Espacio Sobolev

En matemáticas , un espacio de Sobolev es un espacio vectorial de funciones dotado de una norma que es una combinación de L ^p -normas de la función junto con sus derivadas hasta un orden dado. Las derivadas se entienden en un sentido débil adecuado para hacer que el espacio sea completo , es decir, un espacio de Banach . Intuitivamente, un espacio de Sobolev es un espacio de funciones que posee suficientes derivadas para algún dominio de aplicación, como ecuaciones diferenciales parciales , y dotado de una norma que mide tanto el tamaño como la regularidad de una función.

Los espacios de Sobolev reciben su nombre del matemático ruso Sergei Sobolev . Su importancia se debe a que existen soluciones débiles de algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes en espacios de Sobolev apropiados, incluso cuando no existen soluciones fuertes en espacios de funciones continuas con las derivadas entendidas en el sentido clásico.

En esta sección y a lo largo del artículo hay un subconjunto abierto de${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Existen muchos criterios para la suavidad de las funciones matemáticas . El criterio más básico puede ser el de continuidad . Una noción más fuerte de suavidad es la de diferenciabilidad (porque las funciones que son diferenciables también son continuas) y una noción aún más fuerte de suavidad es que la derivada también sea continua (se dice que estas funciones son de clase —ver Clases de diferenciabilidad ). Las funciones diferenciables son importantes en muchas áreas, y en particular para las ecuaciones diferenciales . Sin embargo, en el siglo XX se observó que el espacio (o , etc.) no era exactamente el espacio adecuado para estudiar soluciones de ecuaciones diferenciales. Los espacios de Sobolev son el reemplazo moderno de estos espacios en los que buscar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales.${\estilo de visualización C^{1}}$${\estilo de visualización C^{1}}$${\estilo de visualización C^{2}}$

Las cantidades o propiedades del modelo subyacente de la ecuación diferencial se expresan habitualmente en términos de normas integrales. Un ejemplo típico es la medición de la energía de una distribución de temperatura o velocidad mediante una norma α. Por lo tanto, es importante desarrollar una herramienta para diferenciar funciones del espacio de Lebesgue .$Estilo de visualización L2$

La fórmula de integración por partes da como resultado que para cada , donde es un número natural , y para todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto${\displaystyle u\en C^{k}(\Omega)}$${\estilo de visualización k}$ ${\displaystyle \varphi \en C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D ^{\alpha \!}u\,dx,}$

donde es un multiíndice de orden y estamos usando la notación:${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle |\alpha |=k}$

${\displaystyle D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\puntos \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

El lado izquierdo de esta ecuación todavía tiene sentido si sólo asumimos que es localmente integrable . Si existe una función localmente integrable , tal que${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización v}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,v\;dx\qquad {\text{para todos }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

entonces llamamos a la derivada parcial débil -ésima de . Si existe una derivada parcial débil -ésima de , entonces está definida de forma única casi en todas partes , y por lo tanto está determinada de forma única como un elemento de un espacio de Lebesgue . Por otro lado, si , entonces la derivada clásica y la débil coinciden. Por lo tanto, si es una derivada parcial débil -ésima de , podemos denotarla por .${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización u}$${\displaystyle u\en C^{k}(\Omega)}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización u}$${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$

Por ejemplo, la función

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

no es continua en cero y no es diferenciable en −1, 0 o 1. Sin embargo, la función

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

satisface la definición de ser la derivada débil de la cual entonces califica como estar en el espacio de Sobolev (para cualquier permitido , vea la definición a continuación).${\displaystyle u(x),}$${\displaystyle W^{1,p}}$${\displaystyle p}$

Los espacios de Sobolev combinan los conceptos de diferenciabilidad débil y normas de Lebesgue .${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

En el caso unidimensional, el espacio de Sobolev para se define como el subconjunto de funciones en tales que y sus derivadas débiles hasta el orden tienen una norma L ^p finita . Como se mencionó anteriormente, se debe tener cierto cuidado para definir las derivadas en el sentido apropiado. En el problema unidimensional, es suficiente suponer que la derivada -ésima es diferenciable casi en todas partes y es igual casi en todas partes a la integral de Lebesgue de su derivada (esto excluye ejemplos irrelevantes como la función de Cantor ).${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k{-}1)}$${\displaystyle f^{(k-1)}}$

Con esta definición, los espacios de Sobolev admiten una norma natural ,

${\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Se puede extender esto al caso , con la norma entonces definida usando el supremo esencial por${\displaystyle p=\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).}$

Equipado con la norma se convierte en un espacio de Banach . Resulta que basta con tomar solo el primero y el último de la secuencia, es decir, la norma definida por${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}$

${\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}}$

es equivalente a la norma anterior (es decir, las topologías inducidas de las normas son las mismas).

Los espacios de Sobolev con p = 2 son especialmente importantes debido a su conexión con las series de Fourier y porque forman un espacio de Hilbert . Ha surgido una notación especial para cubrir este caso, ya que el espacio es un espacio de Hilbert:

${\displaystyle H^{k}=W^{k,2}.}$

El espacio puede definirse naturalmente en términos de series de Fourier cuyos coeficientes decaen con suficiente rapidez, es decir,${\displaystyle H^{k}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} )={\Big \{}f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty {\Big \}},}$

donde es la serie de Fourier de y denota el 1-toro. Como arriba, se puede usar la norma equivalente${\displaystyle {\widehat {f}}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.}$

Ambas representaciones se derivan fácilmente del teorema de Parseval y del hecho de que la diferenciación es equivalente a multiplicar el coeficiente de Fourier por .${\displaystyle in}$

Además, el espacio admite un producto interno , como el espacio De hecho, el producto interno se define en términos del producto interno:${\displaystyle H^{k}}$${\displaystyle H^{0}=L^{2}.}$${\displaystyle H^{k}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.}$

El espacio se convierte en un espacio de Hilbert con este producto interno.${\displaystyle H^{k}}$

En una dimensión, algunos otros espacios de Sobolev permiten una descripción más sencilla. Por ejemplo, es el espacio de funciones absolutamente continuas en (0, 1) (o más bien, clases de equivalencia de funciones que son iguales casi en todas partes a tales), mientras que es el espacio de funciones de Lipschitz acotadas en I , para cada intervalo I . Sin embargo, estas propiedades se pierden o no son tan sencillas para funciones de más de una variable.${\displaystyle W^{1,1}(0,1)}$${\displaystyle W^{1,\infty }(I)}$

Todos los espacios son álgebras (normadas) , es decir, el producto de dos elementos es una vez más una función de este espacio de Sobolev, lo que no es el caso para (por ejemplo, las funciones que se comportan como | x | ^−1/3 en el origen están en pero el producto de dos de esas funciones no está en ).${\displaystyle W^{k,\infty }}$${\displaystyle p<\infty .}$${\displaystyle L^{2},}$${\displaystyle L^{2}}$

La transición a múltiples dimensiones trae consigo más dificultades, empezando por la propia definición. El requisito de que sea la integral de no es generalizable, y la solución más sencilla es considerar las derivadas en el sentido de la teoría de la distribución .${\displaystyle f^{(k-1)}}$${\displaystyle f^{(k)}}$

Ahora se da una definición formal. El espacio de Sobolev se define como el conjunto de todas las funciones en tales que para cada índice múltiple con la derivada parcial mixta${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}$

${\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

existe en el sentido débil y está en ie${\displaystyle L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .}$

Es decir, el espacio de Sobolev se define como${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.}$

El número natural se llama orden del espacio de Sobolev.${\displaystyle k}$${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

Existen varias opciones para una norma, las dos siguientes son comunes y son equivalentes en el sentido de equivalencia de normas :${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}$

Con respecto a cualquiera de estas normas, es un espacio de Banach. Para es también un espacio separable . Es convencional denotar por para es un espacio de Hilbert con la norma . ^[1]${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$

Es bastante difícil trabajar con espacios de Sobolev basándose únicamente en su definición. Por lo tanto, es interesante saber que, mediante el teorema de Meyers-Serrin, una función puede aproximarse mediante funciones suaves . Este hecho a menudo nos permite traducir las propiedades de las funciones suaves a funciones de Sobolev. Si es finito y es abierto, entonces existe para cualquier una secuencia de funciones que se aproxima de manera que:${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )}$

${\displaystyle \left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.}$

Si tiene un límite de Lipschitz , podemos incluso suponer que son la restricción de funciones suaves con soporte compacto en todos los ^[2]${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u_{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

En dimensiones superiores, ya no es cierto que, por ejemplo, contiene solo funciones continuas. Por ejemplo, donde es la bola unitaria en tres dimensiones. Para , el espacio contendrá solo funciones continuas, pero para lo cual esto ya es cierto depende tanto de como de la dimensión. Por ejemplo, como se puede comprobar fácilmente utilizando coordenadas polares esféricas para la función definida en la bola n -dimensional tenemos:${\displaystyle W^{1,1}}$${\displaystyle |x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})}$${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$${\displaystyle k>n/p}$${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.}$

Intuitivamente, la explosión de f en 0 "cuenta menos" cuando n es grande, ya que la bola unitaria tiene "más exterior y menos interior" en dimensiones superiores.

Sea Si una función está en entonces, posiblemente después de modificar la función en un conjunto de medida cero, la restricción a casi toda línea paralela a las direcciones de coordenadas en es absolutamente continua ; más aún, la derivada clásica a lo largo de las líneas que son paralelas a las direcciones de coordenadas están en Inversamente, si la restricción de a casi toda línea paralela a las direcciones de coordenadas es absolutamente continua, entonces el gradiente puntual existe casi en todas partes , y está en siempre que En particular, en este caso las derivadas parciales débiles de y las derivadas parciales puntuales de concuerden casi en todas partes. La caracterización ACL de los espacios de Sobolev fue establecida por Otto M. Nikodym (1933); ver (Maz'ya 2011, §1.1.3).${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ),}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L^{p}(\Omega ).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Un resultado más sólido se obtiene cuando una función en es, después de modificar en un conjunto de medida cero, continua de Hölder de exponente por la desigualdad de Morrey . En particular, si y tiene frontera de Lipschitz, entonces la función es continua de Lipschitz .${\displaystyle p>n.}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}},}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle \Omega }$

El espacio de Sobolev también se denota por Es un espacio de Hilbert, con un subespacio importante definido como el cierre de las funciones infinitamente diferenciables soportadas de forma compacta en La norma de Sobolev definida anteriormente se reduce aquí a${\displaystyle W^{1,2}(\Omega )}$${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.}$

Cuando tiene un límite regular, se puede describir como el espacio de funciones en que se anulan en el límite, en el sentido de trazas (ver más abajo). Cuando si es un intervalo acotado, entonces consta de funciones continuas en la forma${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle H^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle \Omega =(a,b)}$${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b)}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]}$

donde la derivada generalizada está en y tiene integral 0, de modo que${\displaystyle f'}$${\displaystyle L^{2}(a,b)}$${\displaystyle f(b)=f(a)=0.}$

Cuando está acotada, la desigualdad de Poincaré establece que existe una constante tal que:${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C=C(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

Cuando es acotada, la inyección de a es compacta . Este hecho juega un papel en el estudio del problema de Dirichlet y en el hecho de que existe una base ortonormal de que consiste en vectores propios del operador de Laplace (con condición de contorno de Dirichlet ).${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle L^{2}\!(\Omega ),}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

Los espacios de Sobolev se consideran a menudo al investigar ecuaciones diferenciales parciales. Es esencial considerar los valores de contorno de las funciones de Sobolev. Si , esos valores de contorno se describen mediante la restricción Sin embargo, no está claro cómo describir los valores en el contorno para ya que la medida n -dimensional del contorno es cero. El siguiente teorema ^[2] resuelve el problema:${\displaystyle u\in C(\Omega )}$${\displaystyle u|_{\partial \Omega }.}$${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega ),}$

Tu se denomina traza de u . En términos generales, este teorema extiende el operador de restricción al espacio de Sobolev para Ω con buen comportamiento. Nótese que el operador de traza T en general no es sobreyectivo, pero para 1 < p < ∞ se aplica continuamente al espacio de Sobolev–Slobodeckij${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).}$

Intuitivamente, tomar la traza cuesta 1/ p de una derivada. Las funciones u en W ^1,p (Ω) con traza cero, es decir Tu  = 0, se pueden caracterizar por la igualdad

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},}$

dónde

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.}$

En otras palabras, para Ω acotado con el límite de Lipschitz, las funciones de traza cero en pueden aproximarse mediante funciones suaves con soporte compacto.${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$

Para un número natural k y 1 < p < ∞ se puede demostrar (utilizando multiplicadores de Fourier ^{[3] [4]} ) que el espacio se puede definir de manera equivalente como${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},}$

con la norma

${\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Esto motiva espacios de Sobolev con orden no entero ya que en la definición anterior podemos reemplazar k por cualquier número real s . Los espacios resultantes

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}$

Se denominan espacios potenciales de Bessel ^[5] (en honor a Friedrich Bessel ). Son espacios de Banach en general y espacios de Hilbert en el caso especial p = 2.

Porque es el conjunto de restricciones de funciones de a Ω dotadas de la norma${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )}$${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.}$

Nuevamente, H ^s,p (Ω) es un espacio de Banach y en el caso p = 2 un espacio de Hilbert.

Utilizando teoremas de extensión para espacios de Sobolev, se puede demostrar que también W ^k,p (Ω) = H ^k,p (Ω) se cumple en el sentido de normas equivalentes, si Ω es un dominio con un límite uniforme C ^k , k un número natural y 1 < p < ∞ . Por las incrustaciones

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

Los espacios potenciales de Bessel forman una escala continua entre los espacios de Sobolev Desde un punto de vista abstracto, los espacios potenciales de Bessel se presentan como espacios de interpolación complejos de espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes se cumple que${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

dónde:

${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}$

Otro enfoque para definir espacios de Sobolev de orden fraccionario surge de la idea de generalizar la condición de Hölder al entorno L ^p . ^[6] Para y la seminorma de Slobodeckij (aproximadamente análoga a la seminorma de Hölder) se define por${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Sea s > 0 un conjunto distinto de un entero y . Utilizando la misma idea que para los espacios de Hölder , el espacio de Sobolev–Slobodeckij ^[7] se define como${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.}$

Es un espacio Banach para la norma.

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}$

Si es adecuadamente regular en el sentido de que existen ciertos operadores de extensión, entonces también los espacios de Sobolev-Slobodeckij forman una escala de espacios de Banach, es decir, uno tiene las inyecciones o incrustaciones continuas.${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

Hay ejemplos de Ω irregulares tales que ni siquiera es un subespacio vectorial de para 0 < s < 1 (ver Ejemplo 9.1 de ^[8] )${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

Desde un punto de vista abstracto, los espacios coinciden con los espacios de interpolación reales de los espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes se cumple lo siguiente:${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .}$

Los espacios de Sobolev-Slobodeckij desempeñan un papel importante en el estudio de las trazas de las funciones de Sobolev. Son casos especiales de los espacios de Besov . ^[4]

La constante que surge en la caracterización del espacio fraccionario de Sobolev se puede caracterizar a través de la fórmula de Bourgain-Brezis-Mironescu:${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle \lim _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy={\frac {2\pi ^{\frac {n-1}{2}}\Gamma ({\frac {p+1}{2}})}{p\Gamma ({\frac {p+n}{2}})}}\int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p};}$

y la condición

${\displaystyle \limsup _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy<\infty }$

caracteriza aquellas funciones de que están en el espacio de Sobolev de primer orden . ^[9]${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$

Si es un dominio cuyo límite no se comporta demasiado mal (por ejemplo, si su límite es una variedad o satisface la " condición de cono " más permisiva), entonces hay un operador A que mapea funciones de a funciones de tal que:${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

1. Au ( x ) = u ( x ) para casi cada x en y${\displaystyle \Omega }$
2. ${\displaystyle A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$es continua para cualquier 1 ≤ p ≤ ∞ y entero k .

Llamaremos a dicho operador A un operador de extensión para${\displaystyle \Omega .}$

Los operadores de extensión son la forma más natural de definir para números no enteros (no podemos trabajar directamente con ellos ya que la transformación de Fourier es una operación global). Definimos diciendo que si y solo si De manera equivalente, la interpolación compleja produce los mismos espacios siempre que tenga un operador de extensión. Si no tiene un operador de extensión, la interpolación compleja es la única forma de obtener los espacios.${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).}$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$

Como resultado, la desigualdad de interpolación todavía se mantiene.

Como se indicó anteriormente, definimos como la clausura del espacio de funciones con soporte compacto infinitamente diferenciables. Dada la definición de traza, anterior, podemos afirmar lo siguiente${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$

Si podemos definir su extensión por cero de la forma natural, es decir${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

Para f ∈ L ^p (Ω) su extensión por cero,

${\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$

es un elemento de Además,${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

En el caso del espacio de Sobolev W ^1,p (Ω) para 1 ≤ p ≤ ∞ , extender una función u por cero no necesariamente producirá un elemento de Pero si Ω está acotado con el límite de Lipschitz (por ejemplo, ∂Ω es C ¹ ), entonces para cualquier conjunto abierto acotado O tal que Ω⊂⊂O (es decir, Ω está contenido de forma compacta en O), existe un operador lineal acotado ^[2]${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

de modo que para cada ae en Ω, Eu tiene soporte compacto dentro de O, y existe una constante C que depende sólo de p , Ω, O y la dimensión n , de modo que${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}$

${\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

Llamamos a una extensión de a${\displaystyle Eu}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Es natural preguntarse si una función de Sobolev es continua o incluso continuamente diferenciable. En términos generales, una cantidad suficiente de derivadas débiles (es decir, un valor k grande ) da como resultado una derivada clásica. Esta idea se generaliza y se precisa en el teorema de incrustación de Sobolev .

Escriba para el espacio de Sobolev de alguna variedad compacta de Riemann de dimensión n . Aquí k puede ser cualquier número real y 1 ≤  p  ≤ ∞. (Para p  = ∞, el espacio de Sobolev se define como el espacio de Hölder C ^{n ,α} donde k  =  n  + α y 0 < α ≤ 1.) El teorema de incrustación de Sobolev establece que si y entonces${\displaystyle W^{k,p}}$${\displaystyle W^{k,\infty }}$ ${\displaystyle k\geqslant m}$${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}}$

${\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}}$

y la incrustación es continua. Además, si y entonces la incrustación es completamente continua (esto a veces se llama teorema de Kondrachov o teorema de Rellich-Kondrachov ). Las funciones en tienen todas las derivadas de orden menor que m continuas, por lo que en particular esto da condiciones en los espacios de Sobolev para que varias derivadas sean continuas. De manera informal, estas incrustaciones dicen que convertir una estimación de L ^p en una estimación de acotación cuesta 1/ p derivadas por dimensión.${\displaystyle k>m}$${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}}$${\displaystyle W^{m,\infty }}$

Existen variaciones similares del teorema de incrustación para variedades no compactas, como (Stein 1970). Las incrustaciones de Sobolev que no son compactas a menudo tienen una propiedad relacionada, pero más débil, de co-compacidad .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Cartografía de Sobolev
• Espacio Souček
• Espacio Besov
• Espacio de Triebel-Lizorkin

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