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Dos objetos matemáticos a y b se denominan "iguales hasta una relación de equivalencia R ".

• si a y b están relacionados por R , es decir,
• si aRb se cumple, es decir,
• si las clases de equivalencia de a y b con respecto a R son iguales.

Esta figura retórica se utiliza sobre todo en relación con expresiones derivadas de la igualdad, como la unicidad o el recuento. Por ejemplo, " x es único hasta R " significa que todos los objetos x considerados están en la misma clase de equivalencia con respecto a la relación R.

Además, la relación de equivalencia R se designa a menudo de forma bastante implícita mediante una condición generadora o transformación. Por ejemplo, la afirmación "la factorización prima de un entero es única hasta el orden" es una forma concisa de decir que dos listas cualesquiera de factores primos de un entero dado son equivalentes con respecto a la relación R que relaciona dos listas si una puede obtenerse reordenando ( permutando ) la otra. ^[1] Como otro ejemplo, la afirmación "la solución de una integral indefinida es sen( x ) , hasta la adición de una constante" emplea tácitamente la relación de equivalencia R entre funciones, definida por fRg si la diferencia f − g es una función constante, y significa que la solución y la función sen( x ) son iguales hasta este R . En la imagen, "hay 4 particiones hasta la rotación" significa que el conjunto P tiene 4 clases de equivalencia con respecto a R definido por aRb si b puede obtenerse a partir de a por rotación; un representante de cada clase se muestra en la parte inferior izquierda de la imagen.

Las relaciones de equivalencia se utilizan a menudo para ignorar las posibles diferencias entre objetos, por lo que "hasta R " puede entenderse informalmente como "ignorar las mismas sutilezas que R ignora". En el ejemplo de factorización, "hasta el orden" significa "ignorar el orden particular".

Otros ejemplos incluyen "hasta isomorfismo", "hasta permutaciones" y "hasta rotaciones", que se describen en la sección Ejemplos.

En contextos informales, los matemáticos a menudo utilizan la palabra módulo (o simplemente mod ) para propósitos similares, como en "isomorfismo módulo".

Los objetos que son distintos hasta una relación de equivalencia definida por una acción de grupo, como rotación, reflexión o permutación, pueden contarse utilizando el lema de Burnside o su generalización, el teorema de enumeración de Pólya .

Consideremos las siete piezas del Tetris (I, J, L, O, S, T, Z), conocidas matemáticamente como tetrominós . Si consideramos todas las posibles rotaciones de estas piezas —por ejemplo, si consideramos que la "I" orientada verticalmente es distinta de la "I" orientada horizontalmente— entonces encontramos que hay 19 posibles formas distintas que se pueden mostrar en la pantalla. (Estas 19 son los llamados tetrominós "fijos". ^[2] ) Pero si las rotaciones no se consideran distintas —de modo que tratamos tanto a "I verticalmente" como a "I horizontalmente" indistintamente como "I"— entonces sólo hay siete. Decimos que "hay siete tetrominós , excepto la rotación". También se podría decir que "hay cinco tetrominós, excepto la rotación y la reflexión", lo que explica el hecho de que L reflejada da J, y S reflejada da Z.

En el rompecabezas de las ocho reinas , si se considera que las reinas son distintas (por ejemplo, si están coloreadas con ocho colores diferentes), entonces hay 3709440 soluciones distintas. Sin embargo, normalmente se considera que las reinas son intercambiables y se suele decir "hay 3.709.440 / 8! = 92 soluciones únicas hasta la permutación de las reinas", o que "hay 92 soluciones módulo los nombres de las reinas", lo que significa que dos disposiciones diferentes de las reinas se consideran equivalentes si las reinas han sido permutadas, siempre que el conjunto de casillas ocupadas siga siendo el mismo.

Si además de tratar a las reinas como idénticas se permitieran rotaciones y reflexiones del tablero, tendríamos sólo 12 soluciones distintas "hasta la simetría y el nombre de las reinas". Para más información, véase Rompecabezas de ocho reinas § Soluciones .

El n -gono regular , para un n fijo , es único hasta la semejanza . En otras palabras, la relación de equivalencia de "semejanza" sobre los n -gonos regulares (para un n fijo ) tiene sólo una clase de equivalencia; es imposible producir dos n -gonos regulares que no sean semejantes entre sí.

En teoría de grupos , uno puede tener un grupo G actuando sobre un conjunto X , en cuyo caso, se podría decir que dos elementos de X son equivalentes "hasta la acción del grupo", si se encuentran en la misma órbita .

Otro ejemplo típico es la afirmación de que “existen dos grupos distintos de orden 4 salvo isomorfismo ”, o “módulo isomorfismo, existen dos grupos de orden 4”. Esto significa que, si se consideran “equivalentes” los grupos isomorfos , sólo existen dos clases de equivalencia de grupos de orden 4.

Una x hiperreal y su parte estándar st( x ) son iguales hasta una diferencia infinitesimal .

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• Abuso de notación
• Adecuación
• Esencialmente único
• Lista de jerga matemática
• Módulo (jerga)
• Grupo de cocientes
• Conjunto cociente