Número abundante

En teoría de números , un número abundante o excesivo es un entero positivo cuya suma de sus divisores propios es mayor que el número. El entero 12 es el primer número abundante. Sus divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6, lo que da un total de 16. La cantidad en la que la suma excede al número es la abundancia . El número 12 tiene una abundancia de 4, por ejemplo.

Un número abundante es un número natural n para el cual la suma de divisores σ ( n ) satisface σ ( n ) > 2 n , o, equivalentemente, la suma de divisores propios (o suma alícuota ) s ( n ) satisface s ( n ) > n .

La abundancia de un número natural es el entero σ ( n ) − 2n (equivalentemente, s ( n ) − n ).

Los primeros 28 números abundantes son:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (secuencia A005101 en la OEIS ).

Por ejemplo, los divisores propios de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12, cuya suma es 36. Como 36 es mayor que 24, el número 24 es abundante. Su abundancia es 36 − 24 = 12.

• El número impar abundante más pequeño es 945.
• El número abundante más pequeño no divisible por 2 o por 3 es 5391411025 cuyos factores primos distintos son 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 (secuencia A047802 en la OEIS ). Un algoritmo dado por Iannucci en 2005 muestra cómo encontrar el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos . ^[1] Si representa el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos entonces para todos tenemos${\estilo de visualización A(k)}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$

para k suficientemente grande .

• Todo múltiplo de un número perfecto (excepto el número perfecto en sí) es abundante. ^[2] Por ejemplo, todo múltiplo de 6 mayor que 6 es abundante porque${\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.}$
• Todo múltiplo de un número abundante es abundante. ^[2] Por ejemplo, todo múltiplo de 20 (incluido el propio 20) es abundante porque${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.}$
• En consecuencia, existen infinitos números pares e impares abundantes.

• Además, el conjunto de números abundantes tiene una densidad natural distinta de cero . ^[3] Marc Deléglise demostró en 1998 que la densidad natural del conjunto de números abundantes y números perfectos está entre 0,2474 y 0,2480. ^[4]
• Un número abundante que no es múltiplo de un número abundante o número perfecto (es decir, todos sus divisores propios son deficientes) se llama número abundante primitivo .
• Un número abundante cuya abundancia es mayor que cualquier número inferior se denomina número altamente abundante, y uno cuya abundancia relativa (es decir, s(n)/n ) es mayor que cualquier número inferior se denomina número superabundante.
• Todo entero mayor que 20161 puede escribirse como la suma de dos números abundantes. El mayor número par que no es la suma de dos números abundantes es 46. ^[5]
• Un número abundante que no es un número semiperfecto se llama número extraño . ^[6] Un número abundante con abundancia 1 se llama número cuasiperfecto , aunque todavía no se ha encontrado ninguno.
• Todo número abundante es múltiplo de un número perfecto o de un número abundante primitivo.

Los números cuya suma de factores propios es igual al número mismo (como 6 y 28) se denominan números perfectos , mientras que los números cuya suma de factores propios es menor que el número mismo se denominan números deficientes . La primera clasificación conocida de los números como deficientes, perfectos o abundantes fue realizada por Nicómaco en su Introductio Arithmetica (circa 100 d. C.), que describió a los números abundantes como animales deformes con demasiadas extremidades.

El índice de abundancia de n es la relación σ ( n )/ n . ^[7] Los números distintos n ₁ , n ₂ , ... (ya sean abundantes o no) con el mismo índice de abundancia se denominan números amigos .

La secuencia ( a _k ) de números menores n tales que σ ( n ) > kn , en la que a ₂ = 12 corresponde al primer número abundante, crece muy rápidamente (secuencia A134716 en la OEIS ).

El entero impar más pequeño con un índice de abundancia superior a 3 es 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29. ^[8]

Si p = ( p ₁ , ..., p _n ) es una lista de primos, entonces p se considera abundante si algún entero compuesto únicamente de primos en p es abundante. Una condición necesaria y suficiente para esto es que el producto de p _i /( p _i − 1) sea > 2. ^[9]

• Tattersall, James J. (2005). Teoría elemental de números en nueve capítulos (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-85014-8.Zbl 1071.11002  .

• El Glosario de los Primeros: Número abundante
• Weisstein, Eric W. "Número abundante". MathWorld .
• Número abundante en PlanetMath .