Grupo sofic
En matemáticas , un grupo sófico es un grupo cuyo grafo de Cayley es un grafo inicialmente subamenable , o equivalentemente un subgrupo de un ultraproducto de grupos simétricos de rango finito tales que cada dos elementos del grupo tienen distancia 1. [1] Fueron introducidos por Gromov (1999) como una generalización común de grupos amenables y residualmente finitos . El nombre "sófico", de la palabra hebrea סופי que significa "finito", fue aplicado posteriormente por Weiss (2000), siguiendo el uso anterior de Weiss de la misma palabra para indicar una generalización de finitud en subdesplazamientos sóficos .
La clase de grupos sóficos está cerrada bajo las operaciones de toma de subgrupos, extensiones por grupos amenables y productos libres . Un grupo finitamente generado es sófico si es el límite de una secuencia de grupos sóficos. El límite de una secuencia de grupos amenables (es decir, un grupo inicialmente subamenable) es necesariamente sófico, pero existen grupos sóficos que no son grupos inicialmente subamenables. [2]
Como Gromov demostró, los grupos sóficos son sobreyectivos . [1] Es decir, obedecen a una forma del teorema del Jardín del Edén para autómatas celulares definidos sobre el grupo ( sistemas dinámicos cuyos estados son aplicaciones del grupo a un conjunto finito y cuyas transiciones de estado son invariantes a la traslación y continuas ) que establece que todo autómata inyectivo es sobreyectivo y, por lo tanto, también reversible . [3]
Notas
- ^ ab Ceccherini-Silberstein y Coornaert (2010) p. 276
- ^ Cornulier (2011).
- ^ Ceccherini-Silberstein y Coornaert (2010) pág. 56
Referencias
- Ceccherini-Silberstein, Tullio; Coornaert, Michel (2010), Autómatas celulares y grupos , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-14034-1, ISBN 978-3-642-14033-4, MR 2683112, Zbl 1218.37004.
- Cornulier, Yves (2011), "Un grupo sofic alejado de los grupos amigables", Mathematische Annalen , 350 (2): 269–275, arXiv : 0906.3374 , doi :10.1007/s00208-010-0557-8, MR 2794910, S2CID 12966793 , Zbl 1247.20039.
- Gromov, M. (1999), "Endomorfismos de variedades algebraicas simbólicas", Journal of the European Mathematical Society , 1 (2): 109–197, doi : 10.1007/PL00011162 , MR 1694588, Zbl 0998.14001.
- Weiss, Benjamin (2000), "Grupos sóficos y sistemas dinámicos" (PDF) , Sankhyā , Serie A, 62 (3): 350–359, MR 1803462, Zbl 1148.37302.
