Problema del amanecer

Problema que pregunta la probabilidad de que salga el sol mañana

El problema del amanecer puede expresarse de la siguiente manera: "¿Cuál es la probabilidad de que el sol salga mañana?" El problema del amanecer ilustra la dificultad de utilizar la teoría de la probabilidad al evaluar la plausibilidad de afirmaciones o creencias.

Según la interpretación bayesiana de la probabilidad , la teoría de la probabilidad se puede utilizar para evaluar la plausibilidad de la afirmación: "El sol saldrá mañana".

El problema del amanecer fue presentado públicamente por primera vez en 1763 por Richard Price en su famosa cobertura del trabajo fundacional de Thomas Bayes en el bayesianismo . ^[1]

El enfoque de Laplace

Pierre-Simon Laplace , quien lo trató mediante su regla de sucesión . ^[2]^[3] Sea p la frecuencia de largo plazo de los amaneceres, es decir, el sol sale el 100 × p % de los días. Antes de saber de cualquier amanecer, uno ignora por completo el valor de p . Laplace representó esta ignorancia previa mediante una distribución de probabilidad uniforme en p .

Por ejemplo, la probabilidad de que p esté entre el 20% y el 50% es sólo del 30%. Esto no debe interpretarse como que en el 30% de todos los casos, p esté entre el 20% y el 50%. Más bien, significa que el estado de conocimiento (o ignorancia) de uno justifica que uno esté 30% seguro de que el sol sale entre el 20% y el 50% del tiempo. Dado el valor de p , y ninguna otra información relevante para la pregunta de si el sol saldrá mañana, la probabilidad de que el sol salga mañana es p . Pero no se nos "da el valor de p ". Lo que se nos da son los datos observados: el sol ha salido todos los días registrados. Laplace dedujo el número de días diciendo que el universo fue creado hace unos 6000 años, basándose en una lectura creacionista de la Biblia basada en la idea de una tierra joven .

Para hallar la distribución de probabilidad condicional de p dados los datos, se utiliza el teorema de Bayes , que algunos llaman regla de Bayes-Laplace . Una vez hallada la distribución de probabilidad condicional de p dados los datos, se puede calcular la probabilidad condicional, dados los datos, de que el sol salga mañana. Esa probabilidad condicional está dada por la regla de sucesión . La plausibilidad de que el sol salga mañana aumenta con el número de días en los que el sol ha salido hasta ahora. En concreto, suponiendo que p tiene una distribución a priori uniforme en el intervalo [0,1] y que, dado el valor de p , el sol sale independientemente cada día con probabilidad p , la probabilidad condicional deseada es:

\Pr({\text{El sol sale mañana}}\mid {\text{Ha salido }}k{\text{ veces anteriormente}})={\frac {\int _{0}^{1}p^{k+1}\,dp}{\int _{0}^{1}p^{k}\,dp}}={\frac {k+1}{k+2}}.

Según esta fórmula, si se ha observado la salida del sol 10.000 veces anteriormente, la probabilidad de que salga al día siguiente es . Expresada como porcentaje, se trata aproximadamente de una probabilidad. $10001/10002\aproximadamente 0,99990002$ ${\estilo de visualización 99,990002\%}$

Sin embargo, Laplace reconoció que esto era una aplicación incorrecta de la regla de sucesión al no tener en cuenta toda la información previa disponible inmediatamente después de obtener el resultado:

Pero este número [la probabilidad de que el sol salga mañana] es mucho mayor para quien, viendo en la totalidad de los fenómenos el principio que regula los días y las estaciones, se da cuenta de que nada en el momento presente puede detener su curso.

ET Jaynes señaló que los trabajadores del campo no habían tenido en cuenta la advertencia de Laplace. ^[4]

Surge un problema de clase de referencia : la plausibilidad inferida dependerá de si tomamos la experiencia pasada de una persona, de la humanidad o de la tierra. Una consecuencia es que cada referente tendría una plausibilidad diferente del enunciado. En el bayesianismo, cualquier probabilidad es una probabilidad condicional dado lo que uno sabe. Eso varía de una persona a otra.

Véase también

Regla de sucesión
Problema de inducción
El argumento del fin del mundo : un problema similar que genera un intenso debate filosófico
La paradoja de Newcomb
Problemas no resueltos en estadística
Suavizado aditivo (también llamado suavizado de Laplace)

Referencias

^ "LII. Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades. Por el difunto reverendo Sr. Bayes, FRS, comunicado por el Sr. Price, en una carta a John Canton, AMFR S". Philosophical Transactions of the Royal Society of London (en latín). 53 : 409–410. 1763-12-31. doi :10.1098/rstl.1763.0053. ISSN 0261-0523.
^ Laplace, Pierre-Simon (1814). Un ensayo filosófico sobre las probabilidades (PDF) . Traducido por Trruscott, Frederick Wilson; Emory, Frederick Lincoln. John Wiley & Son y Chapman & Hall .
^ Chung, KL y AitSahlia, F. (2003). Teoría elemental de la probabilidad: con procesos estocásticos y una introducción a las finanzas matemáticas. Springer. pp. 129–130. ISBN 978-0-387-95578-0 .
^ Jaynes, ET (2003). "Capítulo 18.6". En G. Larry Bretthorst (ed.). Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia. Cambridge University Press. pág. 564. doi :10.1017/CBO9780511790423. ISBN 978-0-521-59271-0. Archivado desde el original el 3 de junio de 2022.

Lectura adicional

Howie, David. (2002). Interpretación de la probabilidad: controversias y desarrollos a principios del siglo XX. Cambridge University Press. pp. 24. ISBN 978-0-521-81251-1

[1] "LII. Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades. Por el difunto reverendo Sr. Bayes, FRS, comunicado por el Sr. Price, en una carta a John Canton, AMFR S". Philosophical Transactions of the Royal Society of London (en latín). 53 : 409–410. 1763-12-31. doi :10.1098/rstl.1763.0053. ISSN 0261-0523.

[wustl-a-philosophical-essay-2] Laplace, Pierre-Simon (1814). Un ensayo filosófico sobre las probabilidades (PDF) . Traducido por Trruscott, Frederick Wilson; Emory, Frederick Lincoln. John Wiley & Son y Chapman & Hall .

[3] Chung, KL y AitSahlia, F. (2003). Teoría elemental de la probabilidad: con procesos estocásticos y una introducción a las finanzas matemáticas. Springer. pp. 129–130. ISBN 978-0-387-95578-0 .

[4] Jaynes, ET (2003). "Capítulo 18.6". En G. Larry Bretthorst (ed.). Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia. Cambridge University Press. pág. 564. doi :10.1017/CBO9780511790423. ISBN 978-0-521-59271-0. Archivado desde el original el 3 de junio de 2022.