Particiones multiplicativas de factoriales

Las particiones multiplicativas de factoriales son expresiones de valores de la función factorial como productos de potencias de números primos . Han sido estudiadas por Paul Erdős y otros. ^{[1] [2] [3]}

El factorial de un entero positivo es un producto de factores enteros decrecientes, que a su vez pueden factorizarse en números primos. Esto significa que cualquier factorial puede escribirse como un producto de potencias de primos. Por ejemplo, si deseamos escribir como un producto de factores de la forma , donde cada uno es un número primo, y los factores están ordenados en orden no decreciente, entonces tenemos tres formas de hacerlo: El número de tales "particiones multiplicativas ordenadas" de crece con , y está dado por la secuencia$${\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 2^{1}.}$$${\textstyle 5!}$${\textstyle (p_{k})^{b_{k}}}$${\textstyle p_{k}}$$${\displaystyle 5!=2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 2^{2}\cdot 5^{1}=3^{1}\cdot 5^{1}\cdot 2^{3}=2^{1}\cdot 2^{1}\cdot 2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1}.}$$${\textstyle n!}$${\textstyle n}$

1, 1, 3, 3, 10, 10, 30, 75, 220, 220, 588, 588, 1568, 3696, 11616, ... (secuencia A085288 en la OEIS ).

No todas las particiones multiplicativas ordenadas de un factorial dado tienen la misma longitud. Por ejemplo, las particiones de tienen longitudes 4, 3 y 5. En otras palabras, exactamente una de las particiones de tiene longitud 5. El número de particiones multiplicativas ordenadas de que tienen longitud igual a es 1 para y , y a partir de entonces aumenta como${\textstyle 5!}$${\textstyle 5!}$${\textstyle n!}$${\textstyle n}$${\textstyle n=4}$${\textstyle n=5}$

2, 2, 5, 12, 31, 31, 78, 78, 191, 418, 1220, 1220, 3015, ... (secuencia A085289 en la OEIS ).

Considere todas las particiones multiplicativas ordenadas de que tienen longitud , y encuentre la partición cuyo primer factor sea el más grande. (Dado que el primer factor en una partición es el más pequeño dentro de esa partición, esto significa encontrar el máximo de todos los mínimos ). Llame a este factor . El valor de es 2 para y , y a partir de entonces crece como${\textstyle n!}$${\textstyle n}$${\textstyle m(n)}$${\textstyle m(n)}$${\textstyle n=4}$${\textstyle n=5}$

2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, ... (secuencia A085290 en la OEIS ).

Para expresar el comportamiento asintótico de , sea que As tiende a infinito, se acerca a un valor límite, la constante de Alladi-Grinstead (nombrada así por los matemáticos Krishnaswami Alladi y Charles Grinstead). La representación decimal de la constante de Alladi-Grinstead comienza,${\textstyle m(n)}$$${\displaystyle \alpha (n)={\frac {\ln m(n)}{\ln n}}.}$$${\textstyle n}$${\displaystyle \alpha (n)}$

0,80939402054063913071793188059409131721595399242500030424202871504... (secuencia A085291 en la OEIS ).

El valor exacto de la constante se puede escribir como el exponente de una cierta serie infinita . Explícitamente, ^[4] donde se da por Esta suma se puede expresar alternativamente de la siguiente manera, ^[5] escribiendo para la función zeta de Riemann : Esta serie para la constante converge más rápidamente que la anterior. ^[5] La función es constante en tramos de , pero salta de 5 a 7, saltándose el valor 6. Erdős planteó la cuestión de cuán grandes pueden crecer los huecos en la secuencia de y cuán largos pueden ser los tramos constantes. ^{[3] [6]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\alpha (n)=e^{c-1}\approx 0,80939402,}$$${\textstyle c}$$${\displaystyle c=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k}}\ln {\frac {k}{k-1}}\aprox 0,78853057.}$$${\textstyle \zeta (n)}$$${\displaystyle c=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (n+1)-1}{n}}.}$$${\textstyle c}$${\textstyle m(n)}$${\textstyle n}$${\textstyle m(n)}$