Números de Stirling del primer tipo

En matemáticas , especialmente en combinatoria , los números de Stirling de primera especie surgen en el estudio de las permutaciones. En particular, los números de Stirling sin signo de primera especie cuentan las permutaciones según su número de ciclos (contando los puntos fijos como ciclos de longitud uno). ^[1]

Los números de Stirling de primera y segunda especie pueden entenderse como inversos entre sí cuando se los considera como matrices triangulares . Este artículo está dedicado a los detalles de los números de Stirling de primera especie. Las identidades que vinculan las dos especies aparecen en el artículo sobre los números de Stirling .

Los números de Stirling con signo del primer tipo son los coeficientes en la expansión del factorial descendente.${\displaystyle s(n,k)}$

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$

en potencias de la variable :${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k},}$

Por ejemplo, , que conduce a los valores , , y .${\displaystyle (x)_{3}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x}$${\displaystyle s(3,3)=1}$${\displaystyle s(3,2)=-3}$${\displaystyle s(3,1)=2}$

Los números de Stirling sin signo también pueden definirse algebraicamente como los coeficientes del factorial ascendente :

${\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)\cdots (x+n-1)=\sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]x^{k}}$.

Las notaciones utilizadas en esta página para los números de Stirling no son universales y pueden entrar en conflicto con las notaciones de otras fuentes; la notación de corchetes también es una notación común para los coeficientes gaussianos . ^[2]${\displaystyle \left[{n \encima de k}\right]}$

Posteriormente, se descubrió que los valores absolutos de estos números son iguales al número de permutaciones de ciertos tipos. Estos valores absolutos, que se conocen como números de Stirling sin signo del primer tipo, a menudo se denotan como . Pueden definirse directamente como el número de permutaciones de elementos con ciclos disjuntos . ^[1]${\displaystyle |s(n,k)|}$${\displaystyle c(n,k)}$${\displaystyle \left[{n \encima de k}\right]}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización k}$

Por ejemplo, de las permutaciones de tres elementos, hay una permutación con tres ciclos (la permutación identidad , dada en notación de una línea por o en notación de ciclo por , tres permutaciones con dos ciclos ( , , y ) y dos permutaciones con un ciclo ( y ). Por lo tanto , y . Se puede ver que estos concuerdan con los cálculos algebraicos anteriores de para .${\estilo de visualización 3!=6}$${\estilo de visualización 123}$${\estilo de visualización (1)(2)(3)}$${\displaystyle 132=(1)(23)}$$Estilo de visualización 213=(12)(3)$${\displaystyle 321=(13)(2)}$${\displaystyle 312=(132)}$${\displaystyle 231=(123)}$${\displaystyle \left[{3 \atop 3}\right]=1}$${\displaystyle \left[{3 \atop 2}\right]=3,}$${\displaystyle \left[{3 \atop 1}\right]=2}$${\displaystyle s(n,k)}$${\displaystyle n=3}$

Para otro ejemplo, la imagen de la derecha muestra que : el grupo simétrico de 4 objetos tiene 3 permutaciones de la forma${\displaystyle \left[{4 \atop 2}\right]=11}$

${\displaystyle (\bullet \bullet )(\bullet \bullet )}$(que tiene 2 órbitas, cada una de tamaño 2),

y 8 permutaciones de la forma

${\displaystyle (\bullet \bullet \bullet )(\bullet )}$(que tiene 1 órbita de tamaño 3 y 1 órbita de tamaño 1).

Estos números se pueden calcular considerando las órbitas como clases de conjugación . Alfréd Rényi observó que el número de Stirling sin signo de primera clase también cuenta el número de permutaciones de tamaño con máximos de izquierda a derecha. ^[3]${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

Los signos de los números de Stirling con signo del primer tipo dependen únicamente de la paridad de n − k .

${\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{n \atop k}\right].}$

Los números de Stirling sin signo del primer tipo siguen la relación de recurrencia

${\displaystyle \left[{n+1 \atop k}\right]=n\left[{n \atop k}\right]+\left[{n \atop k-1}\right]}$

para , con las condiciones de contorno${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \left[{0 \atop 0}\right]=1\quad {\mbox{and}}\quad \left[{n \atop 0}\right]=\left[{0 \atop n}\right]=0}$

para . ^[2]${\displaystyle n>0}$

De ello se deduce inmediatamente que los números de Stirling con signo del primer tipo satisfacen la recurrencia

${\displaystyle s(n+1,k)=n\cdot s(n,k)+s(n,k-1)}$.

A continuación se muestra una matriz triangular de valores sin signo para los números de Stirling de primera especie, de forma similar al triángulo de Pascal . Estos valores son fáciles de generar utilizando la relación de recurrencia de la sección anterior.

Utilizando el delta de Kronecker se tiene,

${\displaystyle \left[{n \atop 0}\right]=\delta _{n}}$

y

${\displaystyle \left[{0 \atop k}\right]=0}$si , o más generalmente si k > n .${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=0}$

También

${\displaystyle \left[{n \atop 1}\right]=(n-1)!,\quad \left[{n \atop n}\right]=1,\quad \left[{n \atop n-1}\right]={n \choose 2},}$

y

${\displaystyle \left[{n \atop n-2}\right]={\frac {3n-1}{4}}{n \choose 3}\quad {\mbox{ and }}\quad \left[{n \atop n-3}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}.}$

Relaciones similares entre los números de Stirling se aplican a los polinomios de Bernoulli . Muchas relaciones entre los números de Stirling evocan relaciones similares entre los coeficientes binomiales . El estudio de estas "relaciones sombra" se denomina cálculo umbral y culmina en la teoría de las secuencias de Sheffer . Las generalizaciones de los números de Stirling de ambos tipos a entradas arbitrarias de valor complejo pueden extenderse a través de las relaciones de estos triángulos con los polinomios de convolución de Stirling . ^[4]

Tenga en cuenta que todas las pruebas combinatorias anteriores utilizan binomios o multinomios de .${\displaystyle n}$

Por lo tanto, si es primo, entonces:${\displaystyle p}$

${\displaystyle p\ |\left[{p \atop k}\right]}$para .${\displaystyle 1<k<p}$

Como los números de Stirling son los coeficientes de un polinomio con raíces 0, 1, ..., n − 1 , se tiene por las fórmulas de Vieta que

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-k\end{matrix}}\right]=\sum _{0\leq i_{1}<\ldots <i_{k}<n}i_{1}i_{2}\cdots i_{k}.}$$

En otras palabras, los números de Stirling del primer tipo están dados por polinomios simétricos elementales evaluados en 0, 1, ..., n − 1. [ ^5] En esta forma, las identidades simples dadas anteriormente toman la forma

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right]=\sum _{i=0}^{n-1}i={\binom {n}{2}},}$$$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right]=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{i-1}ij={\frac {3n-1}{4}}{\binom {n}{3}},}$$$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right]=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{i-1}\sum _{k=0}^{j-1}ijk={\binom {n}{2}}{\binom {n}{4}},}$$etcétera.

Se pueden producir formas alternativas para los números de Stirling del primer tipo con un enfoque similar precedido por alguna manipulación algebraica: ya que

${\displaystyle (x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=(n-1)!\cdot (x+1)\left({\frac {x}{2}}+1\right)\cdots \left({\frac {x}{n-1}}+1\right),}$

De las fórmulas de Newton se deduce que es posible desarrollar los números de Stirling de primera especie en términos de números armónicos generalizados . Esto produce identidades como

${\displaystyle \left[{n \atop 2}\right]=(n-1)!\;H_{n-1},}$

${\displaystyle \left[{n \atop 3}\right]={\frac {1}{2}}(n-1)!\left[(H_{n-1})^{2}-H_{n-1}^{(2)}\right]}$

${\displaystyle \left[{n \atop 4}\right]={\frac {1}{3!}}(n-1)!\left[(H_{n-1})^{3}-3H_{n-1}H_{n-1}^{(2)}+2H_{n-1}^{(3)}\right],}$

donde H _n es el número armónico y H _n ^{( m )} es el número armónico generalizado${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}$$${\displaystyle H_{n}^{(m)}={\frac {1}{1^{m}}}+{\frac {1}{2^{m}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{m}}}.}$$

Estas relaciones se pueden generalizar para dar

${\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\left[{\begin{matrix}n\\k+1\end{matrix}}\right]=\sum _{i_{1}=1}^{n-1}\sum _{i_{2}=i_{1}+1}^{n-1}\cdots \sum _{i_{k}=i_{k-1}+1}^{n-1}{\frac {1}{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}={\frac {w(n,k)}{k!}}}$

donde w ( n , m ) se define recursivamente en términos de los números armónicos generalizados por

${\displaystyle w(n,m)=\delta _{m,0}+\sum _{k=0}^{m-1}(1-m)_{k}H_{n-1}^{(k+1)}w(n,m-1-k).}$

(Aquí δ es la función delta de Kronecker y es el símbolo de Pochhammer ). ^[6]${\displaystyle (m)_{k}}$

Para los fijos, estas expansiones de números armónicos ponderados se generan mediante la función generadora${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\left[{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right]=[x^{k}]\exp \left(\sum _{m\geq 1}{\frac {(-1)^{m-1}H_{n}^{(m)}}{m}}x^{m}\right),}$

donde la notación significa la extracción del coeficiente de de la siguiente serie de potencias formales (ver los polinomios de Bell no exponenciales y la sección 3 de ^[7] ).${\displaystyle [x^{k}]}$${\displaystyle x^{k}}$

De manera más general, las sumas relacionadas con estas expansiones de números armónicos ponderados de los números de Stirling del primer tipo se pueden definir a través de transformadas de series zeta generalizadas de funciones generadoras . ^{[8] [9]}

También se pueden "invertir" las relaciones para estos números de Stirling dados en términos de los números armónicos de orden para escribir los números armónicos generalizados de orden entero en términos de sumas ponderadas de términos que involucran los números de Stirling de primera clase. Por ejemplo, cuando los números armónicos de segundo y tercer orden se dan por${\displaystyle k}$${\displaystyle k=2,3}$

${\displaystyle (n!)^{2}\cdot H_{n}^{(2)}=\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]^{2}-2\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle (n!)^{3}\cdot H_{n}^{(3)}=\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]^{3}-3\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right]+3\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]^{2}\left[{\begin{matrix}n+1\\4\end{matrix}}\right].}$

De manera más general, se puede invertir la función generadora del polinomio de Bell para los números de Stirling desarrollados en términos de los números armónicos de orden para obtener la de los números enteros.${\displaystyle m}$${\displaystyle m\geq 2}$

${\displaystyle H_{n}^{(m)}=-m\times [x^{m}]\log \left(1+\sum _{k\geq 1}\left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]{\frac {(-x)^{k}}{n!}}\right).}$

Dado que las permutaciones se dividen por número de ciclos, se tiene

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!}$

La identidad

${\displaystyle \sum _{p=k}^{n}{\left[{n \atop p}\right]{\binom {p}{k}}}=\left[{n+1 \atop k+1}\right]}$

se puede demostrar mediante las técnicas de la página Números de Stirling y funciones generadoras exponenciales .

La tabla de la sección 6.1 de Matemáticas concretas proporciona una plétora de formas generalizadas de sumas finitas que involucran los números de Stirling. Varias sumas finitas particulares relevantes para este artículo incluyen

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{n \atop m}\right]&=\sum _{k=m}^{n}\left[{n+1 \atop k+1}\right]{\binom {k}{m}}(-1)^{m-k}\\\left[{n+1 \atop m+1}\right]&=\sum _{k=m}^{n}\left[{k \atop m}\right]{\frac {n!}{k!}}\\\left[{m+n+1 \atop m}\right]&=\sum _{k=0}^{m}(n+k)\left[{n+k \atop k}\right]\\\left[{n \atop l+m}\right]{\binom {l+m}{l}}&=\sum _{k}\left[{k \atop l}\right]\left[{n-k \atop m}\right]{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$

Además, si definimos los números eulerianos de segundo orden por la relación de recurrencia triangular ^[10]

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle =(k+1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle +(2n-1-k)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k-1}\right\rangle \!\!\right\rangle ,}$

Llegamos a la siguiente identidad relacionada con la forma de los polinomios de convolución de Stirling que se pueden emplear para generalizar ambos triángulos de números de Stirling a valores arbitrarios reales o complejos de la entrada :${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left[{x \atop x-n}\right]=\sum _{k=0}^{n}\left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle {\binom {x+k}{2n}}.}$

Las expansiones particulares de la identidad anterior conducen a las siguientes identidades que expanden los números de Stirling del primer tipo para los primeros valores pequeños de :${\displaystyle n:=1,2,3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}x\\x-1\end{matrix}}\right]&={\binom {x}{2}}\\\left[{\begin{matrix}x\\x-2\end{matrix}}\right]&={\binom {x}{4}}+2{\binom {x+1}{4}}\\\left[{\begin{matrix}x\\x-3\end{matrix}}\right]&={\binom {x}{6}}+8{\binom {x+1}{6}}+6{\binom {x+2}{6}}.\end{aligned}}}$

Las herramientas de software para trabajar con sumas finitas que involucran números de Stirling y números de Euler son provistas por el paquete de utilidades RISC Stirling.m en Mathematica . Otros paquetes de software para adivinar fórmulas para secuencias (y sumas de secuencias polinómicas) que involucran números de Stirling y otros triángulos especiales están disponibles tanto para Mathematica como para Sage aquí y aquí, respectivamente. ^[11]

La siguiente identidad de congruencia se puede demostrar mediante un enfoque basado en funciones generadoras : ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&\equiv {\binom {\lfloor n/2\rfloor }{m-\lceil n/2\rceil }}=[x^{m}]\left(x^{\lceil n/2\rceil }(x+1)^{\lfloor n/2\rfloor }\right)&&{\pmod {2}},\end{aligned}}}$

Resultados más recientes que proporcionan fracciones J de tipo Jacobi que generan la función factorial única y productos factoriales generalizados conducen a otros nuevos resultados de congruencia para los números de Stirling del primer tipo. ^[13] Por ejemplo, trabajando módulo podemos demostrar que${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right]&\equiv {\frac {2^{n}}{4}}[n\geq 2]+[n=1]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right]&\equiv {\frac {3\cdot 2^{n}}{16}}(n-1)[n\geq 3]+[n=2]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right]&\equiv 2^{n-7}(9n-20)(n-1)[n\geq 4]+[n=3]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\4\end{matrix}}\right]&\equiv 2^{n-9}(3n-10)(3n-7)(n-1)[n\geq 5]+[n=4]&&{\pmod {2}}\end{aligned}}}$

¿Dónde está el soporte de Iverson ?${\displaystyle [b]}$

y trabajando módulo podemos demostrar de manera similar que${\displaystyle 3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&\equiv [x^{m}](x^{\lceil n/3\rceil }(x+1)^{\lceil (n-1)/3\rceil }(x+2)^{\lfloor n/3\rfloor }&&{\pmod {3}}\\&\equiv \sum _{k=0}^{m}{\binom {\lceil (n-1)/3\rceil }{k}}{\binom {\lfloor n/3\rfloor }{m-k-\lfloor n/3\rfloor }}2^{\lceil n/3\rceil +\lfloor n/3\rfloor -m+k}&&{\pmod {3}}\end{aligned}}}$

De manera más general, para números enteros fijos, si definimos las raíces ordenadas${\displaystyle h\geq 3}$

${\displaystyle \left(\omega _{h,i}\right)_{i=1}^{h-1}:=\left\{\omega _{j}:\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {h-1}{i}}{\frac {h!}{(i+1)!}}(-\omega _{j})^{i}=0,\ 1\leq j<h\right\},}$

entonces podemos expandir las congruencias para estos números de Stirling definidos como los coeficientes

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]=[R^{m}]R(R+1)\cdots (R+n-1),}$

en la siguiente forma donde las funciones, , denotan polinomios fijos de grado en para cada , , y :${\displaystyle p_{h,i}^{[m]}(n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]=\left(\sum _{i=0}^{h-1}p_{h,i}^{[m]}(n)\times \omega _{h,i}^{n}\right)[n>m]+[n=m]\qquad {\pmod {h}},}$

La sección 6.2 de la referencia citada anteriormente proporciona expansiones más explícitas relacionadas con estas congruencias para los números armónicos de orden y para los productos factoriales generalizados , .${\displaystyle r}$${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )}$

Se pueden derivar diversas identidades manipulando la función generadora (ver cambio de base ):

${\displaystyle H(z,u)=(1+z)^{u}=\sum _{n=0}^{\infty }{u \choose n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}s(n,k)u^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }u^{k}\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}s(n,k).}$

Usando la igualdad

${\displaystyle (1+z)^{u}=e^{u\log(1+z)}=\sum _{k=0}^{\infty }(\log(1+z))^{k}{\frac {u^{k}}{k!}},}$

resulta que

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }s(n,k){\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {(\log(1+z))^{k}}{k!}}}$

y

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left[{n \atop k}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {(-\log(1-z))^{k}}{k!}}.}$^[1]

Esta identidad es válida para series de potencias formales , y la suma converge en el plano complejo para | z | < 1.

Otras identidades surgen intercambiando el orden de suma, tomando derivadas, haciendo sustituciones para z o u , etc. Por ejemplo, podemos derivar: ^[14]

${\displaystyle {\frac {\log ^{m}(1+z)}{1+z}}=m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {s(k+1,m+1)\,z^{k}}{k!}},\qquad m=1,2,3,\ldots \quad |z|<1}$

o

${\displaystyle \sum _{n=i}^{\infty }{\frac {\left[{n \atop i}\right]}{n\,(n!)}}=\zeta (i+1),\qquad i=1,2,3,\ldots }$

y

${\displaystyle \sum _{n=i}^{\infty }{\frac {\left[{n \atop i}\right]}{n\,(v)_{n}}}=\zeta (i+1,v),\qquad i=1,2,3,\ldots \quad \Re (v)>0}$

donde y son la función zeta de Riemann y la función zeta de Hurwitz respectivamente, e incluso evaluar esta integral${\displaystyle \zeta (k)}$${\displaystyle \zeta (k,v)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log ^{z}(1-x)}{x^{k}}}\,dx={\frac {(-1)^{z}\Gamma (z+1)}{(k-1)!}}\sum _{r=1}^{k-1}s(k-1,r)\sum _{m=0}^{r}{\binom {r}{m}}(k-2)^{r-m}\zeta (z+1-m),\qquad \Re (z)>k-1,\quad k=3,4,5,\ldots }$

donde es la función gamma . También existen expresiones más complicadas para las funciones zeta que involucran los números de Stirling. Una, por ejemplo, tiene${\displaystyle \Gamma (z)}$

${\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {k!}{(s-k)_{k}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)!}}\left[{n+k \atop n}\right]\sum _{l=0}^{n+k-1}\!(-1)^{l}{\binom {n+k-1}{l}}(l+v)^{k-s},\quad k=1,2,3,\ldots }$

Esta serie generaliza la serie de Hasse para la función zeta de Hurwitz (obtenemos la serie de Hasse estableciendo k = 1). ^{[15] [16]}

Se aplica la siguiente estimación dada en términos de la constante gamma de Euler : ^[17]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n!}{k!}}\left(\gamma +\ln n\right)^{k},\ {\text{ uniformly for }}k=o(\ln n).}$

Para fijo tenemos la siguiente estimación:${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right]{\underset {k\to \infty }{\sim }}{\frac {k^{2n}}{2^{n}n!}}.}$

Es bien sabido que no conocemos ninguna fórmula de suma única para los números de Stirling de primera especie. Se puede obtener una fórmula de suma doble utilizando una de las fórmulas simétricas para los números de Stirling junto con la fórmula explícita para los números de Stirling de segunda especie .

${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=\sum _{j=n}^{2n-k}{\binom {j-1}{k-1}}{\binom {2n-k}{j}}\sum _{m=0}^{j-n}{\frac {(-1)^{m+n-k}m^{j-k}}{m!(j-n-m)!}}}$

Como se discutió anteriormente, mediante las fórmulas de Vieta , se obtiene El número de Stirling s(n,np) se puede encontrar a partir de la fórmula ^[18]$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=\sum _{0\leq i_{1}<\ldots <i_{n-k}<n}i_{1}i_{2}\cdots i_{n-k}.}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(n,n-p)&={\frac {1}{(n-p-1)!}}\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{p}:\sum _{1}^{p}mk_{m}=p}(-1)^{K}{\frac {(n+K-1)!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{p}!~2!^{k_{1}}3!^{k_{2}}\cdots (p+1)!^{k_{p}}}},\end{aligned}}}$

donde La suma es una suma sobre todas las particiones de p .${\displaystyle K=k_{1}+\cdots +k_{p}.}$

Otra expansión de suma anidada exacta para estos números de Stirling se calcula mediante polinomios simétricos elementales correspondientes a los coeficientes en de un producto de la forma . En particular, vemos que${\displaystyle x}$${\displaystyle (1+c_{1}x)\cdots (1+c_{n-1}x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{n \atop k+1}\right]&=[x^{k}](x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=(n-1)!\cdot [x^{k}](x+1)\left({\frac {x}{2}}+1\right)\cdots \left({\frac {x}{n-1}}+1\right)\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}<n}{\frac {(n-1)!}{i_{1}\cdots i_{k}}}.\end{aligned}}}$

Las identidades de Newton combinadas con las expansiones anteriores pueden usarse para dar una prueba alternativa de las expansiones ponderadas que involucran los números armónicos generalizados ya mencionados anteriormente.

La derivada n -ésima de la potencia μ -ésima del logaritmo natural involucra los números de Stirling con signo del primer tipo:

${\displaystyle {\operatorname {d} ^{n}\!(\ln x)^{\mu } \over \operatorname {d} \!x^{n}}=x^{-n}\sum _{k=1}^{n}\mu ^{\underline {k}}s(n,n-k+1)(\ln x)^{\mu -k},}$

donde es el factorial descendente , y es el número de Stirling con signo.${\displaystyle \mu ^{\underline {i}}}$${\displaystyle s(n,n-k+1)}$

Se puede demostrar mediante inducción matemática .

Los números de Stirling del primer tipo aparecen en la fórmula de los coeficientes de Gregory y en una identidad de suma finita que involucra números de Bell ^[19]

${\displaystyle n!G_{n}=\sum _{l=0}^{n}{\frac {s(n,l)}{l+1}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}k^{n-j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right]B_{n+i}(-1)^{k-i}}$

Las series infinitas que involucran sumas finitas con los números de Stirling a menudo conducen a funciones especiales. Por ejemplo, ^{[14] [20]}

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\!\sum _{l=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\!{\frac {(-1)^{l}(2l)!}{(2\pi z)^{2l+1}}}\left[{n \atop 2l+1}\right]}$

y

${\displaystyle \Psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{\pi z}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\!\sum _{l=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\!{\frac {(-1)^{l}(2l+1)!}{(2\pi z)^{2l+1}}}\left[{n \atop 2l+1}\right]}$

o incluso

${\displaystyle \gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+{\frac {(-1)^{m}m!}{\pi }}\!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\!\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}}{(2\pi )^{2k+1}}}\left[{2k+2 \atop m+1}\right]\left[{n \atop 2k+1}\right]\,}$

donde γ _m son las constantes de Stieltjes y δ _{m ,0} representa la función delta de Kronecker .

Nótese que esta última identidad implica inmediatamente relaciones entre las funciones polilogarítmicas , las funciones generadoras exponenciales del número de Stirling dadas anteriormente y las series de potencia basadas en el número de Stirling para las funciones polilogarítmicas de Nielsen generalizadas.

Existen muchas nociones de números de Stirling generalizados que pueden definirse (según la aplicación) en varios contextos combinatorios diferentes. En la medida en que los números de Stirling del primer tipo corresponden a los coeficientes de las distintas expansiones polinómicas de la función factorial única , , podemos extender esta noción para definir relaciones de recurrencia triangular para clases más generales de productos.${\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}$

En particular, para cualquier función aritmética fija y parámetros simbólicos , productos factoriales generalizados relacionados de la forma${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle x,t}$

${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$

puede estudiarse desde el punto de vista de las clases de números de Stirling generalizados de primer tipo definidos por los siguientes coeficientes de las potencias de en las expansiones de y luego por la siguiente relación de recurrencia triangular correspondiente:${\displaystyle x}$${\displaystyle (x)_{n,f,t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$

Estos coeficientes satisfacen una serie de propiedades análogas a las de los números de Stirling de primer tipo, así como relaciones de recurrencia y ecuaciones funcionales relacionadas con los números f-armónicos , . ^[21]${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r}}$

Un caso especial de estos coeficientes entre corchetes correspondientes a nos permite expandir las funciones factoriales múltiples, o multifactoriales , como polinomios en . ^[22]${\displaystyle t\equiv 1}$${\displaystyle n}$

Los números de Stirling de ambos tipos, los coeficientes binomiales y los números eulerianos de primer y segundo orden están todos definidos por casos especiales de una superrecurrencia triangular de la forma

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right|=(\alpha n+\beta k+\gamma )\left|{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right|+(\alpha ^{\prime }n+\beta ^{\prime }k+\gamma ^{\prime })\left|{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right|+\delta _{n,0}\delta _{k,0},}$

para números enteros y donde siempre que o . En este sentido, la forma de los números de Stirling de primera especie también puede generalizarse mediante esta superrecurrencia parametrizada para escalares fijos (no todos cero).${\displaystyle n,k\geq 0}$${\displaystyle \left|{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right|\equiv 0}$${\displaystyle n<0}$${\displaystyle k<0}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ^{\prime },\beta ^{\prime },\gamma ^{\prime }}$

• Números de Stirling
• Números de Stirling del segundo tipo
• Polinomios de Stirling
• Estadísticas de permutación aleatoria

• El arte de la programación informática
• Matemáticas concretas
• M. Abramowitz, I. Stegun, ed. (1972). "§24.1.3. Números de Stirling del primer tipo". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas (novena edición). Nueva York: Dover. pág. 824.
• Números de Stirling del primer tipo, s(n,k) en PlanetMath ..
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A008275 (Triángulo leído por filas de números de Stirling de primera especie)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.