Functor polinomial

En álgebra, un funtor polinómico es un endofuntor de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ que depende polinómicamente de espacios vectoriales. Por ejemplo, las potencias simétricas y las potencias exteriores son funtores polinómicos de a ; estos dos también son funtores de Schur .${\displaystyle V\mapsto \operatorname {Sym} ^{n}(V)}$ ${\displaystyle V\mapsto \wedge ^{n}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

El concepto aparece tanto en la teoría de representaciones como en la teoría de categorías (el cálculo de funtores ). En particular, la categoría de funtores polinomiales homogéneos de grado n es equivalente a la categoría de representaciones de dimensión finita del grupo simétrico sobre un cuerpo de característica cero. ^[1]$Estilo de visualización S_{n}$

Sea k un cuerpo de característica cero y la categoría de espacios vectoriales k de dimensión finita y de aplicaciones lineales k . Entonces, un endofunctor es un functor polinómico si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}}$

• Para cada par de espacios vectoriales X , Y en , la función es una función polinomial (es decir, un polinomio con valores vectoriales en formas lineales).${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle F\colon \nombreoperador {Hom} (X,Y)\to \nombreoperador {Hom} (F(X),F(Y))}$
• Dados los mapas lineales en , la función definida en es una función polinomial con coeficientes en .${\displaystyle f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle (\lambda _{1},\puntos ,\lambda _{r})\mapsto F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$$estilo de visualización k^{r}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$

Se dice que un funtor polinomial es homogéneo de grado n si para cualquier mapa lineal con dominio y codominio común, el polinomio de valor vectorial es homogéneo de grado n .${\displaystyle f_{1},\puntos ,f_{r}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$

Si se sustituye “espacios vectoriales finitos” por “conjuntos finitos”, se obtiene la noción de especies combinatorias (para ser precisos, aquellas de naturaleza polinómica).

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