Paridad de cero

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En matemáticas, el cero es un número par . En otras palabras, su paridad —la cualidad de un entero de ser par o impar— es par. Esto se puede verificar fácilmente con base en la definición de "par": cero es un múltiplo entero de 2 , específicamente 0 × 2. Como resultado, cero comparte todas las propiedades que caracterizan a los números pares: por ejemplo, 0 tiene como vecinos en ambos lados a números impares, cualquier entero decimal tiene la misma paridad que su último dígito —por lo tanto, como 10 es par, 0 será par, y si y es par entonces y + x tiene la misma paridad que x —de hecho, 0 + x y x siempre tienen la misma paridad.

El cero también encaja en los patrones formados por otros números pares. Las reglas de paridad de la aritmética, como por ejemplo par − par = par , requieren que el 0 sea par. El cero es el elemento identidad aditivo del grupo de los números enteros pares, y es el caso de partida a partir del cual se definen recursivamente otros números naturales pares . Las aplicaciones de esta recursión desde la teoría de grafos a la geometría computacional se basan en que el cero sea par. El 0 no solo es divisible por 2, sino que es divisible por cada potencia de 2 , lo que es relevante para el sistema de numeración binario utilizado por las computadoras. En este sentido, el 0 es el número "más par" de todos. ^[1]

Entre el público en general, la paridad del cero puede ser una fuente de confusión. En los experimentos de tiempo de reacción , la mayoría de las personas son más lentas en identificar el 0 como par que el 2, el 4, el 6 o el 8. Algunos profesores (y algunos niños en clases de matemáticas) piensan que el cero es impar, o que es par e impar, o que no es ni lo uno ni lo otro. Los investigadores en educación matemática proponen que estos conceptos erróneos pueden convertirse en oportunidades de aprendizaje. El estudio de igualdades como 0 × 2 = 0 puede abordar las dudas de los estudiantes sobre llamar al 0 un número y usarlo en aritmética . Los debates en clase pueden llevar a los estudiantes a apreciar los principios básicos del razonamiento matemático, como la importancia de las definiciones. La evaluación de la paridad de este número excepcional es un ejemplo temprano de un tema omnipresente en las matemáticas: la abstracción de un concepto familiar a un entorno desconocido.

La definición estándar de "número par" se puede utilizar para demostrar directamente que cero es par. Un número se llama "par" si es un múltiplo entero de 2. Por ejemplo, la razón por la que 10 es par es que es igual a 5 × 2. De la misma manera, cero es un múltiplo entero de 2, es decir, 0 × 2, por lo que cero es par. ^[2]

También es posible explicar por qué el cero es par sin recurrir a definiciones formales. ^[3] Las siguientes explicaciones dan sentido a la idea de que el cero es par en términos de conceptos numéricos fundamentales. A partir de esta base, se puede proporcionar una justificación para la definición en sí y su aplicabilidad al cero.

Dado un conjunto de objetos, se utiliza un número para describir cuántos objetos hay en el conjunto. Cero es el recuento de ningún objeto ; en términos más formales, es el número de objetos en el conjunto vacío . El concepto de paridad se utiliza para hacer grupos de dos objetos. Si los objetos de un conjunto se pueden marcar en grupos de dos, sin que quede ninguno, entonces el número de objetos es par. Si queda un objeto, entonces el número de objetos es impar. El conjunto vacío contiene cero grupos de dos, y no queda ningún objeto de esta agrupación, por lo que cero es par. ^[5]

Estas ideas se pueden ilustrar dibujando objetos en pares. Es difícil representar grupos de dos con cero objetos o enfatizar la inexistencia de un objeto sobrante, por lo que resulta útil dibujar otras agrupaciones y compararlas con cero. Por ejemplo, en el grupo de cinco objetos, hay dos pares. Más importante aún, hay un objeto sobrante, por lo que 5 es impar. En el grupo de cuatro objetos, no hay ningún objeto sobrante, por lo que 4 es par. En el grupo de un solo objeto, no hay pares y hay un objeto sobrante, por lo que 1 es impar. En el grupo de cero objetos, no hay ningún objeto sobrante, por lo que 0 es par. ^[6]

Existe otra definición concreta de uniformidad: si los objetos de un conjunto pueden colocarse en dos grupos de igual tamaño, entonces el número de objetos es par. Esta definición es equivalente a la primera. Nuevamente, cero es par porque el conjunto vacío puede dividirse en dos grupos de cero elementos cada uno. ^[7]

Los números también se pueden visualizar como puntos en una línea numérica . Cuando se distinguen entre sí los números pares e impares, su patrón se hace evidente, especialmente si se incluyen números negativos:

Los números pares e impares se alternan. Partiendo de cualquier número par, contando hacia arriba o hacia abajo de dos en dos se llega a los demás números pares, y no hay razón para saltarse el cero. ^[8]

Con la introducción de la multiplicación , la paridad puede abordarse de una manera más formal utilizando expresiones aritméticas. Cada número entero tiene la forma (2 × ▢) + 0 o (2 × ▢) + 1; los primeros números son pares y los segundos son impares. Por ejemplo, 1 es impar porque 1 = (2 × 0) + 1, y 0 es par porque 0 = (2 × 0) + 0. Hacer una tabla de estos hechos refuerza la imagen de la línea numérica anterior. ^[9]

La definición precisa de un término matemático, como "par", que significa "múltiplo entero de dos", es en última instancia una convención . A diferencia de "par", algunos términos matemáticos se construyen a propósito para excluir casos triviales o degenerados . Los números primos son un ejemplo famoso. Antes del siglo XX, las definiciones de primalidad eran inconsistentes, y matemáticos importantes como Goldbach , Lambert , Legendre , Cayley y Kronecker escribieron que 1 era primo. ^[10] La definición moderna de "número primo" es "entero positivo con exactamente 2 factores ", por lo que 1 no es primo. Esta definición se puede racionalizar observando que se adapta de manera más natural a los teoremas matemáticos que se refieren a los primos. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética es más fácil de enunciar cuando 1 no se considera primo. ^[11]

Sería posible redefinir de manera similar el término "par" de manera que ya no incluya el cero. Sin embargo, en este caso, la nueva definición dificultaría el enunciado de teoremas relativos a los números pares. El efecto ya se puede ver en las reglas algebraicas que rigen los números pares e impares . ^[12] Las reglas más relevantes se refieren a la suma , la resta y la multiplicación :

par ± par = par

impar ± impar = par

par × entero = par

Insertando valores apropiados en los lados izquierdos de estas reglas, se puede producir 0 en los lados derechos:

2 − 2 = 0

-3 + 3 = 0

4 × 0 = 0

Por lo tanto, las reglas anteriores serían incorrectas si el cero no fuera par. ^[12] En el mejor de los casos, habría que modificarlas. Por ejemplo, una guía de estudio para exámenes afirma que los números pares se caracterizan como múltiplos enteros de dos, pero el cero no es "ni par ni impar". ^[13] En consecuencia, las reglas de la guía para números pares e impares contienen excepciones:

par ± par = par (o cero)

impar ± impar = par (o cero)

par × entero distinto de cero = par ^[13]

Hacer una excepción para el cero en la definición de paridad obliga a hacer tales excepciones en las reglas para los números pares. Desde otra perspectiva, tomar las reglas que obedecen los números pares positivos y exigir que sigan siendo válidas para los números enteros obliga a la definición habitual y a la paridad del cero. ^[12]

Innumerables resultados en teoría de números invocan el teorema fundamental de la aritmética y las propiedades algebraicas de los números pares, por lo que las opciones anteriores tienen consecuencias de largo alcance. Por ejemplo, el hecho de que los números positivos tengan factorizaciones únicas significa que se puede determinar si un número tiene un número par o impar de factores primos distintos. Como 1 no es primo ni tiene factores primos, es un producto de 0 primos distintos; como 0 es un número par, 1 tiene un número par de factores primos distintos. Esto implica que la función de Möbius toma el valor μ(1) = 1 , que es necesario para que sea una función multiplicativa y para que funcione la fórmula de inversión de Möbius . ^[14]

Un número n es impar si existe un entero k tal que n = 2 k + 1 . Una forma de demostrar que cero no es impar es por contradicción : si 0 = 2 k + 1 entonces k = −1/2 , que no es un entero. ^[15] Como cero no es impar, si se demuestra que un número desconocido es impar, entonces no puede ser cero. Esta observación aparentemente trivial puede proporcionar una prueba conveniente y reveladora que explica por qué un número impar es distinto de cero.

Un resultado clásico de la teoría de grafos establece que un grafo de orden impar (que tiene un número impar de vértices) siempre tiene al menos un vértice de grado par . (La afirmación en sí misma requiere que cero sea par: el grafo vacío tiene un orden par y un vértice aislado tiene un grado par.) ^[16] Para probar la afirmación, en realidad es más fácil probar un resultado más fuerte: cualquier grafo de orden impar tiene un número impar de vértices de grado par. La aparición de este número impar se explica por un resultado aún más general, conocido como el lema del apretón de manos : cualquier grafo tiene un número par de vértices de grado impar. ^[17] Finalmente, el número par de vértices impares se explica naturalmente por la fórmula de suma de grados .

El lema de Sperner es una aplicación más avanzada de la misma estrategia. El lema establece que un determinado tipo de coloración en una triangulación de un símplex tiene un subsímplex que contiene todos los colores. En lugar de construir directamente dicho subsímplex, es más conveniente demostrar que existe un número impar de tales subsímplex mediante un argumento de inducción . ^[18] Una formulación más contundente del lema explica entonces por qué este número es impar: se descompone naturalmente como ( n + 1) + n cuando se consideran las dos orientaciones posibles de un símplex. ^[19]

El hecho de que el cero sea par, junto con el hecho de que los números pares e impares se alternan, es suficiente para determinar la paridad de cualquier otro número natural . Esta idea se puede formalizar en una definición recursiva del conjunto de números naturales pares:

• 0 es par.
• ( n + 1) es par si y sólo si n no es par.

Esta definición tiene la ventaja conceptual de basarse únicamente en los fundamentos mínimos de los números naturales: la existencia del 0 y de los sucesores . Como tal, es útil para sistemas de lógica computacional como LF y el demostrador de teoremas de Isabelle . ^[20] Con esta definición, la paridad del cero no es un teorema sino un axioma. De hecho, "cero es un número par" puede interpretarse como uno de los axiomas de Peano , de los cuales los números naturales pares son un modelo. ^[21] Una construcción similar extiende la definición de paridad a los números ordinales transfinitos : todo ordinal límite es par, incluido el cero, y los sucesores de los ordinales pares son impares. ^[22]

La clásica prueba del punto en un polígono de la geometría computacional aplica las ideas anteriores. Para determinar si un punto se encuentra dentro de un polígono , se proyecta un rayo desde el infinito hasta el punto y se cuenta el número de veces que el rayo cruza el borde del polígono. El número de cruces es par si y solo si el punto está fuera del polígono. Este algoritmo funciona porque si el rayo nunca cruza el polígono, entonces su número de cruces es cero, que es par, y el punto está fuera. Cada vez que el rayo cruza el polígono, el número de cruces alterna entre par e impar, y el punto en su punta alterna entre exterior e interior. ^[23]

En teoría de grafos, un grafo bipartito es un grafo cuyos vértices están divididos en dos colores , de modo que los vértices vecinos tienen colores diferentes. Si un grafo conexo no tiene ciclos impares , entonces se puede construir una bipartición eligiendo un vértice base v y coloreando cada vértice de negro o blanco, dependiendo de si su distancia a v es par o impar. Dado que la distancia entre v y él mismo es 0, y 0 es par, el vértice base se colorea de manera diferente a sus vecinos, que se encuentran a una distancia de 1. ^[24]

En álgebra abstracta , los números enteros pares forman varias estructuras algebraicas que requieren la inclusión del cero. El hecho de que la identidad aditiva (cero) sea par, junto con la uniformidad de las sumas y los inversos aditivos de los números pares y la asociatividad de la adición, significa que los números enteros pares forman un grupo . Además, el grupo de números enteros pares bajo la adición es un subgrupo del grupo de todos los números enteros; este es un ejemplo elemental del concepto de subgrupo. ^[16] La observación anterior de que la regla "par − par = par" obliga a que 0 sea par es parte de un patrón general: cualquier subconjunto no vacío de un grupo aditivo que esté cerrado bajo la resta debe ser un subgrupo y, en particular, debe contener la identidad . ^[25]

Como los números enteros pares forman un subgrupo de los números enteros, dividen los números enteros en clases laterales . Estas clases laterales pueden describirse como las clases de equivalencia de la siguiente relación de equivalencia : x ~ y si ( x − y ) es par. Aquí, la paridad de cero se manifiesta directamente como la reflexividad de la relación binaria ~. ^[26] Solo hay dos clases laterales de este subgrupo (los números pares y los impares), por lo que tiene índice 2.

Análogamente, el grupo alternante es un subgrupo de índice 2 en el grupo simétrico de n letras. Los elementos del grupo alternante, llamados permutaciones pares , son los productos de números pares de transposiciones . La función identidad , un producto vacío de ninguna transposición, es una permutación par ya que cero es par; es el elemento identidad del grupo. ^[27]

La regla "par × entero = par" significa que los números pares forman un ideal en el anillo de los enteros, y la relación de equivalencia anterior puede describirse como equivalencia módulo este ideal . En particular, los enteros pares son exactamente aquellos enteros k donde k ≡ 0 (mod 2). Esta formulación es útil para investigar los ceros enteros de los polinomios . ^[28]

En cierto sentido, algunos múltiplos de 2 son "más pares" que otros. Los múltiplos de 4 se denominan doblemente pares , ya que pueden dividirse por 2 dos veces. El cero no solo es divisible por 4, sino que tiene la propiedad única de ser divisible por cada potencia de 2 , por lo que supera a todos los demás números en "paridad". ^[1]

Una consecuencia de este hecho aparece en el ordenamiento invertido de bits de los tipos de datos enteros que utilizan algunos algoritmos informáticos, como la transformada rápida de Fourier de Cooley-Tukey . Este ordenamiento tiene la propiedad de que cuanto más a la izquierda aparezca el primer 1 en la expansión binaria de un número , o cuantas más veces sea divisible por 2, más pronto aparecerá. La inversión de bits del cero sigue siendo cero; se puede dividir por 2 cualquier número de veces y su expansión binaria no contiene ningún 1, por lo que siempre aparece primero. ^[29]

Aunque 0 es divisible por 2 más veces que cualquier otro número, no es sencillo cuantificar exactamente cuántas veces lo es. Para cualquier entero distinto de cero n , se puede definir el orden 2-ádico de n como el número de veces que n es divisible por 2. Esta descripción no funciona para 0; no importa cuántas veces se divida por 2, siempre se puede dividir por 2 nuevamente. En cambio, la convención habitual es establecer el orden 2 de 0 como infinito como un caso especial. ^[30] Esta convención no es peculiar del orden 2; es uno de los axiomas de una valoración aditiva en álgebra superior. ^[31]

Las potencias de dos (1, 2, 4, 8, ...) forman una secuencia simple de números de orden 2 creciente. En los números 2-ádicos , tales secuencias convergen a cero. ^[32]

El tema de la paridad del cero se trata a menudo durante los dos o tres primeros años de educación primaria , cuando se introduce y desarrolla el concepto de números pares e impares. ^[34]

El gráfico de la derecha ^[33] muestra las creencias de los niños sobre la paridad del cero a medida que pasan del primer al sexto año del sistema educativo inglés . Los datos son de Len Frobisher, quien realizó un par de encuestas a escolares ingleses. Frobisher estaba interesado en cómo el conocimiento de la paridad de un solo dígito se traduce en el conocimiento de la paridad de varios dígitos, y el cero ocupa un lugar destacado en los resultados. ^[35]

En una encuesta preliminar de casi 400 niños de siete años, el 45% eligió par en lugar de impar cuando se les preguntó la paridad de cero. ^[36] Una investigación de seguimiento ofreció más opciones: ninguno , ambos y no sé . Esta vez, el número de niños en el mismo rango de edad que identificaron cero como par se redujo al 32%. ^[37] El éxito en decidir que cero es par inicialmente se dispara y luego se estabiliza en alrededor del 50% en los años 3 a 6. ^[38] A modo de comparación, la tarea más fácil, identificar la paridad de un solo dígito, se estabiliza en alrededor del 85% de éxito. ^[39]

En las entrevistas, Frobisher pidió a los estudiantes que razonaran. Un alumno de quinto año decidió que el 0 era par porque se encontraba en la tabla del 2. Un par de alumnos de cuarto año se dieron cuenta de que el cero se puede dividir en partes iguales. Otro alumno de cuarto año razonó "1 es impar y si voy hacia abajo es par". ^[40] Las entrevistas también revelaron los conceptos erróneos detrás de las respuestas incorrectas. Un alumno de segundo año estaba "bastante convencido" de que el cero era impar, sobre la base de que "es el primer número que se cuenta". ^[41] Un alumno de cuarto año se refirió al 0 como "ninguno" y pensó que no era ni par ni impar, ya que "no es un número". ^[42] En otro estudio, Annie Keith observó una clase de 15 alumnos de segundo grado que se convencían entre sí de que el cero era un número par basándose en la alternancia par-impar y en la posibilidad de dividir un grupo de cosas cero en dos grupos iguales. ^[43]

Esther Levenson, Pessia Tsamir y Dina Tirosh realizaron investigaciones más profundas, entrevistando a un par de estudiantes de sexto grado en los EE. UU. que tenían un alto rendimiento en su clase de matemáticas. Un estudiante prefería explicaciones deductivas de afirmaciones matemáticas, mientras que el otro prefería ejemplos prácticos. Ambos estudiantes pensaron inicialmente que el 0 no era ni par ni impar, por diferentes razones. Levenson et al. demostraron cómo el razonamiento de los estudiantes reflejaba sus conceptos de cero y división. ^[44]

Deborah Loewenberg Ball analizó las ideas de los estudiantes de tercer grado de Estados Unidos sobre los números pares e impares y el cero, que acababan de discutir con un grupo de estudiantes de cuarto grado. Los estudiantes discutieron la paridad del cero, las reglas para los números pares y cómo se hacen las matemáticas. Las afirmaciones sobre el cero tomaron muchas formas, como se ve en la lista de la derecha. ^[45] Ball y sus coautores argumentaron que el episodio demostró cómo los estudiantes pueden "hacer matemáticas en la escuela", en oposición a la reducción habitual de la disciplina a la solución mecánica de ejercicios. ^[46]

Uno de los temas de la literatura de investigación es la tensión entre las imágenes conceptuales de los estudiantes sobre la paridad y sus definiciones conceptuales. ^[47] Los estudiantes de sexto grado de Levenson et al. definieron los números pares como múltiplos de 2 o números divisibles por 2, pero inicialmente no pudieron aplicar esta definición al cero, porque no estaban seguros de cómo multiplicar o dividir cero por 2. El entrevistador finalmente los llevó a concluir que cero era par; los estudiantes tomaron diferentes caminos para llegar a esta conclusión, basándose en una combinación de imágenes, definiciones, explicaciones prácticas y explicaciones abstractas. En otro estudio, David Dickerson y Damien Pitman examinaron el uso de definiciones por parte de cinco estudiantes universitarios avanzados de matemáticas . Encontraron que los estudiantes universitarios eran en gran medida capaces de aplicar la definición de "par" al cero, pero aún no estaban convencidos de este razonamiento, ya que entraba en conflicto con sus imágenes conceptuales. ^[48]

Los investigadores de la educación matemática de la Universidad de Michigan han incluido la pregunta de verdadero o falso "0 es un número par" en una base de datos de más de 250 preguntas diseñadas para medir el conocimiento de los contenidos de los profesores. Para ellos, la pregunta ejemplifica el "conocimiento común... que cualquier adulto bien educado debería tener", y es "ideológicamente neutral" en el sentido de que la respuesta no varía entre las matemáticas tradicionales y las reformadas . En un estudio realizado entre 2000 y 2004 con 700 maestros de primaria en los Estados Unidos , el desempeño general en estas preguntas predijo significativamente mejoras en las puntuaciones de los estudiantes en las pruebas estandarizadas después de tomar las clases de los maestros. ^[49] En un estudio más profundo de 2008, los investigadores encontraron una escuela donde todos los maestros pensaban que el cero no era ni par ni impar, incluido un maestro que era ejemplar en todas las demás medidas. La idea errónea había sido difundida por un entrenador de matemáticas en su edificio. ^[50]

No se sabe con certeza cuántos profesores tienen ideas erróneas sobre el cero. Los estudios de Michigan no publicaron datos de preguntas individuales. Betty Lichtenberg, profesora adjunta de educación matemática en la Universidad del Sur de Florida , en un estudio de 1972 informó que cuando a un grupo de futuros maestros de escuela primaria se les dio una prueba de verdadero o falso que incluía la pregunta "El cero es un número par", encontraron que era una "pregunta difícil", y aproximadamente dos tercios respondieron "Falso". ^[51]

Matemáticamente, demostrar que el cero es par es una cuestión sencilla de aplicar una definición, pero se necesita más explicación en el contexto de la educación. Una cuestión se refiere a los fundamentos de la prueba; la definición de "par" como "múltiplo entero de 2" no siempre es apropiada. Un estudiante en los primeros años de educación primaria puede no haber aprendido todavía qué significa "entero" o "múltiplo", mucho menos cómo multiplicar por 0. ^[52] Además, enunciar una definición de paridad para todos los números enteros puede parecer un atajo conceptual arbitrario si los únicos números pares investigados hasta ahora han sido positivos. Puede ser útil reconocer que, a medida que el concepto de número se extiende desde los números enteros positivos para incluir el cero y los números enteros negativos, las propiedades de los números como la paridad también se extienden de una manera no trivial. ^[53]

Los adultos que creen que el cero es par pueden, sin embargo, no estar familiarizados con el hecho de pensar en él como par, lo suficiente como para que se ralenticen considerablemente en un experimento de tiempo de reacción . Stanislas Dehaene , un pionero en el campo de la cognición numérica , dirigió una serie de experimentos de este tipo a principios de los años 1990. Se muestra un número al sujeto en un monitor y una computadora registra el tiempo que tarda el sujeto en presionar uno de dos botones para identificar el número como par o impar. Los resultados mostraron que el 0 era más lento de procesar que otros números pares. Algunas variaciones del experimento encontraron demoras de hasta 60 milisegundos o aproximadamente el 10% del tiempo de reacción promedio, una diferencia pequeña pero significativa. ^[55]

Los experimentos de Dehaene no fueron diseñados específicamente para investigar el 0, sino para comparar modelos competitivos de cómo se procesa y extrae la información de paridad. El modelo más específico, la hipótesis del cálculo mental, sugiere que las reacciones al 0 deberían ser rápidas; 0 es un número pequeño y es fácil calcular 0 × 2 = 0. (Se sabe que los sujetos calculan y nombran el resultado de la multiplicación por cero más rápido que la multiplicación de números distintos de cero, aunque son más lentos para verificar los resultados propuestos como 2 × 0 = 0. ) Los resultados de los experimentos sugirieron que estaba sucediendo algo bastante diferente: la información de paridad aparentemente se estaba recordando de la memoria junto con un grupo de propiedades relacionadas, como ser primo o una potencia de dos . Tanto la secuencia de potencias de dos como la secuencia de números pares positivos 2, 4, 6, 8, ... son categorías mentales bien diferenciadas cuyos miembros son prototípicamente pares. El cero no pertenece a ninguna de las listas, de ahí las respuestas más lentas. ^[56]

Experimentos repetidos han demostrado un retraso en el cero en sujetos de distintas edades y orígenes nacionales y lingüísticos, confrontados con nombres de números en forma numérica , deletreados y deletreados en una imagen especular. El grupo de Dehaene encontró un factor diferenciador: la pericia matemática. En uno de sus experimentos, los estudiantes de la École Normale Supérieure se dividieron en dos grupos: los de estudios literarios y los de matemáticas, física o biología. La desaceleración en el cero se encontró "esencialmente en el grupo [literario]", y de hecho, "antes del experimento, algunos sujetos L no estaban seguros de si el 0 era par o impar y tuvieron que recordarles la definición matemática". ^[57]

Esta fuerte dependencia de la familiaridad debilita nuevamente la hipótesis del cálculo mental. ^[58] El efecto también sugiere que es inadecuado incluir el cero en experimentos en los que se comparan números pares e impares como grupo. Como dice un estudio: "La mayoría de los investigadores parecen estar de acuerdo en que el cero no es un número par típico y no debería investigarse como parte de la línea numérica mental". ^[59]

Algunos de los contextos en los que aparece la paridad del cero son puramente retóricos. El lingüista Joseph Grimes reflexiona sobre la idea de que preguntar a las parejas casadas "¿Es el cero un número par?" es una buena manera de lograr que discrepen. ^[60] Las personas que piensan que el cero no es ni par ni impar pueden utilizar la paridad del cero como prueba de que cada regla tiene un contraejemplo , ^[61] o como ejemplo de una pregunta capciosa . ^[62]

Alrededor del año 2000, los medios de comunicación notaron un par de hitos inusuales: "19/11/1999" fue la última fecha del calendario compuesta únicamente por dígitos impares que ocurriría durante mucho tiempo, y "2000/02/02" fue la primera fecha compuesta únicamente por dígitos pares que ocurrió en mucho tiempo. ^[63] Dado que estos resultados utilizan el 0 como par, algunos lectores no estuvieron de acuerdo con la idea. ^[64]

En las pruebas estandarizadas , si una pregunta indaga sobre el comportamiento de los números pares, puede ser necesario tener en cuenta que el cero es par. ^[65] Las publicaciones oficiales relacionadas con los exámenes GMAT y GRE establecen que el 0 es par. ^[66]

La paridad del cero es relevante para el racionamiento de días pares e impares , en el que los automóviles pueden circular o comprar gasolina en días alternos, según la paridad del último dígito de sus matrículas . La mitad de los números en un rango dado terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la otra mitad en 1, 3, 5, 7, 9, por lo que tiene sentido incluir el 0 con los otros números pares. Sin embargo, en 1977, un sistema de racionamiento en París provocó confusión: en un día solo impar, la policía evitó multar a los conductores cuyas matrículas terminaran en 0, porque no sabían si el 0 era par. ^[67] Para evitar tal confusión, la legislación pertinente a veces estipula que el cero es par; tales leyes se han aprobado en Nueva Gales del Sur ^[68] y Maryland . ^[69]

En los buques de la Armada de los Estados Unidos, los compartimentos con números pares se encuentran en el costado de babor , pero el cero se reserva para los compartimentos que intersecan la línea central. Es decir, los números se leen 6-4-2-0-1-3-5 de babor a estribor. ^[70]

En el juego de la ruleta , el número 0 no cuenta como par o impar, lo que le da al casino una ventaja en tales apuestas. ^[71] De manera similar, la paridad del cero puede afectar los pagos en apuestas paralelas cuando el resultado depende de si un número aleatorio es par o impar, y resulta ser cero. ^[72]

El juego de “ pares e impares ” también se ve afectado: si ambos jugadores no tienen dedos en la mano, el número total de dedos es cero, por lo que el jugador par gana. ^[73] Un manual para profesores sugiere jugar a este juego como una forma de introducir a los niños al concepto de que 0 es divisible por 2. ^[74]

• Matousek, John (2001-03-28), "Cero impar/par: ¿es cero par?", Ask Dr. Math , The Math Forum, archivado del original el 2020-11-29 , consultado el 2013-06-06
• Adams, Cecil (1999), "¿El cero es par o impar?", The Straight Dope , archivado desde el original el 2022-07-14 , consultado el 2013-06-06

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• Medios relacionados con Paridad de cero en Wikimedia Commons
• ¿El cero es par? - Numberphile, vídeo con James Grime, Universidad de Nottingham