Perturbación singular

En matemáticas , un problema de perturbación singular es un problema que contiene un parámetro pequeño que no se puede aproximar estableciendo el valor del parámetro en cero. Más precisamente, la solución no se puede aproximar de manera uniforme mediante una expansión asintótica .

${\displaystyle \varphi (x)\approx \sum _{n=0}^{N}\delta _{n}(\varepsilon )\psi _{n}(x)\,}$

como . Aquí está el parámetro pequeño del problema y son una secuencia de funciones de orden creciente, como . Esto contrasta con los problemas de perturbación regulares , para los cuales se puede obtener una aproximación uniforme de esta forma. Los problemas con perturbaciones singulares se caracterizan generalmente por dinámicas que operan en múltiples escalas. A continuación se describen varias clases de perturbaciones singulares.${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle \delta _ {n}(\varepsilon)}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle \delta _ {n}(\varepsilon )=\varepsilon ^{n}}$

El término "perturbación singular" fue acuñado en la década de 1940 por Kurt Otto Friedrichs y Wolfgang R. Wasow . ^[1]

Un problema perturbado cuya solución puede aproximarse en todo el dominio del problema, ya sea espacio o tiempo, mediante una única expansión asintótica tiene una perturbación regular . En la mayoría de las aplicaciones, una aproximación aceptable a un problema regularmente perturbado se encuentra simplemente reemplazando el parámetro pequeño por cero en todas partes en el enunciado del problema. Esto corresponde a tomar solo el primer término de la expansión, lo que produce una aproximación que converge, quizás lentamente, a la solución verdadera a medida que disminuye. La solución a un problema singularmente perturbado no puede aproximarse de esta manera: Como se ve en los ejemplos a continuación, una perturbación singular ocurre generalmente cuando el parámetro pequeño de un problema multiplica su operador más alto. Por lo tanto, tomar ingenuamente el parámetro como cero cambia la naturaleza misma del problema. En el caso de las ecuaciones diferenciales, no se pueden satisfacer las condiciones de contorno; en las ecuaciones algebraicas, se reduce el número posible de soluciones.${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización \varepsilon}$

La teoría de perturbaciones singulares es un área rica y en constante exploración para matemáticos, físicos y otros investigadores. Los métodos utilizados para abordar problemas en este campo son muchos. Los más básicos de ellos incluyen el método de expansiones asintóticas emparejadas y la aproximación WKB para problemas espaciales, y en el tiempo, el método de Poincaré-Lindstedt , el método de escalas múltiples y el promedio periódico. Los métodos numéricos para resolver problemas de perturbaciones singulares también son muy populares. ^[2]

Para libros sobre perturbaciones singulares en EDO y EDP, véase, por ejemplo, Holmes, Introducción a los métodos de perturbación , ^[3] Hinch, Métodos de perturbación ^[4] o Bender y Orszag , Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . ^[5]

Cada uno de los ejemplos que se describen a continuación muestra cómo un análisis de perturbación ingenuo, que supone que el problema es regular en lugar de singular, fallará. Algunos muestran cómo el problema puede resolverse mediante métodos singulares más sofisticados.

Las ecuaciones diferenciales que contienen un parámetro pequeño que premultiplica el término de orden más alto suelen presentar capas límite, de modo que la solución evoluciona en dos escalas diferentes. Por ejemplo, considere el problema del valor límite

${\displaystyle {\begin{matrix}\varepsilon u^{\prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)=-e^{-x},\ \ 0<x<1\\u(0)=0,\ \ u(1)=1.\end{matrix}}}$

Su solución cuando es la curva sólida que se muestra a continuación. Nótese que la solución cambia rápidamente cerca del origen. Si establecemos ingenuamente , obtendremos la solución etiquetada como "externa" a continuación, que no modela la capa límite, para la cual x es cercana a cero. Para obtener más detalles que muestran cómo obtener la aproximación uniformemente válida, consulte el método de expansiones asintóticas emparejadas .${\displaystyle \varepsilon = 0,1}$${\displaystyle \varepsilon = 0}$

Un robot manipulador accionado eléctricamente puede tener una dinámica mecánica más lenta y una dinámica eléctrica más rápida, exhibiendo así dos escalas de tiempo. En tales casos, podemos dividir el sistema en dos subsistemas, uno correspondiente a una dinámica más rápida y otro correspondiente a una dinámica más lenta, y luego diseñar controladores para cada uno de ellos por separado. A través de una técnica de perturbación singular, podemos hacer que estos dos subsistemas sean independientes entre sí, simplificando así el problema de control.

Consideremos una clase de sistema descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones:

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}$

${\displaystyle \varepsilon {\dot {x}}_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{2}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}$

${\displaystyle x_{1}(0)=a_{1},x_{2}(0)=a_{2},\,}$

con . La segunda ecuación indica que la dinámica de es mucho más rápida que la de . Un teorema de Tikhonov ^[6] establece que, con las condiciones correctas en el sistema, inicialmente y muy rápidamente se aproximará a la solución de las ecuaciones${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2}),\,}$

${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2})=0,\,}$

${\displaystyle x_{1}(0)=a_{1},\,}$

en un intervalo de tiempo determinado y que, a medida que disminuye hacia cero, el sistema se aproximará más a la solución en ese mismo intervalo. ^[7]${\displaystyle \varepsilon }$

En mecánica de fluidos , las propiedades de un fluido ligeramente viscoso son radicalmente diferentes fuera y dentro de una capa límite estrecha . Por lo tanto, el fluido presenta múltiples escalas espaciales.

Los sistemas de reacción-difusión en los que un reactivo se difunde mucho más lentamente que otro pueden formar patrones espaciales marcados por áreas donde existe un reactivo y áreas donde no, con transiciones nítidas entre ellas. En ecología , los modelos depredador-presa como

${\displaystyle u_{t}=\varepsilon u_{xx}+uf(u)-vg(u),\,}$

${\displaystyle v_{t}=v_{xx}+vh(u),\,}$

Se ha demostrado que donde está la presa y donde está el depredador, se exhiben dichos patrones. ^[8]${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

Consideremos el problema de hallar todas las raíces del polinomio . En el límite , esta cúbica degenera en la cuadrática con raíces en . Sustituyendo una serie de perturbaciones regular${\displaystyle p(x)=\varepsilon x^{3}-x^{2}+1}$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle 1-x^{2}}$${\displaystyle x=\pm 1}$

${\displaystyle x(\varepsilon )=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}+\cdots }$

en la ecuación y al igualar potencias iguales de solo se obtienen correcciones a estas dos raíces:${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle x(\varepsilon )=\pm 1+{\frac {1}{2}}\varepsilon \pm {\frac {5}{8}}\varepsilon ^{2}+\cdots .}$

Para encontrar la otra raíz, se debe utilizar el análisis de perturbación singular. Luego debemos lidiar con el hecho de que la ecuación degenera en una cuadrática cuando dejamos que tienda a cero, en ese límite una de las raíces escapa al infinito. Para evitar que esta raíz se vuelva invisible para el análisis perturbativo, debemos reescalar para seguir el rastro de esta raíz que escapa de modo que, en términos de las variables reescaladas, no escape. Definimos una variable reescalada donde el exponente se elegirá de modo que reescalemos lo suficientemente rápido para que la raíz esté en un valor finito de en el límite de a cero, pero de modo que no colapse a cero donde terminarán las otras dos raíces. En términos de tenemos${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=x\varepsilon ^{\nu }}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle y}$

${\displaystyle y^{3}-\varepsilon ^{\nu -1}y^{2}+\varepsilon ^{3\nu -1}=0.}$

Podemos ver que para el está dominado por los términos de grado inferior, mientras que en se vuelve tan dominante como el término mientras que ambos dominan el término restante. Este punto donde el término de orden más alto ya no se desvanecerá en el límite a cero al volverse igualmente dominante que otro término, se llama degeneración significativa; esto produce el reescalamiento correcto para hacer visible la raíz restante. Esta elección produce${\displaystyle \nu <1}$${\displaystyle y^{3}}$${\displaystyle \nu =1}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle y^{3}-y^{2}+\varepsilon ^{2}=0.}$

Sustituyendo la serie de perturbaciones

${\displaystyle y(\varepsilon )=y_{0}+\varepsilon ^{2}y_{1}+\varepsilon ^{4}y_{2}+\cdots }$

rendimientos

${\displaystyle y_{0}^{3}-y_{0}^{2}=0.}$

Entonces nos interesa la raíz en ; la raíz doble en son las dos raíces que hemos encontrado arriba que colapsan a cero en el límite de un reescalamiento infinito. Calculando los primeros términos de la serie obtenemos${\displaystyle y_{0}=1}$${\displaystyle y_{0}=0}$

${\displaystyle x(\varepsilon )={\frac {y(\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}-\varepsilon -2\varepsilon ^{3}+\cdots .}$