Cardenal Reinhardt

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas, un cardinal de Reinhardt es un tipo de cardinal grande . Los cardinales de Reinhardt se consideran en ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ), porque son incompatibles con ZFC (ZF con el axioma de elección). Fueron sugeridos (Reinhardt 1967, 1974) por el matemático estadounidense William Nelson Reinhardt (1939-1998).

Un cardenal de Reinhardt es el punto crítico de una incrustación elemental no trivial en sí misma.${\displaystyle j:V\to V}$${\estilo de visualización V}$

Esta definición se refiere explícitamente a la clase propiamente dicha . En ZF estándar, las clases tienen la forma para algún conjunto y fórmula . Pero Suzuki (1999) demostró que ninguna clase de este tipo es una incrustación elemental . Por lo tanto, los cardinales de Reinhardt son incompatibles con esta noción de clase.${\estilo de visualización j}$${\displaystyle \{x|\phi (x,a)\}}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle j:V\to V}$

Existen otras formulaciones de los cardinales de Reinhardt que no se sabe que sean inconsistentes. Una de ellas consiste en agregar un nuevo símbolo de función al lenguaje de ZF, junto con axiomas que establezcan que es una incrustación elemental de , y axiomas de separación y colección para todas las fórmulas que involucran . Otra consiste en utilizar una teoría de clases como NBG o KM , que admiten clases que no necesitan ser definibles en el sentido anterior.${\estilo de visualización j}$${\estilo de visualización j}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización j}$

Kunen  (1971) demostró su teorema de inconsistencia , mostrando que la existencia de una incrustación elemental contradice NBG con el axioma de elección (y ZFC extendido por ). Su prueba utiliza el axioma de elección, y todavía es una pregunta abierta si tal incrustación es consistente con NBG sin el axioma de elección (o con ZF más el símbolo adicional y sus axiomas acompañantes).${\displaystyle j:V\to V}$${\estilo de visualización j}$${\estilo de visualización j}$

El teorema de Kunen no es simplemente una consecuencia de Suzuki (1999), ya que es una consecuencia de NBG, y por lo tanto no requiere la suposición de que es una clase definible. Además, suponiendo que existe, entonces hay una incrustación elemental de un modelo transitivo de ZFC (de hecho, el universo construible de Goedel ) en sí mismo. Pero tales incrustaciones no son clases de .${\estilo de visualización j}$${\estilo de visualización 0^{\#}}$${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización M}$

Existen algunas variaciones de los cardinales de Reinhardt, que forman una jerarquía de hipótesis que afirman la existencia de incrustaciones elementales .${\displaystyle V\a V}$

Un cardinal super Reinhardt es tal que para cada ordinal , existe una incrustación elemental con y que tiene punto crítico . ^[1]${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle j:V\to V}$${\displaystyle j(\kappa )>\alpha }$${\estilo de visualización \kappa}$

Los siguientes axiomas fueron introducidos por Apter y Sargsyan: ^[2]

J3: Hay una incrustación elemental no trivial J2: Hay una incrustación elemental no trivial y DC se cumple, donde es el menor punto fijo por encima del punto crítico. J1: Para cada ordinal , hay una incrustación elemental con y que tiene punto crítico .${\displaystyle j:V\to V}$
${\displaystyle j:V\to V}$_{${\estilo de visualización \lambda}$}${\estilo de visualización \lambda}$
${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle j:V\to V}$${\displaystyle j(\kappa )>\alpha }$${\estilo de visualización \kappa}$

Tanto J1 como J2 implican inmediatamente J3. Un cardinal como J1 se conoce como supercardinal Reinhardt .${\estilo de visualización \kappa}$

Los cardenales de Berkeley son cardenales grandes y más fuertes sugeridos por Woodin .

• Lista de grandes propiedades cardinales

• Jensen, Ronald (1995), "Modelos internos y grandes cardinales", The Bulletin of Symbolic Logic , 1 (4), The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 1, n.º 4: 393–407, CiteSeerX  10.1.1.28.1790 , doi : 10.2307/421129, JSTOR  421129, S2CID  15714648
• Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
• Kunen, Kenneth (1971), "Incrustaciones elementales y combinatoria infinita", Journal of Symbolic Logic , 36 (3), The Journal of Symbolic Logic, vol. 36, n.º 3: 407–413, doi : 10.2307/2269948, JSTOR  2269948, MR  0311478, S2CID  38948969
• Reinhardt, WN (1967), Temas de metamatemáticas de la teoría de conjuntos , Tesis doctoral, Universidad de California, Berkeley
• Reinhardt, WN (1974), "Observaciones sobre principios de reflexión, grandes cardinales e incrustaciones elementales", Teoría de conjuntos axiomática , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, Parte II, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 189–205, MR  0401475
• Suzuki, Akira (1999), "Ninguna incrustación elemental de V en V es definible a partir de parámetros", Journal of Symbolic Logic , 64 (4): 1591–1594, doi :10.2307/2586799, JSTOR  2586799, MR  1780073, S2CID  40967369

• Koellner, Peter (2014), La búsqueda de la inconsistencia profunda (PDF)