Número de Tamagawa

En matemáticas , el número de Tamagawa de un grupo algebraico semisimple definido sobre un cuerpo global k es la medida de , donde es el anillo de Adele de k . Los números de Tamagawa fueron introducidos por Tamagawa  (1966), y nombrados en su honor por Weil  (1959).${\displaystyle \tau (G)}$${\displaystyle G(\mathbb {A} )/G(k)}$${\displaystyle \mathbb {A}}$

La observación de Tsuneo Tamagawa fue que, a partir de una forma diferencial invariante ω en G , definida sobre k , la medida involucrada estaba bien definida : mientras que ω podía reemplazarse por cω con c un elemento distinto de cero de , la fórmula del producto para valoraciones en k se refleja en la independencia de c de la medida del cociente, para la medida del producto construida a partir de ω en cada factor efectivo. El cálculo de los números de Tamagawa para grupos semisimples contiene partes importantes de la teoría clásica de la forma cuadrática .${\estilo de visualización k}$

Sea k un cuerpo global, A su anillo de adeles y G un grupo algebraico semisimple definido sobre k .

Elija medidas de Haar sobre las terminaciones k _v de k tales que O _v tenga volumen 1 para todos los lugares v excepto un número finito . Estas luego inducen una medida de Haar sobre A , que además suponemos que está normalizada de modo que A / k tiene volumen 1 con respecto a la medida de cociente inducida.

La medida de Tamagawa en el grupo algebraico adélico G ( A ) se define ahora de la siguiente manera. Tómese una forma n invariante por la izquierda ω en G ( k ) definida sobre k , donde n es la dimensión de G . Esto, junto con las elecciones anteriores de la medida de Haar en k _v , induce medidas de Haar en G ( k _v ) para todos los lugares de v . Como G es semisimple, el producto de estas medidas produce una medida de Haar en G ( A ) , llamada medida de Tamagawa . La medida de Tamagawa no depende de la elección de ω , ni de la elección de medidas en k _v , porque multiplicar ω por un elemento de k * multiplica la medida de Haar en G ( A ) por 1, utilizando la fórmula del producto para valoraciones.

El número de Tamagawa τ ( G ) se define como la medida de Tamagawa de G ( A )/ G ( k ) .

La conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa establece que el número de Tamagawa τ ( G ) de un grupo algebraico simple simplemente conexo (es decir, que no tiene una cobertura algebraica adecuada ) definido sobre un cuerpo de números es 1. Weil  (1959) calculó el número de Tamagawa en muchos casos de grupos clásicos y observó que es un número entero en todos los casos considerados y que era igual a 1 en los casos en que el grupo está simplemente conexo. Ono (1963) encontró ejemplos en los que los números de Tamagawa no son números enteros, pero la conjetura sobre el número de Tamagawa de grupos simplemente conexos fue probada en general por varios trabajos que culminaron en un artículo de Kottwitz  (1988) y para el análogo sobre cuerpos de funciones sobre cuerpos finitos de Gaitsgory y Lurie (2019).

• Grupo algebraico adélico

• "Número de Tamagawa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kottwitz, Robert E. (1988), "Números de Tamagawa", Ann. of Math. , 2, 127 (3), Anales de Matemáticas: 629–646, doi :10.2307/2007007, JSTOR  2007007, MR  0942522.
• Ono, Takashi (1963), "Sobre el número Tamagawa de toros algebraicos", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 78 (1): 47–73, doi :10.2307/1970502, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970502, MR  0156851
• Ono, Takashi (1965), "Sobre la teoría relativa de los números de Tamagawa", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 82 (1): 88–111, doi :10.2307/1970563, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970563, MR  0177991
• Tamagawa, Tsuneo (1966), "Adèles", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Sympos. Pure Math., vol. IX, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 113-121, MR  0212025
• Weil, André (1959), Exp. N° 186, Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, vol. 5, págs. 249-257
• Weil, André (1982) [1961], Adeles y grupos algebraicos, Progress in Mathematics, vol. 23, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, Sr.  0670072
• Lurie, Jacob (2014), Números de Tamagawa a través de la dualidad de Poincaré no abeliana
• Gaitsgory, Dennis ; Lurie, Jacob (2019), Conjetura de Weil para campos de funciones (volumen I), Annals of Mathematics Studies, vol. 199, Princeton: Princeton University Press , pp. viii, 311, ISBN 978-0-691-18213-1, MR  3887650, Zbl  1439.14006

• Aravind Asok, Brent Doran y Frances Kirwan, "La teoría de Yang-Mills y los números de Tamagawa: la fascinación de los vínculos inesperados en las matemáticas", 22 de febrero de 2013
• J. Lurie, La fórmula de masa de Siegel, los números de Tamagawa y la dualidad de Poincaré no abeliana publicado el 8 de junio de 2012.