumo alcanzables. La pendiente del hiperplano sería el precio de equilibrio. Verifique que, con esos precios, cada productor y cada hogar considerarían óptimo el estado dado. Verifique que se cumple la ley de Walras y, por lo tanto, los gastos coinciden con los ingresos más los beneficios, por lo que es posible proporcionar a cada hogar exactamente el presupuesto necesario.

Los supuestos de convexidad estricta pueden flexibilizarse y convertirse en convexidad. Esta modificación transforma las funciones de oferta y demanda de funciones puntuales en funciones de valores conjuntos (o "correspondencias"), y la aplicación del teorema del punto fijo de Brouwer en el teorema del punto fijo de Kakutani.

Esta modificación es similar a la generalización del teorema minimax a la existencia de equilibrios de Nash .

Los dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar se mantienen sin modificaciones.

conversión de convexidad estricta a convexidad

caso estrictamente convexo	caso convexo
${\displaystyle PPS^{j}}$es estrictamente convexo	${\displaystyle PPS^{j}}$es convexo
${\displaystyle CPS^{i}}$es estrictamente convexo	${\displaystyle CPS^{i}}$es convexo
${\displaystyle \succeq ^{i}}$es estrictamente convexo	${\displaystyle \succeq ^{i}}$es convexo
${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$tiene valor en puntos	${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$tiene un valor establecido
${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$es continuo	${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$tiene gráfico cerrado ("semicontinuo superior")
${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0}$	${\displaystyle \langle p,z\rangle \leq 0}$Para cualquiera${\displaystyle z\in {\tilde {Z}}(p)}$
...	...
El equilibrio existe según el teorema del punto fijo de Brouwer	El equilibrio existe según el teorema del punto fijo de Kakutani

La definición de equilibrio de mercado supone que cada hogar maximiza su utilidad, sujeto a restricciones presupuestarias. Es decir, el problema dual sería la minimización de costos sujeta a restricciones de utilidad. Es decir, para algún número real . La brecha de dualidad entre los dos problemas no es negativa y puede ser positiva. En consecuencia, algunos autores estudian el problema dual y las propiedades de su "cuasi-equilibrio" ^[14] (o "equilibrio compensado" ^[15] ). Todo equilibrio es un cuasi-equilibrio, pero lo inverso no es necesariamente cierto. ^[15]$${\displaystyle {\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}}$$${\displaystyle u_{0}^{i}}$

En el modelo, todos los productores y hogares son " tomadores de precios ", lo que significa que simplemente realizan transacciones en el mercado utilizando el vector de precios . En particular, no se modelan comportamientos como el cártel, el monopolio, la coalición de consumidores, etc. El teorema del límite de Edgeworth muestra que, bajo ciertos supuestos más fuertes, los hogares no pueden hacer nada mejor que aceptar precios en el límite de una economía infinitamente grande.${\displaystyle p}$

En detalle, continuamos con el modelo económico de los hogares y los productores, pero consideramos un método diferente de diseñar la producción y distribución de bienes que la economía de mercado. Puede interpretarse como un modelo de economía "socialista".

• No hay dinero, ni mercado, ni propiedad privada de los productores.
• Desde que hemos abolido la propiedad privada, el dinero y el afán de lucro, no tiene sentido distinguir a un productor de otro. Por consiguiente, en lugar de que cada productor planifique individualmente , es como si toda la sociedad tuviera un gran productor que produjera .${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$${\displaystyle y\in PPS}$
• Los hogares siguen teniendo las mismas preferencias y dotaciones, pero ya no tienen presupuestos.
• Los productores no producen para maximizar sus ganancias, ya que no las hay. Todos los hogares se unen para crear un estado —un plan de producción y consumo para toda la economía— con las siguientes restricciones:${\displaystyle ((x_{i})_{i\in I},y)}$$${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i},y\in PPS,y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})}$$
• Cualquier subconjunto de hogares no vacío puede eliminar todos los demás hogares, conservando al mismo tiempo el control de los productores.

Esta economía es, pues, un juego cooperativo en el que cada hogar es un jugador, y tenemos los siguientes conceptos de la teoría de juegos cooperativos:

• Una coalición de bloqueo es un subconjunto no vacío de hogares, de modo que existe un plan estrictamente Pareto-mejor incluso si se eliminan todos los demás hogares.
• Un Estado es un Estado central si no hay coaliciones de bloqueo.
• El núcleo de una economía es el conjunto de estados centrales.

Dado que asumimos que cualquier subconjunto no vacío de hogares puede eliminar a todos los demás hogares, manteniendo al mismo tiempo el control de los productores, los únicos estados que pueden ser ejecutados son los estados centrales. Un estado que no sea un estado central sería inmediatamente objetado por una coalición de hogares.

Necesitamos una suposición más sobre , que es un cono , es decir, para cualquier . Esta suposición descarta dos formas en que la economía se vuelve trivial.${\displaystyle PPS}$${\displaystyle k\cdot PPS\subset PPS}$${\displaystyle k\geq 0}$

• La maldición del almuerzo gratis: en este modelo, el todo está disponible para cualquier coalición no vacía, incluso una coalición de una sola persona. En consecuencia, si nadie tiene dotación alguna y, sin embargo, contiene algún "almuerzo gratis" , entonces (suponiendo que las preferencias sean monótonas) cada hogar querría quedarse con todo para sí mismo y, en consecuencia, no existe *ningún* estado central. Intuitivamente, la imagen del mundo es la de un comité de personas egoístas que vetan cualquier plan que no les dé todo el almuerzo gratis.${\displaystyle PPS}$${\displaystyle PPS}$${\displaystyle y\succ 0}$${\displaystyle y}$
• El límite del crecimiento: Consideremos una sociedad con dos bienes: uno es el "trabajo" y el otro es el "alimento". Los hogares tienen como dotación únicamente el trabajo, pero sólo consumen alimentos. La ecuación parece una rampa con la parte superior plana. Por lo tanto, si se invierten entre 0 y 1.000 horas de trabajo, se obtienen entre 0 y 1.000 kg de alimentos, de forma lineal, pero si se invierte más trabajo, no se obtienen alimentos. Ahora supongamos que cada hogar está dotado con 1.000 horas de trabajo. Está claro que cada hogar bloquearía inmediatamente a todos los demás, ya que siempre es mejor que uno utilice todo el dinero para sí mismo.${\displaystyle PPS}$${\displaystyle PPS}$

En el artículo de Debreu y Scarf, definieron una forma particular de abordar una economía infinitamente grande, mediante la "replicación de hogares". Es decir, para cualquier número entero positivo , definir una economía en la que haya hogares que tengan exactamente el mismo conjunto de posibilidades de consumo y preferencias que el hogar .${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle i}$

Supongamos que representa el plan de consumo de la réplica -ésima del hogar . Defina un plan que sea equitativo si y solo si para cualquier y .${\displaystyle x^{i,k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle k,k'\in K}$

En general, un estado sería bastante complejo y trataría a cada réplica de manera diferente. Sin embargo, los estados centrales son significativamente más simples: son equitativos y tratan a todas las réplicas por igual.

En consecuencia, al estudiar los estados centrales, es suficiente considerar un plan de consumo para cada tipo de hogar. Ahora, definamos como el conjunto de todos los estados centrales de la economía con réplicas por hogar. Es claro que , por lo que podemos definir el conjunto límite de estados centrales .${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots }$${\displaystyle C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}}$

Hemos visto que contiene el conjunto de equilibrios de mercado para la economía original. Lo inverso es cierto bajo un supuesto adicional menor: ^[16]${\displaystyle C}$

La suposición de que es un cono poligonal, o que cada uno tiene un interior no vacío, es necesaria para evitar el problema técnico del "cuasi-equilibrio". Sin la suposición, sólo podemos demostrar que está contenido en el conjunto de cuasi-equilibrios.${\displaystyle PPS}$${\displaystyle CPS^{i}}$${\displaystyle C}$

El supuesto de que los conjuntos de posibilidades de producción son convexos es una restricción importante, ya que implica que no hay economías de escala. De manera similar, podemos considerar conjuntos de posibilidades de consumo y preferencias no convexos. En tales casos, las funciones de oferta y demanda pueden ser discontinuas con respecto al vector de precios, por lo que puede no existir un equilibrio general.${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$

Sin embargo, podemos "convexificar" la economía, encontrar un equilibrio para ella, y entonces, por el teorema de Shapley-Folkman-Starr , es un equilibrio aproximado para la economía original.

En detalle, dada cualquier economía que satisfaga todos los supuestos dados, excepto la convexidad de y , definimos la "economía convexificada" como la misma economía, excepto que${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$${\displaystyle \succeq ^{i}}$

• ${\displaystyle PPS'^{j}=\mathrm {Conv} (PPS^{j})}$
• ${\displaystyle CPS'^{i}=\mathrm {Conv} (CPS^{i})}$
• ${\displaystyle x\succeq '^{i}y}$si y solo si .${\displaystyle \forall z\in CPS^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))}$

donde denota la envoltura convexa .${\displaystyle \mathrm {Conv} }$

Con esto, cualquier equilibrio general para la economía convexificada es también un equilibrio aproximado para la economía original. Es decir, si es un vector de precios de equilibrio para la economía convexificada, entonces ^[17] donde es la distancia euclidiana, y es cualquier límite superior en los radios internos de todos (ver la página sobre el teorema de Shapley–Folkman–Starr para la definición de radios internos).${\displaystyle p^{*}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle L}$${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$

La economía convexificada puede no satisfacer los supuestos. Por ejemplo, el conjunto es cerrado, pero su envoltura convexa no lo es. Si se impone el supuesto adicional de que la economía convexificada también satisface los supuestos, se llega a la conclusión de que la economía original siempre tiene un equilibrio aproximado.${\displaystyle \{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}}$

Los productos básicos del modelo Arrow-Debreu son completamente abstractos. Por lo tanto, aunque normalmente se lo representa como un mercado estático, se lo puede utilizar para modelar el tiempo, el espacio y la incertidumbre dividiendo un producto básico en varios, cada uno de ellos supeditado a un tiempo, lugar y estado del mundo determinados. Por ejemplo, las "manzanas" se pueden dividir en "manzanas en Nueva York en septiembre si hay naranjas disponibles" y "manzanas en Chicago en junio si no hay naranjas disponibles".

Dados algunos productos básicos, el mercado completo de Arrow-Debreu es un mercado en el que hay un producto separado para cada momento futuro, para cada lugar de entrega, para cada estado del mundo considerado, para cada producto básico.

En economía financiera, el término "Arrow-Debreu" se refiere más comúnmente a un título Arrow-Debreu . Un título Arrow-Debreu canónico es un título que paga una unidad de numerario si se alcanza un estado particular del mundo y cero en caso contrario (el precio de dicho título es el llamado " precio de estado "). Como tal, cualquier contrato de derivados cuyo valor de liquidación sea una función de un subyacente cuyo valor sea incierto en la fecha del contrato puede descomponerse como una combinación lineal de títulos Arrow-Debreu.

Desde el trabajo de Breeden y Lizenberger en 1978, ^[18] un gran número de investigadores han utilizado opciones para extraer precios de Arrow-Debreu para una variedad de aplicaciones en economía financiera . ^[19]

Aquí no se ofrece ninguna teoría del dinero y se supone que la economía funciona sin la ayuda de un bien que sirva como medio de intercambio.

—  Gérard Debreu, Teoría del valor: un análisis axiomático del equilibrio económico (1959)

Para el teórico puro, en la coyuntura actual, el aspecto más interesante y desafiante del dinero es que no puede encontrar cabida en una economía Arrow-Debreu. Esta circunstancia también debería tener una importancia considerable para los macroeconomistas, pero rara vez lo tiene.

—  Frank Hahn , Los fundamentos de la teoría monetaria (1987)

Por lo general, los economistas consideran que las funciones del dinero son las de unidad de cuenta, depósito de valor, medio de intercambio y patrón de pago diferido. Sin embargo, esto es incompatible con el mercado completo de Arrow-Debreu descrito anteriormente. En el mercado completo, solo hay una transacción única en el mercado "al comienzo de los tiempos". Después de eso, los hogares y los productores simplemente ejecutan sus producciones, consumos y entregas de mercancías planificadas hasta el final de los tiempos. En consecuencia, no hay ninguna utilidad para el almacenamiento de valor o medio de intercambio. Esto se aplica no solo al mercado completo de Arrow-Debreu, sino también a modelos (como aquellos con mercados de mercancías contingentes y contratos de seguros de Arrow) que difieren en forma, pero son matemáticamente equivalentes a él. ^[20]

Scarf (1967) ^[21] fue el primer algoritmo que calculó el equilibrio general. Véase Scarf (2018) ^[22] y Kubler (2012) ^[23] para obtener reseñas.

Ciertas economías, en determinados vectores de dotación, pueden tener infinitos vectores de precios de equilibrio. Sin embargo, "genéricamente", una economía tiene sólo un número finito de vectores de precios de equilibrio. Aquí, "genéricamente" significa "en todos los puntos, excepto en un conjunto cerrado de medida de Lebesgue cero", como en el teorema de Sard . ^{[24] [25]}

Existen muchos teoremas de genericidad de este tipo. Un ejemplo es el siguiente: ^{[26] [27]}

• Modelo (economía)
• Mercados incompletos
• Mercado de intercambio Arrow-Debreu : un modelo de mercado más simple, en el que solo hay hogares (que pueden ser tanto compradores como vendedores), pero no hay productores.
• Mercado Fisher : un modelo de mercado aún más simple, en el que solo hay compradores; se da la cantidad total de cada producto y cada comprador viene solo con un presupuesto monetario.
• Lista de artículos sobre precios de activos
• Economía financiera § Economía subyacente

• Athreya, Kartik B. (2013). "El enfoque macroeconómico moderno y el modelo Arrow-Debreu-McKenzie". Grandes ideas en macroeconomía: una visión no técnica . Cambridge: MIT Press. pp. 11–46. ISBN 978-0-262-01973-6.
• Geanakoplos, John (1987). "Modelo Arrow-Debreu de equilibrio general". The New Palgrave: A Dictionary of Economics . Vol. 1. págs. 116–124.
• Takayama, Akira (1985). Economía matemática (2.ª ed.). Londres: Cambridge University Press. pp. 255–284. ISBN. 978-0-521-31498-5.
• Düppe, Till (2012). "Arrow y Debreu deshomogeneizados". Revista de Historia del Pensamiento Económico . 34 (4): 491–514. CiteSeerX  10.1.1.416.2120 . doi :10.1017/s1053837212000491. S2CID  15771197.

• Notas sobre el modelo Arrow-Debreu-McKenzie de una economía, Prof. Kim C. Border Instituto Tecnológico de California
• "El teorema fundamental" de las finanzas; parte II. Prof. Mark Rubinstein , Haas School of Business ^{[ enlace roto ]}