Cuaternión dividido

En álgebra abstracta , los cuaterniones desdoblados o cocuaterniones forman una estructura algebraica introducida por James Cockle en 1849 bajo este último nombre. Forman un álgebra asociativa de dimensión cuatro sobre los números reales .

Tras la introducción en el siglo XX de definiciones de anillos y álgebras sin coordenadas , se demostró que el álgebra de cuaterniones divididos es isomorfa al anillo de matrices reales 2×2 . Por lo tanto, el estudio de los cuaterniones divididos se puede reducir al estudio de matrices reales, y esto puede explicar por qué hay pocas menciones de cuaterniones divididos en la literatura matemática de los siglos XX y XXI.

Los cuaterniones divididos son las combinaciones lineales (con coeficientes reales) de cuatro elementos base 1, i, j, k que satisfacen las siguientes reglas del producto:

yo ² = −1 ,

j ² = 1 ,

k2 = ¹ ,

ij = k = −ji .

Por asociatividad , estas relaciones implican

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

y además ijk = 1 .

Por lo tanto, los cuaterniones divididos forman un espacio vectorial real de dimensión cuatro con {1, i, j, k} como base . Forman también un anillo no conmutativo , al extender las reglas de producto anteriores por distributividad a todos los cuaterniones divididos.

Consideremos las matrices cuadradas

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Satisfacen la misma tabla de multiplicación que los cuaterniones divididos correspondientes. Como estas matrices forman una base de las matrices de dos por dos, la función lineal única que asigna 1, i, j, k a (respectivamente) induce un isomorfismo algebraico de los cuaterniones divididos a las matrices reales de dos por dos. ${\displaystyle {\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}$

Las reglas de multiplicación anteriores implican que los ocho elementos 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k forman un grupo bajo esta multiplicación, que es isomorfo al grupo diedro D ₄ , el grupo de simetría de un cuadrado . De hecho, si se considera un cuadrado cuyos vértices son los puntos cuyas coordenadas son 0 o 1 , la matriz es la rotación en el sentido de las agujas del reloj del cuarto de vuelta, es la simetría alrededor de la primera diagonal y es la simetría alrededor del eje x .${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$

Al igual que los cuaterniones introducidos por Hamilton en 1843, forman un álgebra asociativa real de cuatro dimensiones . Pero al igual que el álgebra real de matrices 2×2, y a diferencia del álgebra real de cuaterniones, los cuaterniones divididos contienen divisores de cero no triviales , elementos nilpotentes e idempotentes . (Por ejemplo, ⁠1/2⁠ (1 + j) es un divisor de cero idempotente, y i − j es nilpotente.) Como álgebra sobre los números reales , el álgebra de cuaterniones divididos es isomorfa al álgebra de matrices reales 2×2 por el isomorfismo definido anteriormente.

Este isomorfismo permite identificar cada cuaternión dividido con una matriz 2×2. Por lo tanto, cada propiedad de los cuaterniones divididos corresponde a una propiedad similar de las matrices, que a menudo se denomina de forma diferente.

El conjugado de un cuaternión desdoblado q = w + x i + y j + z k , es q ^∗ = w − x i − y j − z k . En términos de matrices, el conjugado es la matriz de cofactores obtenida al intercambiar las entradas diagonales y cambiar el signo de las otras dos entradas.

El producto de un cuaternión dividido con su conjugado es la forma cuadrática isótropa :

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

que se llama la norma del cuaternión dividido o el determinante de la matriz asociada.

La parte real de un cuaternión dividido q = w + x i + y j + z k es w = ( q ^∗ + q )/2 . Es igual a la traza de la matriz asociada.

La norma de un producto de dos cuaterniones divididos es el producto de sus normas. De manera equivalente, el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes. Esta propiedad significa que los cuaterniones divididos forman un álgebra de composición . Como hay cuaterniones divididos distintos de cero que tienen una norma cero, los cuaterniones divididos forman un "álgebra de composición dividida", de ahí su nombre.

Un cuaternión escindido con una norma distinta de cero tiene un inverso multiplicativo , es decir q ^∗ / N ( q ) . En términos de matrices, esto es equivalente a la regla de Cramer que afirma que una matriz es invertible si y solo su determinante es distinto de cero y, en este caso, la inversa de la matriz es el cociente de la matriz cofactor por el determinante.

El isomorfismo entre cuaterniones divididos y matrices reales 2×2 muestra que el grupo multiplicativo de cuaterniones divididos con una norma distinta de cero es isomorfo con y el grupo de cuaterniones divididos de norma 1 es isomorfo con${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).}$

Geométricamente, los cuaterniones desdoblados pueden compararse con los cuaterniones de Hamilton como lápices de planos . En ambos casos, los números reales forman el eje de un lápiz. En los cuaterniones de Hamilton hay una esfera de unidades imaginarias, y cualquier par de unidades imaginarias antípodas genera un plano complejo con la línea real. Para los cuaterniones desdoblados hay hiperboloides de unidades hiperbólicas e imaginarias que generan planos complejos desdoblados o planos complejos ordinarios, como se describe más adelante en § Estratificación.

Existe una representación de los cuaterniones divididos como una subálgebra asociativa unitaria de las matrices 2×2 con entradas complejas . Esta representación se puede definir mediante el homomorfismo algebraico que asigna un cuaternión dividido w + x i + y j + z k a la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.}$

Aquí, i ( cursiva ) es la unidad imaginaria , que no debe confundirse con el elemento base del cuaternión dividido i ( romana vertical ).

La imagen de este homomorfismo es el anillo matricial formado por las matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

donde el superíndice denota un conjugado complejo .${\displaystyle ^{*}}$

Este homomorfismo asigna respectivamente los cuaterniones divididos i, j, k en las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

La prueba de que esta representación es un homomorfismo algebraico es sencilla pero requiere algunos cálculos aburridos, que pueden evitarse partiendo de la expresión de los cuaterniones divididos como matrices reales 2×2 y utilizando la similitud de matrices . Sea S la matriz

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.}$

Luego, aplicado a la representación de cuaterniones divididos como matrices reales 2×2 , el homomorfismo algebraico anterior es la similitud de matrices.

${\displaystyle M\mapsto S^{-1}MS.}$

Se deduce casi inmediatamente que, para un cuaternión dividido representado como una matriz compleja, el conjugado es la matriz de los cofactores y la norma es el determinante.

Con la representación de los cuaterniones divididos como matrices complejas, las matrices de cuaterniones de norma 1 son exactamente los elementos del grupo unitario especial SU(1,1) . Esto se utiliza en geometría hiperbólica para describir los movimientos hiperbólicos del modelo de disco de Poincaré . ^[1]

Los cuaterniones divididos se pueden generar mediante una construcción de Cayley-Dickson modificada ^[2] similar al método de LE Dickson y Adrian Albert para las álgebras de división C , H y O . La regla de multiplicación se utiliza al producir el producto duplicado en los casos de división real. El conjugado duplicado de modo que Si a y b son números complejos divididos y cuaterniones divididos$${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$$${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$$${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$$${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

entonces$${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$$

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En esta sección se estudian y clasifican las subálgebras reales generadas por un único cuaternión dividido.

Sea p = w + x i + y j + z k un cuaternión desdoblado. Su parte real es w = ⁠1/2⁠ ( p + p ^* ) . Sea q = p – w = ⁠1/2⁠ ( p – p ^* ) sea su parte no real . Se tiene q ^* = – q , y por lo tantose deduce que p ² es un número real si y solo p es un número real ( q = 0 y p = w ) o un cuaternión dividido puramente no real ( w = 0 y p = q ).${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).}$

La estructura del subálgebra generada por p se deduce de manera sencilla. Se tiene ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$

${\displaystyle \mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},}$

y esta es un álgebra conmutativa . Su dimensión es dos excepto si p es real (en este caso, la subálgebra es simplemente ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los elementos no reales cuyo cuadrado es real tienen la forma aq con${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

Se deben considerar tres casos, que se detallan en las siguientes subsecciones.

Con la notación anterior, si (es decir, si q es nilpotente ), entonces N ( q ) = 0 , es decir, Esto implica que existen w y t en tales que 0 ≤ t < 2 π y${\displaystyle q^{2}=0,}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .}$

Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real es nilpotente.

Esta es también una parametrización de estas subálgebras por los puntos de un círculo: los cuaterniones divididos de la forma forman un círculo ; una subálgebra generada por un elemento nilpotente contiene exactamente un punto del círculo; y el círculo no contiene ningún otro punto. ${\displaystyle \mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k} }$

El álgebra generada por un elemento nilpotente es isomorfa a y al plano de números duales .${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle }$

Este es el caso donde N ( q ) > 0 . Dejando uno tiene${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

De ello se deduce que1/norte⁠ q pertenece al hiperboloide de dos láminas de ecuaciónPor lo tanto, existen números reales n , t , u tales que 0 ≤ t < 2 π y ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real tiene una norma positiva.

Esta es también una parametrización de las subálgebras correspondientes por los pares de puntos opuestos de un hiperboloide de dos láminas: los cuaterniones divididos de la forma forman un hiperboloide de dos láminas; una subálgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma positiva contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide, uno en cada lámina; y el hiperboloide no contiene ningún otro punto.${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma positiva es isomorfa a y al cuerpo de números complejos .${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Este es el caso donde N ( q ) < 0 . Dejando uno tiene${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

De ello se deduce que1/norte⁠ q pertenece al hiperboloide de una hoja de ecuación y ² + z ² − x ² = 1 . Por lo tanto, hay números reales n , t , u tales que 0 ≤ t < 2 π y

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real tiene una norma negativa.

Esta es también una parametrización de las subálgebras correspondientes por los pares de puntos opuestos de un hiperboloide de una hoja: los cuaterniones divididos de la forma forman un hiperboloide de una hoja; una subálgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma negativa contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide; y el hiperboloide no contiene ningún otro punto.${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma negativa es isomorfa a y al anillo de números complejos divididos . También es isomorfa (como álgebra) a por la función definida por${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

Como se ve arriba, los cuaterniones divididos puramente no reales de norma -1, 1 y 0 forman respectivamente un hiperboloide de una lámina, un hiperboloide de dos láminas y un cono circular en el espacio de cuaterniones no reales.

Estas superficies son asíntotas por pares y no se intersecan. Su complemento consta de seis regiones conectadas:

• las dos regiones ubicadas en el lado cóncavo del hiperboloide de dos láminas, donde${\displaystyle N(q)>1}$
• las dos regiones entre el hiperboloide de dos láminas y el cono, donde${\displaystyle 0<N(q)<1}$
• la región entre el cono y el hiperboloide de una hoja donde${\displaystyle -1<N(q)<0}$
• la región exterior del hiperboloide de una hoja, donde${\displaystyle N(q)<-1}$

Esta estratificación se puede refinar considerando cuaterniones desdoblados de una norma fija: para cada número real n ≠ 0, los cuaterniones desdoblados puramente irreales de norma n forman un hiperboloide. Todos estos hiperboloides son asíntotas al cono anterior, y ninguna de estas superficies interseca a ninguna otra. Como el conjunto de los cuaterniones desdoblados puramente irreales es la unión disjunta de estas superficies, esto proporciona la estratificación deseada.

Los cuaterniones divididos se han aplicado al equilibrio cromático ^[3] . El modelo hace referencia al álgebra de Jordan de matrices simétricas que representan el álgebra. El modelo concilia la tricromacia con la oponencia de Hering y utiliza el modelo de Cayley-Klein de geometría hiperbólica para las distancias cromáticas.

Los cocuaterniones fueron introducidos inicialmente (con ese nombre) ^[4] en 1849 por James Cockle en la revista filosófica London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine . Los artículos introductorios de Cockle fueron recordados en la Bibliografía de 1904 ^[5] de la Quaternion Society .

Alexander Macfarlane llamó a la estructura de los vectores cuaterniones divididos un sistema exesférico cuando habló en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. ^[6] Macfarlane consideró la "contraparte hiperboloide del análisis esférico" en un artículo de 1910 "Unificación y desarrollo de los principios del álgebra del espacio" en el Boletín de la Sociedad del Cuaternión . ^[7]

La esfera unitaria fue considerada en 1910 por Hans Beck. ^[8] Por ejemplo, el grupo diedro aparece en la página 419. La estructura de cuaternión dividido también se ha mencionado brevemente en los Anales de Matemáticas . ^{[9] [10]}

• Para-cuaterniones (Ivanov y Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) Las variedades con estructuras para-cuaterniónicas se estudian en geometría diferencial y teoría de cuerdas . En la literatura para-cuaterniónica, k se reemplaza por −k .
• Sistema exesférico (Macfarlane 1900)
• Cuaterniones divididos (Rosenfeld 1988) ^[11]
• Anticuaterniones (Rosenfeld 1988)
• Pseudocuaterniones (Yaglom 1968 ^[12] Rosenfeld 1988)

• Matrices de Pauli
• Biquaterniones divididos
• Octoniones divididos
• Cuaterniones duales

• Brody, Dorje C. y Eva-Maria Graefe . "Sobre mecánica compleja y cocuaterniones". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi :10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Variedades parahermíticas y paracuaterniónicas", Geometría diferencial y sus aplicaciones 23 , págs. 205–234, arXiv :math.DG/0310415, MR 2158044.
• Mohaupt, Thomas (2006), "Nuevos desarrollos en geometría especial", arXiv :hep-th/0602171.
• Özdemir, M. (2009) "Las raíces de un cuaternión dividido", Applied Mathematics Letters 22:258–63. [1]
• Özdemir, M. y AA Ergin (2006) "Rotaciones con cuaterniones temporales en el espacio tridimensional de Minkowski", Journal of Geometry and Physics 56: 322–36.[2]
• Pogoruy, Anatoliy y Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Algunas propiedades algebraicas y analíticas del álgebra de cocuaterniones, Avances en álgebras de Clifford aplicadas .