53 temperamento igual

En música, el temperamento igual 53 , llamado 53 TET , 53  EDO o 53 ET , es la escala temperada que se obtiene dividiendo la octava en 53 pasos iguales (razones de frecuencia iguales). Play ^ⓘ Cada paso representa una razón de frecuencia de 2 ^{1 ∕ 53}  , o 22,6415  centésimas ( Play ^ⓘ ), un intervalo a veces llamado coma holdriana . 

53 TET es una afinación de temperamento igual en la que la quinta perfecta temperada tiene un ancho de 701,89 cents, como se muestra en la Figura 1, y los tonos secuenciales están separados por 22,642 cents.

La afinación 53-TET equivale al unísono, o atempera , los intervalos . 32 805 /32 768⁠ , conocido como el cisma , y ​​⁠ 15 625 /15 552⁠ , conocido como el kleisma . Ambos son intervalos límite de 5, que involucran solo los primos 2, 3 y 5 en su factorización, y el hecho de que 53 TET templa ambos lo caracteriza completamente como un temperamento límite de 5: es el único temperamento regular que templa ambos intervalos, o comas , un hecho que parece haber sido reconocido por primera vez por el teórico musical japonés Shohé Tanaka . Debido a que los templa, 53nbsp;TET se puede usar tanto para el temperamento cismático , templando el cisma, como para el temperamento Hanson (también llamado kleísmico), templando el kleisma.

El intervalo de ⁠ 7 /4⁠ es el más cercano a la nota 43 (contando desde 0) y 2 ^{43 ∕ 53} = 1.7548   está a solo 4.8 centavos más agudo que la séptima armónica   = ⁠   7 /4⁠ en 53 TET, y su uso para la armonía de 7 límites significa que el kleisma septimal , el intervalo 225 /224⁠ , también se templa.

El interés teórico en esta división se remonta a la antigüedad. Jing Fang (78-37 a. C.), un teórico musical chino, observó que una serie de 53  quintas justas ([ ⁠ 3 /2⁠ ] ⁵³ ) es casi igual a 31 octavas ( 2 ³¹ ). Calculó que esta diferencia con una precisión de seis dígitos era ⁠ 177 147 /176 776⁠ . ^{[2] [3] Más tarde, el matemático y teórico musical} Nicholas Mercator ( c.  1620–1687 ) hizo la misma observación y calculó este valor con precisión como ⁠ 3 ⁵³ / 2 ⁸⁴ ⁠ = ⁠ 19 383 245 667 680 019 896 796 723 /19 342 813 113 834 066 795 298 816⁠ , ^{[ verificación necesaria ]} que se conoce como coma de Mercator . ^[4] La coma de Mercator tiene un valor tan pequeño para empezar ( ≈ 3,615 centavos), pero 53 temperamento igual aplana cada quinta en solo ⁠1/ 53 ⁠ de esa coma ( ≈ 0,0682 cent ≈ ⁠1/ 315 ⁠ coma sintónica ≈ ⁠1/ 344 ⁠ coma pitagórica ).Por lo tanto, el temperamento igual de 53 tonos es para todos los efectos prácticos equivalente a unaafinación pitagórica.

Después de Mercator, William Holder publicó un tratado en 1694 que señalaba que el temperamento igual 53 también se aproxima mucho a la tercera mayor justa (hasta 1,4 centésimas), y en consecuencia el temperamento igual 53 acomoda muy bien los intervalos de entonación justa límite 5. ^{[5] [6]} Esta propiedad del temperamento igual 53 puede haber sido conocida antes; los manuscritos inéditos de Isaac Newton sugieren que él había estado al tanto de ella ya en 1664-1665. ^[7]

En el siglo XIX, la gente comenzó a idear instrumentos en 53 TET, con la vista puesta en su uso para tocar música con un límite cercano a 5. Dichos instrumentos fueron ideados por RHM Bosanquet ^{[8] (p 328-329)} y el afinador estadounidense JP White. ^{[8] (p 329)} Posteriormente, el temperamento ha sido utilizado ocasionalmente por compositores en Occidente, y a principios del siglo XX, 53 TET se había convertido en la forma más común de afinación en la música clásica otomana , reemplazando su afinación más antigua y desigual. La música árabe , que en su mayor parte basa su teoría en cuartos de tono , también ha hecho algún uso de ella; el violinista y teórico musical sirio Twfiq Al-Sabagh propuso que, en lugar de una división igual de la octava en 24 partes, se debería utilizar una escala de 24 notas en 53 TET como escala maestra para la música árabe. ^{[ cita requerida ]}

El compositor croata Josip Štolcer-Slavenski escribió una pieza, que nunca fue publicada, que utiliza el Enharmonium de Bosanquet durante su primer movimiento, titulada Música para el sistema Natur-ton . ^{[9] [10] [11] [a]}

Además, el general Thompson trabajó en colaboración con el fabricante de guitarras londinense Louis Panormo para producir la guitarra enarmónica. ^[12]

Intentar utilizar la notación estándar, notas de siete letras más sostenidos o bemoles, puede volverse rápidamente confuso. Esto es diferente de lo que ocurre con 19 TET y 31 TET, donde hay poca ambigüedad. Al no ser un tono medio, agrega algunos problemas que requieren más atención. En particular, se distinguen la tercera mayor pitagórica ( dítono ) y solo la tercera mayor, al igual que la tercera menor pitagórica (semidítono) y solo la tercera menor. El hecho de que la coma sintónica no esté templada significa que las notas y los intervalos deben definirse con mayor precisión. La música clásica otomana utiliza una notación de bemoles y sostenidos para el tono de la coma 9.

Además, dado que 53 no es múltiplo de 12, notas como sol ♯ y la ♭ no son enarmónicamente equivalentes, ni tampoco lo son las armaduras de clave correspondientes . Como resultado, muchas armaduras de clave requerirán el uso de dobles sostenidos (como sol ♯ mayor / mi ♯ menor), dobles bemoles (como fa ♭ mayor / re ♭ menor) o alteraciones microtonales.

La notación pitagórica extendida , utilizando sólo sostenidos y bemoles, da la siguiente escala cromática:

• C, B ♯ , A ♯, mi, Re ♭ , Do ♯ , Si, yo, mi,
• Re, C, B ♯, yo, mi ♭ , re ♯ , do ♯, Sol, fa ♭ ,
• mi, re, C/A, Sol,
• F, E ♯ , D ♯, A, sol ♭ , fa ♯ , mi, D/B, A,
• Sol y Fa, mi ♯, B, La ♭ , Sol ♯ , Fa ♯, C, B,
• A, G, yo/D, C, si ♭ , la ♯ , sol ♯, D, C ♭ ,
• B, A, Sol/MI, D, C

Lamentablemente, las notas se quedan sin orden de letras y se necesitan hasta cuatro sostenidos y bemoles. Como resultado, una tercera mayor debe escribirse como una cuarta disminuida.

La notación de arriba y abajo ^[13] mantiene las notas en orden y también conserva el significado tradicional de sostenido y bemol. Utiliza flechas hacia arriba y hacia abajo, escritas como un signo de intercalación o una "v" minúscula, generalmente en una fuente sans-serif. Una flecha equivale a un paso de 53-TET. En los nombres de las notas, las flechas van primero, para facilitar la denominación de los acordes. Las numerosas equivalencias enarmónicas permiten una gran libertad de ortografía.

• C, ^C, ^^C, vvC ♯ /vD ♭ , vC ♯ /D ♭ , C ♯ /^D ♭ , ^C ♯ /^^D ♭ , vvD, vD,
• D, ^D, ^^D, vvD ♯ /vE ♭ , vD ♯ /E ♭ , D ♯ /^E ♭ , ^D ♯ /^^E ♭ , vvE, vE,
• mi, ^E, ^^E/vvF, vF,
• F, ^F, ^^F, vvF ♯ /vG ♭ , vF ♯ /G ♭ , F ♯ /^G ♭ , ^F ♯ /^^G ♭ , vvG, vG,
• G, ^G, ^^G, vvG ♯ /vA ♭ , vG ♯ /A ♭ , G ♯ /^A ♭ , ^G ♯ /^^A ♭ , vvA, vA,
• A, ^A, ^^A, vvA ♯ /vB ♭ , vA ♯ /B ♭ , A ♯ /^B ♭ , ^A ♯ /^^B ♭ , vvB, vB,
• B, ^B, ^^B/vvC, vC, C

Dado que el 53-TET es un sistema pitagórico, con quintas casi puras, las tríadas mayores y menores entonadas correctamente no se pueden escribir de la misma manera que en una afinación de tono medio . En cambio, las tríadas mayores son acordes como CF ♭ -G (usando la notación basada en Pitágoras), donde la tercera mayor es una cuarta disminuida; esta es la característica definitoria del temperamento cismático . Del mismo modo, las tríadas menores son acordes como CD ♯ -G. En el 53-TET, el acorde de séptima dominante se escribiría CF ♭ -GB ♭ , pero la tétrada otonal es CF ♭ -GC, y CF ♭ -GA ♯ es otro acorde de séptima. La tétrada utona , la inversión de la tétrada otonal, se escribe CD ♯ -GG.

Otros acordes séptimales son la tríada disminuida, que tiene las dos formas CD ♯ -G ♭ y CF-G ♭ , la tríada submenor, CF-G, la tríada supermayor CD-G, y las tétradas correspondientes CF-ESy CD-GA♯ .​ Dado que 53-TET atenúa el kleisma septimal , la tríada aumentada del kleisma septimal CF ♭ -BEn sus diversas inversiones también es un acorde del sistema. Así es la tétrada de Orwell, CF ♭ -D-GRAMOen sus diversas inversiones.

La notación de subidas y bajadas permite grafías más convencionales. Dado que también nombra los intervalos de 53 TET, ^[14] también proporciona nombres precisos de acordes. El acorde menor pitagórico con un ⁠ 32 /27La tercera todavía se llama Cm y se escribe C–E ♭ –G. Pero el acorde menor ascendente con límite de 5 usa la tercera menor ascendente 6/5 y se escribe C–^E ♭ –G. Este acorde se llama C^m. Compárese con ^Cm (^C–^E ♭ –^G).

• Tríada mayor: C-vE-G (mayor descendente)
• Tríada menor: C-^E ♭ -G (menor ascendente)
• Séptima dominante: C-vE-GB ♭ (abajo add-7)
• Tétrada otonal: C-vE-G-vB ♭ (abajo 7)
• Tétrada utonal: C-^E ♭ -G-^A (upminor6)
• Tríada disminuida: C-^E ♭ -G ♭ (updim)
• Tríada disminuida: C-vE ♭ -G ♭ (atenuación descendente)
• Tríada submenor: C-vE ♭ -G (menor inferior)
• Tríada supermayor: C-^EG (mayor hacia arriba)
• Tétrada submenor: C-vE ♭ -G-vA (downminor6)
• Tétrada supermayor: C-^EG-^B ♭ (up7)
• Tríada aumentada: C-vE-vvG ♯ (downaug dud-5)
• Tríada de Orwell: C-vE-vvG-^A (abajo mayor dud-5 arriba6)

Debido a que una distancia de 31  pasos en esta escala es casi exactamente igual a una quinta perfecta , en teoría esta escala puede considerarse una forma ligeramente temperada de la afinación pitagórica que se ha extendido a 53 tonos. Como tal, los intervalos disponibles pueden tener las mismas propiedades que cualquier afinación pitagórica, como quintas que son (prácticamente) puras, terceras mayores que son anchas desde apenas (aproximadamente ⁠ 81 /64⁠ opuesto al más puro ⁠ 5 /4⁠ , y terceras menores que son, por el contrario, estrechas ( ⁠ 32 /27⁠ comparado con ⁠ 6 /5⁠ ).

Sin embargo, 53 TET contiene intervalos adicionales que son muy cercanos a la entonación justa. Por ejemplo, el intervalo de 17 pasos también es una tercera mayor, pero solo 1,4 centésimas más estrecho que el intervalo justo muy puro . 5 /453 TET es muy buena como aproximación a cualquier intervalo en entonación justa límite 5. De manera similar, el intervalo justo puro 5 6 /5⁠ es solo 1,3 centavos más ancho que los 14 pasos de 53 TET.

Las coincidencias con los intervalos justos que involucran el séptimo armónico son ligeramente menos cercanas (43 pasos son 4,8 centésimas sostenidos para ⁠ 7 /4) , pero todos estos intervalos siguen estando bastante igualados, siendo la desviación más alta la ⁠ 7 /5⁠  tritono. El undécimo armónico y los intervalos que lo involucran no coinciden tanto, como lo ilustran los segundos y tercios neutros indeciso en la tabla a continuación. Las relaciones de límite 7 están coloreadas en gris claro, y las relaciones de límite 11 y 13 están coloreadas en gris oscuro.

A continuación se muestran 21 de las 53 notas de la escala cromática. El resto se puede añadir fácilmente.

Intervalo (pasos)		3		2		4		3		2		3		2		1		2		4		1		4		3		2		4		3		2		3		2		1		2
Intervalo (centavos)		68		45		91		68		45		68		45		23		45		91		23		91		68		45		91		68		45		68		45		23		45
Nombre de la nota (notación pitagórica)	do		mi		C ♯		D		F		D ♯		F ♭		D		do/A		F		Sol ♭		F ♯		GRAMO		B		Sol ♯		B		do		A ♯		C ♭		A		GRAMO/MI		do
Nombre de la nota (notación de subidas y bajadas)	do		vvC ♯ /vD ♭		C ♯ /^D ♭		D		vvD ♯ /vE ♭		Re ♯ /^Mi ♭		vE		^E		^^E/vvF		F		vF ♯ /Sol ♭		F ♯ /^Sol ♭		GRAMO		vvG ♯ /vA ♭		Sol ♯ /^La ♭		Virginia		vvA ♯ /vB ♭		Una ♯ /^Si ♭		vB		^B		^^B/vvC		do
Nota (centavos)	0		68		113		204		272		317		385		430		453		498		589		611		702		770		815		883		974		1018		1087		1132		1155		1200
Nota (pasos)	0		3		5		9		12		14		17		19		20		22		26		27		31		34		36		39		43		45		48		50		51		53

En teoría musical y afinación musical , la coma holdriana , también llamada coma de Holder y, en raras ocasiones, coma árabe , ^[15] es un pequeño intervalo musical de aproximadamente 22,6415  centésimas , ^[15] igual a un paso de 53 temperamentos iguales, o ( play ^ⓘ ). Sin embargo, el nombre "coma" es técnicamente engañoso, ya que este intervalo es un número irracional y no describe un compromiso entre intervalos de ningún sistema de afinación. El intervalo recibe el nombre de "coma" porque es una aproximación cercana de varias comas , más notablemente la coma sintónica (21,51 centésimas) ( play ^ⓘ ), que se usó ampliamente como unidad de medida tonal durante la época de Holder .${\displaystyle \ {\sqrt[{53}]{2\;}}\ }$

El origen de la coma de Holder reside en el hecho de que los antiguos griegos (o al menos el romano Boecio ^[b] ) creían que en la afinación pitagórica el tono podía dividirse en nueve comas, cuatro de las cuales formaban el semitono diatónico y cinco el semitono cromático. Si todas estas comas son exactamente del mismo tamaño, resulta una octava de 5 tonos + 2 semitonos diatónicos,   5 × 9 + 2 × 4 = 53 comas iguales. Holder ^[18] atribuye la división de la octava en 53 partes iguales a Nicholas Mercator ^[c] , quien él mismo había propuesto que ⁠1/ 53 ⁠ partede la octava se denominará "coma artificial".

La coma de Mercator es un nombre que se utiliza a menudo para un intervalo estrechamente relacionado debido a su asociación con Nicholas Mercator . ^[d] Uno de estos intervalos fue descrito por primera vez por Jing Fang en el 45 a . C. ^[15] Mercator aplicó logaritmos para determinar que (≈ 21,8182 cents) era casi equivalente a una coma sintónica de ≈ 21,5063 cents (una característica del temperamento medio predominante de la época). También consideró que una "coma artificial" de podría ser útil, porque 31 octavas podrían aproximarse prácticamente con un ciclo de 53  quintas justas . Holder , por quien se nombró la coma holdriana , favoreció esta última unidad porque los intervalos de 53 temperamentos iguales están más cerca de la entonación justa que de 55 TET. Por lo tanto, la coma de Mercator y la coma holdriana son dos intervalos distintos pero casi iguales.${\displaystyle \ {\sqrt[{55}]{2\;}}\ }$${\displaystyle \ {\sqrt[{53}]{2\;}}\ }$

La coma holdriana ha sido empleada principalmente en la teoría musical otomana/turca por Kemal Ilerici y por el compositor turco Erol Sayan. El nombre de esta coma es Holder koması en turco.

Por ejemplo, el Rast makam (similar a la escala mayor occidental , o más precisamente a la escala mayor correctamente afinada ) puede considerarse en términos de comas holdrianas:

dóndedenota una coma holdriana bemol, ^[e] mientras que, en contraste, el makam de Nihavend (similar a la escala menor occidental ):

donde ♭ denota un bemol de cinco comas, tiene segundas medias entre re–mi ♭ , mi–fa , sol–la ♭ , la ♭ –b ♭ , y b ♭ –c ′ , siendo una segunda media en algún lugar entre 8 y 9 comas. [ ^15]

• Rodgers, Prent (mayo de 2007). "Canción susurrante en 53 EDO". Bumper Music (podcast) (edición más lenta).
• Hanson, Larry (1989). «Desarrollo de un diseño de teclado de 53 tonos» (PDF) . Xenharmonicon . XII . Hanover, NH: Frog Peak Music: 68–85 . Consultado el 4 de enero de 2021 a través de Anaphoria.com.
• "Álgebra de funciones tonales". Sonantometría (blog). 1 de mayo de 2007.— Funciones tonales como 53 grados TET.
• Barbieri, Patrizio (2008). "Música e instrumentos enarmónicos, 1470-1900". Latina, Il Levante Librería Editrice . Italia. Archivado desde el original el 15 de febrero de 2009. ^{[ enlace muerto ]}
• Kukula, Jim (agosto de 2005). "Temperamento igual con 53 tonos por octava". Ciencia interdependiente . Música microtonal fractal . Consultado el 4 de enero de 2021 .