Primordial

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En matemáticas , y más particularmente en teoría de números , primorial , denotado por "#", es una función de números naturales a números naturales similar a la función factorial , pero en lugar de multiplicar sucesivamente números enteros positivos, la función solo multiplica números primos .

El nombre "primorial", acuñado por Harvey Dubner , establece una analogía con los números primos similar a la forma en que el nombre "factorial" se relaciona con los factores .

Para el n- ésimo número primo p _n , el p _n # primordial se define como el producto de los primeros n primos: ^{[1] [2]}

${\displaystyle p_{n}\#=\prod_{k=1}^{n}p_{k}}$,

donde p _k es el k- ésimo número primo. Por ejemplo, p ₅ # significa el producto de los primeros 5 primos:

${\displaystyle p_{5}\#=2\veces 3\veces 5\veces 7\veces 11=2310.}$

Los primeros cinco primordiales p _n # son:

2 , 6 , 30 , 210 , 2310 (secuencia A002110 en la OEIS ).

La secuencia también incluye p ₀ # = 1 como producto vacío . Asintóticamente, los primoriales p _n # crecen de acuerdo con:

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},}$

donde o ( ) es la notación O pequeña . ^[2]

En general, para un entero positivo n , su primorial, n# , es el producto de los primos que no son mayores que n ; es decir, ^{[1] [3]}

${\displaystyle n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ primo}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$,

donde π ( n ) es la función de conteo de primos (secuencia A000720 en la OEIS ), que da el número de primos ≤ n . Esto es equivalente a:

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{si }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{si }}n{\text{ es primo}}\\(n-1)\#&{\text{si }}n{\text{ es compuesto}}.\end{cases}}}$

Por ejemplo, 12# representa el producto de aquellos primos ≤ 12:

${\displaystyle 12\#=2\veces 3\veces 5\veces 7\veces 11=2310.}$

Como π (12) = 5 , esto se puede calcular como:

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

Consideremos los primeros 12 valores de n # :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vemos que para un número compuesto n, cada término n # simplemente duplica el término anterior ( n − 1)# , como se indica en la definición. En el ejemplo anterior, tenemos 12# = p ₅ # = 11# ya que 12 es un número compuesto.

Los primordiales están relacionados con la primera función de Chebyshev , escrita ϑ ( n ) o θ ( n ) según:

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$^[4]

Dado que ϑ ( n ) se aproxima asintóticamente a n para valores grandes de n , los primordiales crecen de acuerdo con:

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

La idea de multiplicar todos los primos conocidos aparece en algunas pruebas de la infinitud de los números primos , donde se utiliza para derivar la existencia de otro primo.

• Sean p y q dos números primos adyacentes. Dado cualquier , donde :${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$${\displaystyle p\leq n<q}$

${\estilo de visualización n\#=p\#}$

• Para el Primordial se conoce la siguiente aproximación: ^[5]

${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$.

Notas:

1. Utilizando métodos elementales, el matemático Denis Hanson demostró que ^[6]${\displaystyle n\#\leq 3^{n}}$
2. Utilizando métodos más avanzados, Rosser y Schoenfeld demostraron que ^[7]${\displaystyle n\#\leq (2.763)^{n}}$
3. Rosser y Schoenfeld en el Teorema 4, fórmula 3.14, demostraron que para , ^[7]${\displaystyle n\geq 563}$${\displaystyle n\#\geq (2.22)^{n}}$

• Además:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$

Para , los valores son menores que e , ^[8] pero para n mayor , los valores de la función exceden el límite e y oscilan infinitamente alrededor de e más adelante.${\displaystyle n<10^{11}}$

• Sea el k -ésimo primo, entonces tiene exactamente divisores. Por ejemplo, tiene 2 divisores, tiene 4 divisores, tiene 8 divisores y ya tiene divisores, pues 97 es el 25º primo.$estilo de visualización p_{k}}$${\displaystyle p_{k}\#}$${\estilo de visualización 2^{k}}$${\estilo de visualización 2\#}$${\estilo de visualización 3\#}$${\estilo de visualización 5\#}$${\estilo de visualización 97\#}$${\estilo de visualización 2^{25}}$
• La suma de los valores recíprocos del primorial converge hacia una constante

${\displaystyle \sum _{p\,\in \,\mathbb {P} }{1 \sobre p\#}={1 \sobre 2}+{1 \sobre 6}+{1 \sobre 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$

La expansión de Engel de este número da como resultado la secuencia de números primos (Ver (secuencia A064648 en la OEIS ))

• Según el teorema de Euclides , se utiliza para demostrar la infinitud de los números primos.${\estilo de visualización p\#+1}$

Los primos juegan un papel en la búsqueda de números primos en progresiones aritméticas aditivas . Por ejemplo, 2 236 133 941  + 23# da como resultado un número primo, lo que da inicio a una secuencia de trece números primos que se obtienen sumando repetidamente 23# y terminando con5 136 341 251 . 23# es también la diferencia común en las progresiones aritméticas de quince y dieciséis números primos.

Todo número altamente compuesto es un producto de primoriales (por ejemplo, 360 = 2 × 6 × 30 ). ^[9]

Los primos son todos los números enteros libres de cuadrados y cada uno tiene más factores primos distintos que cualquier número menor que él. Para cada primo n , la fracción ⁠φ ( n )/norte⁠ es menor que para cualquier entero menor, donde φ es la función totiente de Euler .

Cualquier función completamente multiplicativa se define por sus valores en primos, ya que se define por sus valores en primos, que pueden recuperarse mediante la división de valores adyacentes.

Los sistemas base correspondientes a primoriales (como la base 30, que no debe confundirse con el sistema de numeración primordial ) tienen una menor proporción de fracciones repetidas que cualquier base más pequeña.

Todo primorial es un número escasamente totiente . ^[10]

El n -compositorial de un número compuesto n es el producto de todos los números compuestos hasta n inclusive . ^[11] El n -compositorial es igual al n - factorial dividido por el primorial n # . Los composicionales son

1 , 4 , 24 , 192 , 1728 ,17 280 ,207 360 ,2 903 040 ,43 545 600 ,696 729 600 , ... ^[12]

La función zeta de Riemann en números enteros positivos mayores que uno se puede expresar ^[13] utilizando la función primorial y la función totiente de Jordan J _k ( n ) :

${\displaystyle \zeta(k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\puntos }$

• Desigualdad de Bonse
• Función de Chebyshev
• Sistema de numeración primordial
• Primo primordial

• Dubner, Harvey (1987). "Números primos factoriales y primos". J. Recr. Math. 19 : 197–203.
• Spencer, Adam "Top 100" Número 59 parte 4.