Polidiamante
Un polidiamante (también poliamond o simplemente iamond , o a veces poliominó triangular [1] ) es una poliforma cuya forma base es un triángulo equilátero . La palabra polidiamante es una formación inversa de diamante , porque esta palabra se usa a menudo para describir la forma de un par de triángulos equiláteros colocados base con base, y el 'di-' inicial parece un prefijo griego que significa 'dos-' (aunque diamante en realidad deriva del griego ἀδάμας - también la base de la palabra "adamante"). El nombre fue sugerido por el escritor de matemáticas recreativas Thomas H. O'Beirne en New Scientist 1961 número 1, página 164.
Cálculo
La pregunta combinatoria básica es: ¿cuántos polidiamantes diferentes existen con un número dado de celdas? Al igual que los poliominós , los polidiamantes pueden ser libres o unilaterales. Los polidiamantes libres son invariantes ante la reflexión, así como ante la traslación y la rotación. Los polidiamantes unilaterales distinguen las reflexiones.
El número de n -diamantes libres para n = 1, 2, 3, ... es:
- 1, 1, 1, 3, 4, 12, 24, 66, 160, ... (secuencia A000577 en la OEIS ).
El número de polidiamantes libres con agujeros viene dado por OEIS : A070764 ; el número de polidiamantes libres sin agujeros viene dado por OEIS : A070765 ; el número de polidiamantes fijos viene dado por OEIS : A001420 ; el número de polidiamantes unilaterales viene dado por OEIS : A006534 .
| Nombre | Número de formularios | Formularios | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Monamond | 1 |
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| Diamante | 1 |
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| Triamond | 1 |
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| Tetriamond | 3 |
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| Pentiamond | 4 |
| ||||||||||||
| Hexiamond | 12 |
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Algunos autores también llaman al diamante ( rombo con un ángulo de 60°) calisson, en honor al dulce francés de forma similar. [2] [3]
Simetrías
Las posibles simetrías son simetría especular, simetría rotacional de 2, 3 y 6 pliegues, y cada una combinada con simetría especular.
La simetría rotacional doble con y sin simetría especular requiere al menos 2 y 4 triángulos, respectivamente. La simetría rotacional séxtuple con y sin simetría especular requiere al menos 6 y 18 triángulos, respectivamente. La asimetría requiere al menos 5 triángulos. La simetría rotacional triple sin simetría especular requiere al menos 7 triángulos.
En el caso de solo simetría especular podemos distinguir tener el eje de simetría alineado con la cuadrícula o rotado 30° (requiere al menos 4 y 3 triángulos, respectivamente); lo mismo para simetría rotacional triple, combinada con simetría especular (requiere al menos 18 y 1 triángulos, respectivamente).
Generalizaciones
Al igual que los poliominós , pero a diferencia de los polihexágonos , los polidiamantes tienen contrapartes tridimensionales, formadas por la agregación de tetraedros . Sin embargo, los politetraedros no forman mosaicos en espacios tridimensionales de la misma manera que los polidiamantes pueden formar mosaicos en espacios bidimensionales.
Teselaciones
Todo polidiamante de orden 8 o menos forma mosaicos en el plano, excepto el V-heptiamond. [4]
Correspondencia con polihexágonos
Cada polidiamante corresponde a un polihexagonal , como se ilustra a la derecha. A la inversa, cada polihexagonal es también un polidiamante, porque cada celda hexagonal de un polihexagonal es la unión de seis triángulos equiláteros adyacentes. Ninguna correspondencia es uno a uno.
En la cultura popular
El conjunto de 22 polidiamantes, desde el orden 1 hasta el orden 6, constituye la forma de las piezas de juego en el juego de mesa Blokus Trigon , donde los jugadores intentan cubrir un plano con tantos polidiamantes como sea posible, sujeto a las reglas del juego.
Véase también
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Polidiamante". MathWorld .
- Polidiamantes en The Poly Pages. Mosaicos de polidiamantes.
- VERHEXT: un juego de rompecabezas de los años 60 de Heinz Haber basado en hexiamonds (archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine )
Referencias
- ^ Sloane, NJA (9 de julio de 2021). "A000577". OEIS . The OEIS Foundation Inc . Consultado el 9 de julio de 2021 .
poliominós triangulares (o poliformas triangulares, o polidiamantes)
- ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (31 de diciembre de 2015). Una odisea espacial matemática: geometría sólida en el siglo XXI. ISBN 9781614442165.
- ^ David, Guy; Tomei, Carlos (1989). "El problema de los Calisson". The American Mathematical Monthly . 96 (5): 429–431. doi :10.1080/00029890.1989.11972212. JSTOR 2325150.
- ^ "Todos los polidiamantes de orden ocho o menos, con excepción de uno de los heptiamantes, teselarán el plano. La excepción es el heptiamante en forma de V. Gardner (libro 6, pág. 248) planteó el problema de identificar este heptiamante y reprodujo una prueba de imposibilidad de Gregory. Sin embargo, en combinación con otros heptiamantes u otros polidiamantes, se pueden lograr teselaciones utilizando este heptiamante en forma de V".
