Valores especiales de las funciones L

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En matemáticas , el estudio de valores especiales de funciones L es un subcampo de la teoría de números dedicado a generalizar fórmulas como la fórmula de Leibniz para π , es decir$${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\ ,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}},\!}$$

por el reconocimiento de que la expresión en el lado izquierdo es también donde es la función L de Dirichlet para el campo de números racionales gaussianos . Esta fórmula es un caso especial de la fórmula analítica del número de clase , y en esos términos se lee que el campo gaussiano tiene número de clase 1 . El factor en el lado derecho de la fórmula corresponde al hecho de que este campo contiene cuatro raíces de la unidad .${\estilo de visualización L(1)}$${\displaystyle L(s)}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

Hay dos familias de conjeturas, formuladas para clases generales de funciones L (el contexto más general es el de las funciones L asociadas a motivos de Chow sobre cuerpos numéricos ), y la división en dos refleja las preguntas de:

1. cómo reemplazar en la fórmula de Leibniz por algún otro número "trascendental" (independientemente de si actualmente es posible para la teoría de números trascendentales proporcionar una prueba de la trascendencia); y${\estilo de visualización \pi}$
2. cómo generalizar el factor racional en la fórmula (número de clase dividido por el número de raíces de la unidad) mediante alguna construcción algebraica de un número racional que representará la relación entre el valor de la función L y el factor "trascendental".

Se dan explicaciones subsidiarias para los valores enteros de para los cuales se puede esperar que se cumpla una fórmula de este tipo .${\estilo de visualización n}$${\displaystyle L(n)}$

Las conjeturas para (a) se llaman conjeturas de Beilinson , para Alexander Beilinson . ^{[1] [2]} La idea es hacer abstracción del regulador de un cuerpo numérico hacia algún "regulador superior" (el regulador de Beilinson ), un determinante construido sobre un espacio vectorial real que proviene de la K-teoría algebraica .

Las conjeturas para (b) se denominan conjeturas de Bloch-Kato para valores especiales (para Spencer Bloch y Kazuya Kato ; este círculo de ideas es distinto de la conjetura de Bloch-Kato de la teoría K, que extiende la conjetura de Milnor , cuya prueba se anunció en 2009). También se denominan conjetura del número de Tamagawa , un nombre que surge a través de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer y su formulación como un análogo de curva elíptica del problema del número de Tamagawa para grupos algebraicos lineales . ^[3] En una extensión adicional, se ha formulado la conjetura del número de Tamagawa equivariante (ETNC), para consolidar la conexión de estas ideas con la teoría de Iwasawa y su llamada conjetura principal .

Se sabe que todas estas conjeturas son verdaderas sólo en casos especiales.

• Conjetura de Brumer-Stark

• Kings, Guido (2003), "La conjetura de Bloch-Kato sobre valores especiales de funciones L. Un estudio de resultados conocidos", Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 15 (1): 179–198, doi : 10.5802/jtnb.396 , ISSN  1246-7405, MR  2019010
• "Conjeturas de Beilinson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Functor K en geometría algebraica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathar, Richard J. (2010), "Tabla de funciones de módulo zeta primo y de serie L de Dirichlet para módulos pequeños", arXiv : 1008.2547 [math.NT]

• L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (Funciones L y conjeturas de Deligne y Beilsnson)