Punto de inflexión

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En cálculo diferencial y geometría diferencial , un punto de inflexión , punto de inflexión , flexión o inflexión (raramente inflexión ) es un punto en una curva plana suave en el que la curvatura cambia de signo. En particular, en el caso del gráfico de una función , es un punto donde la función cambia de cóncava (cóncava hacia abajo) a convexa (cóncava hacia arriba), o viceversa.

Para la gráfica de una función f de clase de diferenciabilidad C ² (su primera derivada f' , y su segunda derivada f'' , existen y son continuas), la condición f'' = 0 también se puede usar para encontrar un punto de inflexión ya que se debe pasar un punto de f'' = 0 para cambiar f'' de un valor positivo (cóncava hacia arriba) a un valor negativo (cóncava hacia abajo) o viceversa ya que f'' es continua; un punto de inflexión de la curva es donde f'' = 0 y cambia su signo en el punto (de positivo a negativo o de negativo a positivo). ^[1] Un punto donde la segunda derivada se desvanece pero no cambia su signo a veces se llama punto de ondulación o punto de ondulación .

En geometría algebraica, un punto de inflexión se define de forma un poco más general, como un punto regular donde la tangente se encuentra con la curva de orden al menos 3, y un punto de ondulación o hiperflexión se define como un punto donde la tangente se encuentra con la curva de orden al menos 4.

Los puntos de inflexión en geometría diferencial son los puntos de la curva donde la curvatura cambia su signo. ^{[2] [3]}

Por ejemplo, la gráfica de la función diferenciable tiene un punto de inflexión en ( x , f ( x )) si y solo si su primera derivada f' tiene un extremo aislado en x . (esto no es lo mismo que decir que f tiene un extremo). Es decir, en alguna vecindad, x es el único punto en el que f' tiene un mínimo o máximo (local). Si todos los extremos de f' están aislados , entonces un punto de inflexión es un punto en la gráfica de f en el que la tangente corta la curva.

Un punto de inflexión descendente es un punto de inflexión en el que la derivada es negativa en ambos lados del punto; en otras palabras, es un punto de inflexión cerca del cual la función es decreciente. Un punto de inflexión ascendente es un punto en el que la derivada es positiva en ambos lados del punto; en otras palabras, es un punto de inflexión cerca del cual la función es creciente.

Para una curva suave dada por ecuaciones paramétricas , un punto es un punto de inflexión si su curvatura con signo cambia de más a menos o de menos a más, es decir, cambia de signo .

Para una curva suave que es un gráfico de una función dos veces diferenciable, un punto de inflexión es un punto en el gráfico en el que la segunda derivada tiene un cero aislado y cambia de signo.

En geometría algebraica , un punto no singular de una curva algebraica es un punto de inflexión si y solo si el número de intersección de la recta tangente y la curva (en el punto de tangencia) es mayor que 2. La principal motivación de esta definición diferente, es que de lo contrario el conjunto de los puntos de inflexión de una curva no sería un conjunto algebraico . De hecho, el conjunto de los puntos de inflexión de una curva algebraica plana son exactamente sus puntos no singulares que son ceros del determinante hessiano de su completitud proyectiva .

Para una función f , si su segunda derivada f″ ( x ) existe en x ₀ y x ₀ es un punto de inflexión para f , entonces f″ ( x ₀ ) = 0 , pero esta condición no es suficiente para tener un punto de inflexión, incluso si existen derivadas de cualquier orden. En este caso, también se necesita que la derivada no nula de orden más bajo (por encima de la segunda) sea de orden impar (tercera, quinta, etc.). Si la derivada no nula de orden más bajo es de orden par, el punto no es un punto de inflexión, sino un punto de ondulación . Sin embargo, en geometría algebraica, tanto los puntos de inflexión como los puntos de ondulación suelen denominarse puntos de inflexión . Un ejemplo de un punto de ondulación es x = 0 para la función f dada por f ( x ) = x ⁴ .

En las afirmaciones anteriores, se supone que f tiene alguna derivada distinta de cero de orden superior en x , lo que no es necesariamente el caso. Si es el caso, la condición de que la primera derivada distinta de cero tenga un orden impar implica que el signo de f ' ( x ) es el mismo en ambos lados de x en un entorno de x . Si este signo es positivo , el punto es un punto de inflexión ascendente ; si es negativo , el punto es un punto de inflexión descendente .

1. Una condición de existencia suficiente para un punto de inflexión en el caso de que f ( x ) sea k veces continuamente diferenciable en un cierto entorno de un punto x ₀ con k impar y k ≥ 3 , es que f ^{( n )} ( x ₀ ) = 0 para n = 2, ..., k − 1 y f ^{( k )} ( x ₀ ) ≠ 0 . Entonces f ( x ) tiene un punto de inflexión en x ₀ .
2. Otra condición de existencia suficiente más general requiere que f″ ( x ₀ + ε ) y f″ ( x ₀ − ε ) tengan signos opuestos en la vecindad de  x ₀ ( Bronshtein y Semendyayev 2004, p. 231).

Los puntos de inflexión también se pueden categorizar según si f ' ( x ) es cero o distinto de cero.

• Si f ' ( x ) es cero, el punto es un punto de inflexión estacionario .
• Si f ' ( x ) no es cero, el punto es un punto de inflexión no estacionario

Un punto de inflexión estacionario no es un extremo local . De manera más general, en el contexto de funciones de varias variables reales , un punto estacionario que no es un extremo local se denomina punto de silla .

Un ejemplo de un punto de inflexión estacionario es el punto (0, 0) en el gráfico de y = x ³ . La tangente es el eje x , que corta el gráfico en este punto.

Un ejemplo de un punto de inflexión no estacionario es el punto (0, 0) en el gráfico de y = x ³ + ax , para cualquier a distinto de cero . La tangente en el origen es la línea y = ax , que corta el gráfico en este punto.

Algunas funciones cambian de concavidad sin tener puntos de inflexión. En cambio, pueden cambiar de concavidad alrededor de asíntotas verticales o discontinuidades. Por ejemplo, la función es cóncava para x negativa y convexa para x positiva , pero no tiene puntos de inflexión porque 0 no está en el dominio de la función.${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

Algunas funciones continuas tienen un punto de inflexión aunque la segunda derivada nunca sea 0. Por ejemplo, la función raíz cúbica es cóncava hacia arriba cuando x es negativo y cóncava hacia abajo cuando x es positivo, pero no tiene derivadas de ningún orden en el origen.

• Punto crítico (matemáticas)
• Umbral ecológico
• Configuración de Hesse formada por los nueve puntos de inflexión de una curva elíptica
• Ogee , una forma arquitectónica con un punto de inflexión
• Vértice (curva) , un mínimo o máximo local de curvatura.

• Weisstein, Eric W. "Punto de inflexión". MathWorld .
• "Punto de inflexión", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]