Asociatividad de potencia

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , la asociatividad de potencia es una propiedad de una operación binaria que es una forma débil de asociatividad .

Se dice que un álgebra (o, más generalmente, un magma ) es asociativa por potencias si la subálgebra generada por cualquier elemento es asociativa. En concreto, esto significa que si un elemento realiza una operación por sí mismo varias veces, no importa en qué orden se realicen las operaciones, por ejemplo .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización *}$${\displaystyle x*(x*(x*x))=(x*(x*x))*x=(x*x)*(x*x)}$

Toda álgebra asociativa es asociativa de potencias, pero también lo son todas las demás álgebras alternativas (como las octoniones , que no son asociativas) e incluso las álgebras flexibles no alternativas como las sedeniones , las trigintaduoniones y las álgebras de Okubo . Cualquier álgebra cuyos elementos sean idempotentes también es asociativa de potencias.

La exponenciación a la potencia de cualquier entero positivo se puede definir de manera consistente siempre que la multiplicación sea asociativa a potencias. Por ejemplo, no hay necesidad de distinguir si x ³ debe definirse como ( xx ) x o como x ( xx ), ya que son iguales. La exponenciación a la potencia de cero también se puede definir si la operación tiene un elemento identidad , por lo que la existencia de elementos identidad es útil en contextos asociativos a potencias.

Sobre un cuerpo de característica 0, un álgebra es asociativa de potencia si y sólo si satisface y , donde es el asociador (Albert 1948).${\displaystyle [x,x,x]=0}$${\displaystyle [x^{2},x,x]=0}$${\displaystyle [x,y,z]:=(xy)zx(yz)}$

Sobre un cuerpo infinito de característica prima no existe un conjunto finito de identidades que caracterice la asociatividad de potencia, pero sí hay conjuntos independientes infinitos, como lo describe Gainov (1970):${\displaystyle p>0}$

• Para : y para (${\estilo de visualización p=2}$${\displaystyle [x,x^{2},x]=0}$${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$${\displaystyle n=3,2^{k}}$${\displaystyle k=2,3...)}$
• Para : para (${\displaystyle p=3}$${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$${\displaystyle n=4,5,3^{k}}$${\displaystyle k=1,2...)}$
• Para : para (${\displaystyle p=5}$${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$${\displaystyle n=3,4,6,5^{k}}$${\displaystyle k=1,2...)}$
• Para : para (${\displaystyle p>5}$${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$${\displaystyle n=3,4,p^{k}}$${\displaystyle k=1,2...)}$

Para las álgebras asociativas de potencias reales con unidad se cumple una ley de sustitución que básicamente afirma que la multiplicación de polinomios funciona como se espera. Para f, un polinomio real en x , y para cualquier a en una álgebra de este tipo, definamos f ( a ) como el elemento del álgebra resultante de la sustitución obvia de a en f . Entonces, para dos polinomios cualesquiera de estos f y g , tenemos que ( fg )( a ) = f ( a ) g ( a ) .

• Alternatividad

• Albert, A. Adrian (1948). "Anillos asociativos de potencia". Transactions of the American Mathematical Society . 64 : 552–593. doi : 10.2307/1990399 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1990399. MR  0027750. Zbl  0033.15402.
• Gainov, AT (1970). "Álgebras asociativas de potencias sobre un cuerpo de características finitas". Álgebra y lógica . 9 (1): 5–19. doi :10.1007/BF02219846. ISSN  0002-9947. MR  0281764. Zbl  0208.04001.
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). El libro de las involuciones . Colloquium Publications. Vol. 44. Con un prefacio de Jacques Tits . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-0904-0.Zbl 0955.16001  .
• Okubo, Susumu (1995). Introducción a los octoniones y otras álgebras no asociativas en física . Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. Vol. 2. Cambridge University Press . pág. 17. ISBN. 0-521-01792-0.MR  1356224.Zbl 0841.17001  .​
• Schafer, RD (1995) [1966]. Introducción a las álgebras no asociativas. Dover. Págs. 128-148. ISBN. 0-486-68813-5.