Ecuación de Rayleigh-Plesset

En mecánica de fluidos , la ecuación de Rayleigh-Plesset o ecuación de Besant-Rayleigh-Plesset es una ecuación diferencial ordinaria no lineal que gobierna la dinámica de una burbuja esférica en un cuerpo infinito de fluido incompresible. ^{[1] [2] [3] [4]} Su forma general suele escribirse como

dónde

${\displaystyle \rho_{L}}$es la densidad del líquido circundante, que se supone constante

${\estilo de visualización R(t)}$es el radio de la burbuja

${\displaystyle \nu_{L}}$es la viscosidad cinemática del líquido circundante, que se supone constante

${\estilo de visualización \sigma}$es la tensión superficial de la interfaz burbuja-líquido

${\displaystyle \Delta P(t)=P_{\infty}(t)-P_{B}(t)}$, en la que, es la presión dentro de la burbuja, que se supone uniforme y es la presión externa infinitamente lejos de la burbuja.$Estilo de visualización P_{B}(t)$${\ Displaystyle P _ {\ infty} (t)}$

Siempre que se conozca y se dé, se puede utilizar la ecuación de Rayleigh-Plesset para resolver el radio de la burbuja variable en el tiempo .$Estilo de visualización P_{B}(t)$${\ Displaystyle P _ {\ infty} (t)}$${\estilo de visualización R(t)}$

La ecuación de Rayleigh-Plesset se puede derivar de las ecuaciones de Navier-Stokes bajo el supuesto de simetría esférica . ^[4] También se puede derivar utilizando un balance de energía. ^[5]

Despreciando la tensión superficial y la viscosidad, la ecuación fue derivada por primera vez por WH Besant en su libro de 1859 con el enunciado del problema como Una masa infinita de fluido incompresible homogéneo sobre el que no actúan fuerzas está en reposo, y una porción esférica del fluido se aniquila repentinamente; se requiere encontrar la alteración instantánea de la presión en cualquier punto de la masa, y el tiempo en el que se llenará la cavidad, suponiéndose que la presión a una distancia infinita permanece constante (de hecho, Besant atribuye el problema a los problemas del Senado y la Cámara de Cambridge de 1847). ^[6] Besant predijo que el tiempo requerido para llenar una cavidad vacía de radio inicial sería${\estilo de visualización R_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=R_{0}{\sqrt {\frac {6\rho }{P_{\infty }}}}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=R_{0}{\sqrt {\frac {\pi \rho }{6P_{\infty }}}}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0,91468R_{0}{\sqrt {\frac {\rho }{P_{\infty }}}}\end{aligned}}}$

Lord Rayleigh encontró una derivación más simple del mismo resultado, basada en la conservación de la energía . La energía cinética del fluido entrante es donde es el radio dependiente del tiempo del vacío y la velocidad radial del fluido allí. El trabajo realizado por el fluido presionando en el infinito es , e igualando estas dos energías da una relación entre y . Luego, notando que , la separación de variables da el resultado de Besant. Rayleigh fue más allá que Besant, al evaluar la integral ( función beta de Euler ) en términos de funciones gamma . Rayleigh adaptó este enfoque al caso de una cavidad llena de un gas ideal (una burbuja) al incluir un término para el trabajo realizado al comprimir el gas.${\displaystyle 2\pi \rho U^{2}R^{3}}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle 4\pi P_{\infty }(R_{0}^{3}-R^{3})/3}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle U=\parcial R/\parcial t}$

Para el caso del vacío perfecto, Rayleigh determinó que la presión en el fluido en un radio está dada por:${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización r}$

${\displaystyle {\frac {P}{P_{\infty }}}-1={\frac {R}{3r}}({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-4\right)-{\frac {R^{4}}{3r^{4}}}({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-1\right)}$

Cuando el vacío es al menos una cuarta parte de su volumen inicial, entonces la presión disminuye monótonamente desde el infinito hasta cero en . A medida que el vacío se contrae aún más, aparece un máximo de presión mayor que en${\displaystyle P_{\infty}}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle P_{\infty}}$

${\displaystyle r^{3}={\frac {4(R_{0}^{3}-R^{3})R^{3}}{R_{0}^{3}-4R^{3}}}}$

creciendo muy rápidamente y convergiendo hacia el vacío.

La ecuación fue aplicada por primera vez a burbujas de cavitación en movimiento por Milton S. Plesset en 1949 incluyendo los efectos de la tensión superficial. ^[7]

La ecuación de Rayleigh-Plesset se puede derivar completamente de los primeros principios usando el radio de la burbuja como parámetro dinámico. ^[3] Considere una burbuja esférica con un radio dependiente del tiempo , donde es el tiempo. Suponga que la burbuja contiene un vapor/gas distribuido homogéneamente con una temperatura y presión uniformes . Fuera de la burbuja hay un dominio infinito de líquido con densidad constante y viscosidad dinámica . Sea la temperatura y la presión lejos de la burbuja y . Se supone que la temperatura es constante. A una distancia radial desde el centro de la burbuja, las propiedades variables del líquido son presión , temperatura y velocidad radial hacia afuera . Tenga en cuenta que estas propiedades del líquido solo se definen fuera de la burbuja, para .${\estilo de visualización R(t)}$${\estilo de visualización t}$$Estilo de visualización T_{B}(t)}$$Estilo de visualización P_{B}(t)$${\displaystyle \rho_{L}}$ ${\displaystyle \mu_{L}}$${\displaystyle T_{\infty}}$${\ Displaystyle P _ {\ infty} (t)}$${\displaystyle T_{\infty}}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle P(r,t)}$${\displaystyle T(r,t)}$${\displaystyle u(r,t)}$${\displaystyle r\geq R(t)}$

Por conservación de masa , la ley del cuadrado inverso requiere que la velocidad radial hacia afuera sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen (el centro de la burbuja). ^[7] Por lo tanto, siendo alguna función del tiempo,${\displaystyle u(r,t)}$${\estilo de visualización F(t)}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}}$

En el caso de transporte de masa cero a través de la superficie de la burbuja, la velocidad en la interfaz debe ser

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}}$

lo que da eso

${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$

En el caso en que se produce transporte de masa y suponiendo que el contenido de la burbuja tiene una densidad constante, la tasa de aumento de masa dentro de la burbuja viene dada por

${\displaystyle {\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

siendo el volumen de la burbuja. Si es la velocidad del líquido con respecto a la burbuja en , entonces la masa que entra en la burbuja está dada por${\displaystyle V}$${\displaystyle u_{L}}$${\displaystyle r=R}$

${\displaystyle {\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}}$

siendo el área de la superficie de la burbuja. Ahora bien, por conservación de la masa , entonces . Por lo tanto${\displaystyle A}$${\displaystyle dm_{v}/dt=dm_{L}/dt}$${\displaystyle u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt}$

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

En muchos casos, la densidad del líquido es mucho mayor que la densidad del vapor, por lo que se puede aproximar mediante la forma original de transferencia de masa cero , de modo que ^[7]${\displaystyle \rho _{L}\gg \rho _{V}}$${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}}$

Suponiendo que el líquido es un fluido newtoniano , la ecuación incompresible de Navier-Stokes en coordenadas esféricas para el movimiento en la dirección radial da

${\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

Sustituyendo la viscosidad cinemática y reordenando se obtiene${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

por lo que sustituyendo a partir de la conservación de masa se obtiene${\displaystyle u(r,t)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

Nótese que los términos viscosos se cancelan durante la sustitución. ^[7] Separando variables e integrando desde el límite de burbuja se obtiene${\displaystyle r=R}$${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P(\infty )}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr}$

${\displaystyle {{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}}$

Sea la tensión normal en el líquido que apunta radialmente hacia afuera desde el centro de la burbuja. En coordenadas esféricas, para un fluido con densidad constante y viscosidad constante,${\displaystyle \sigma _{rr}}$

${\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}}$

Por lo tanto, en una pequeña porción de la superficie de la burbuja, la fuerza neta por unidad de área que actúa sobre la lámina es

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\\end{aligned}}}$

donde es la tensión superficial . ^[7] Si no hay transferencia de masa a través del límite, entonces esta fuerza por unidad de área debe ser cero, por lo tanto${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{R}}}$

y entonces el resultado de la conservación del momento se convierte en

${\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

donde reordenando y dejando obtenemos la ecuación de Rayleigh-Plesset ^[7]${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}$

Usando la notación de puntos para representar derivadas con respecto al tiempo, la ecuación de Rayleigh-Plesset se puede escribir de manera más sucinta como

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}$

Más recientemente, se encontraron soluciones analíticas de forma cerrada para la ecuación de Rayleigh-Plesset tanto para una burbuja vacía como para una llena de gas ^[8] y se generalizaron al caso N-dimensional. ^[9] También se estudió el caso en el que la tensión superficial está presente debido a los efectos de la capilaridad. ^{[9] [10]}

Además, para el caso especial en que se descuidan la tensión superficial y la viscosidad, también se conocen aproximaciones analíticas de alto orden. ^[11]

En el caso estático, la ecuación de Rayleigh-Plesset se simplifica, dando como resultado la ecuación de Young-Laplace :

${\displaystyle P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}}$

Cuando sólo se consideran variaciones periódicas infinitesimales en el radio de la burbuja y la presión, la ecuación RP también produce la expresión de la frecuencia natural de la oscilación de la burbuja .