Álgebra libre

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un álgebra libre es el análogo no conmutativo de un anillo polinómico , ya que sus elementos pueden describirse como "polinomios" con variables no conmutativas. Asimismo, el anillo polinómico puede considerarse un álgebra conmutativa libre .

Para un anillo conmutativo R , el álgebra libre ( asociativa , unital ) sobre n indeterminados { X ₁ ,..., X _n } es el R -módulo libre con una base que consiste en todas las palabras del alfabeto { X ₁ ,..., X _n } (incluida la palabra vacía, que es la unidad del álgebra libre). Este R -módulo se convierte en un R -álgebra al definir una multiplicación como sigue: el producto de dos elementos de la base es la concatenación de las palabras correspondientes:

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}$

y el producto de dos elementos arbitrarios de módulo R está, por lo tanto, determinado de forma única (porque la multiplicación en un R -álgebra debe ser R -bilineal). Este R -álgebra se denota R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩. Esta construcción se puede generalizar fácilmente a un conjunto arbitrario X de indeterminados.

En resumen, para un conjunto arbitrario , el R - álgebra libre ( asociativa , unital ) sobre X es ${\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}$

${\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}$

con la multiplicación R -bilineal que es concatenación sobre palabras, donde X * denota el monoide libre sobre X (es decir, palabras sobre las letras X _i ), denota la suma directa externa , y Rw denota el R -módulo libre sobre 1 elemento, la palabra w .${\displaystyle \oplus }$

Por ejemplo, en R ⟨ X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ⟩, para escalares α, β, γ, δ ∈ R , un ejemplo concreto de un producto de dos elementos es

${\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}$.

El anillo polinomial no conmutativo puede identificarse con el anillo monoide sobre R del monoide libre de todas las palabras finitas en X _i .

Dado que las palabras sobre el alfabeto { X ₁ , ..., X _n } forman una base de R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩, está claro que cualquier elemento de R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩ se puede escribir de forma única en la forma:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

donde son elementos de R y todos, excepto un número finito de estos elementos, son cero. Esto explica por qué los elementos de R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ se denotan a menudo como "polinomios no conmutativos" en las "variables" (o "indeterminadas") X ₁ ,..., X _n ; se dice que los elementos son "coeficientes" de estos polinomios, y la R -álgebra R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ se llama "álgebra polinómica no conmutativa sobre R en n indeterminadas". Nótese que, a diferencia de un anillo polinómico real , las variables no conmutan . Por ejemplo, X ₁ X ₂ no es igual a X ₂ X ₁ .${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$

De manera más general, se puede construir el álgebra libre R ⟨ E ⟩ sobre cualquier conjunto E de generadores . Dado que los anillos pueden considerarse como Z -álgebras, un anillo libre sobre E puede definirse como el álgebra libre Z ⟨ E ⟩.

Sobre un cuerpo , el álgebra libre sobre n indeterminados se puede construir como el álgebra tensorial sobre un espacio vectorial n -dimensional . Para un anillo de coeficientes más general, la misma construcción funciona si tomamos el módulo libre sobre n generadores .

La construcción del álgebra libre sobre E es de naturaleza funcional y satisface una propiedad universal apropiada . El funtor del álgebra libre es adjunto por izquierda al funtor olvidadizo de la categoría de R -álgebras a la categoría de conjuntos .

Las álgebras libres sobre anillos de división son anillos ideales libres .

• Coalgebra cofree
• Álgebra tensorial
• Objeto libre
• Anillo no conmutativo
• Serie racional
• Álgebra de términos

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Series racionales no conmutativas con aplicaciones . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 137. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-19022-0.Zbl 1250.68007  .
• LA Bokut' (2001) [1994], "Álgebra asociativa libre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press