Resiliencia (matemáticas)

En modelado matemático , la resiliencia se refiere a la capacidad de un sistema dinámico para recuperarse de las perturbaciones y volver a su estado estable original . ^[1] Es una medida de la estabilidad y robustez de un sistema frente a cambios o perturbaciones. Si un sistema no es lo suficientemente resiliente, es más susceptible a las perturbaciones y puede sufrir más fácilmente una transición crítica . Una analogía común utilizada para explicar el concepto de resiliencia de un equilibrio es la de una pelota en un valle. Un estado estable resiliente corresponde a una pelota en un valle profundo, por lo que cualquier empujón o perturbación hará que la pelota regrese muy rápidamente al punto de reposo donde comenzó. Por otro lado, un estado estable menos resiliente corresponde a una pelota en un valle poco profundo, por lo que la pelota tardará mucho más tiempo en volver al equilibrio después de una perturbación.

El concepto de resiliencia es particularmente útil en sistemas que presentan puntos de inflexión , cuyo estudio tiene una larga historia que se remonta a la teoría de catástrofes . Si bien esta teoría fue inicialmente sobrevalorada y cayó en desgracia, su fundamento matemático sigue siendo sólido y ahora se reconoce como relevante para muchos sistemas diferentes. ^{[2] [3]}

En 1973, el ecólogo canadiense CS Holling propuso una definición de resiliencia en el contexto de los sistemas ecológicos. Según Holling, la resiliencia es "una medida de la persistencia de los sistemas y de su capacidad para absorber el cambio y la perturbación y aún así mantener las mismas relaciones entre poblaciones o variables de estado". Holling distinguió dos tipos de resiliencia: resiliencia de ingeniería y resiliencia ecológica . ^[4] La resiliencia de ingeniería se refiere a la capacidad de un sistema de volver a su estado original después de una perturbación, como un puente que puede repararse después de un terremoto. La resiliencia ecológica, por otro lado, se refiere a la capacidad de un sistema de mantener su identidad y función a pesar de una perturbación, como un bosque que puede regenerarse después de un incendio forestal manteniendo su biodiversidad y servicios ecosistémicos . Con el tiempo, el concepto de resiliencia, una vez bien definido e inequívoco, ha experimentado una erosión gradual de su claridad, volviéndose más vago y más cercano a un término general que a una medida concreta específica. ^[5]

Matemáticamente, la resiliencia se puede aproximar mediante la inversa del tiempo de retorno a un equilibrio ^{[6] [7] [8]} dado por

${\displaystyle {\text{resiliencia}}\equiv -{\text{Re}}(\lambda _{1}({\textbf {A}})))}$

donde es el valor propio máximo de la matriz .${\textstyle \lambda _{1}}$${\textstyle {\textbf {A}}}$

Cuanto mayor sea este valor, más rápido volverá el sistema al estado estable original o, en otras palabras, más rápido decaerán las perturbaciones. ^[9]

En ecología , la resiliencia puede referirse a la capacidad del ecosistema para recuperarse de perturbaciones como incendios, sequías o la introducción de especies invasoras. Un ecosistema resiliente sería aquel que es capaz de adaptarse a estos cambios y seguir funcionando, mientras que un ecosistema menos resiliente podría sufrir daños irreversibles o colapsar. ^[10] La definición exacta de resiliencia ha permanecido vaga en la práctica, lo que ha llevado a una aplicación lenta y adecuada de sus conocimientos para la gestión de los ecosistemas. ^[11]

En epidemiología , la resiliencia puede referirse a la capacidad de una comunidad sana de recuperarse de la introducción de individuos infectados. Es decir, un sistema resiliente tiene más probabilidades de permanecer en el equilibrio libre de enfermedades después de la invasión de una nueva infección. Algunos sistemas estables presentan una desaceleración crítica en la que, a medida que se acercan a un número básico de reproducción de 1, su resiliencia disminuye, por lo que tarda más tiempo en volver al estado estable libre de enfermedades. ^[12]

La resiliencia es un concepto importante en el estudio de sistemas complejos , donde hay muchos componentes que interactúan y pueden afectarse entre sí de formas impredecibles. ^[13] Los modelos matemáticos se pueden utilizar para explorar la resiliencia de dichos sistemas e identificar estrategias para mejorar su resiliencia frente a cambios ambientales o de otro tipo. Por ejemplo, al modelar redes, a menudo es importante poder cuantificar la resiliencia de la red, o la robustez de la red , ante la pérdida de nodos. Las redes libres de escala son particularmente resilientes ^[14] ya que la mayoría de sus nodos tienen pocos enlaces. Esto significa que si algunos nodos se eliminan aleatoriamente, es más probable que se eliminen los nodos con menos conexiones, preservando así las propiedades clave de la red. ^[15]

• Ingeniería de resiliencia
• Resiliencia ecológica
• Transición crítica
• Teoría de la bifurcación