Espectro de Markov

En matemáticas, el espectro de Markov , ideado por Andrey Markov , es un conjunto complicado de números reales que surgen en las ecuaciones diofánticas de Markov y también en la teoría de la aproximación diofántica .

Consideremos una forma cuadrática dada por f ( x , y ) = ax ² + bxy + cy ² y supongamos que su discriminante es fijo, digamos igual a −1/4. En otras palabras, b ²  − 4 ac = 1.

Se puede preguntar por el valor mínimo alcanzado por cuando se evalúa en vectores no cero de la cuadrícula , y si este mínimo no existe, por el ínfimo .${\displaystyle \left\vert f(x,y)\right\vert }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

El espectro de Markov M es el conjunto obtenido al repetir esta búsqueda con diferentes formas cuadráticas con discriminante fijado en −1/4:$${\displaystyle M=\left\{\left(\inf _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}|f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}}$$

Partiendo del teorema de Hurwitz sobre aproximación diofántica, que cualquier número real tiene una sucesión de aproximaciones racionales m / n que tienden a él con${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}},}$

es posible preguntar para cada valor de 1/ c con 1/ c ≥ √ 5 sobre la existencia de alguno para el cual${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}}$

para una secuencia de este tipo, para la cual c es el mejor valor posible (máximo). Tales 1/ c forman el espectro de Lagrange L , un conjunto de números reales al menos √ 5 (que es el valor más pequeño del espectro). La formulación con el recíproco es incómoda, pero la definición tradicional la invita; mirar el conjunto de c en cambio permite una definición por medio de un límite inferior . Para eso, considere

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,}$

donde m se elige como una función entera de n para que la diferencia sea mínima. Esta es una función de , y el recíproco del espectro de Lagrange es el rango de valores que toma en números irracionales.${\displaystyle \xi }$

La parte inicial del espectro de Lagrange, es decir, la parte que se encuentra en el intervalo [ √ 5 , 3) ​​, es también la parte inicial del espectro de Markov. Los primeros valores son √ 5 , √ 8 , √ 221 /5, √ 1517 /13, ... ^[1] y el n º número de esta secuencia (es decir, el n º número de Lagrange ) se puede calcular a partir del n º número de Markov mediante la fórmula La constante de Freiman es el nombre que se le da al final del último hueco en el espectro de Lagrange, es decir:$${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots }$(secuencia A118472 en la OEIS ).

Todos los números reales en [ )${\displaystyle {F},\infty }$ - conocidos como rayo de Hall - son miembros del espectro de Lagrange. ^[2] Además, es posible demostrar que L está estrictamente contenido en M . ^[3]

Por un lado, las partes iniciales del espectro de Markov y Lagrange que se encuentran en el intervalo [ √ 5 , 3) ​​son iguales y forman un conjunto discreto. Por otro lado, las partes finales de estos conjuntos que se encuentran después de la constante de Freiman también son iguales, pero forman un conjunto continuo. La geometría de la parte entre la parte inicial y la parte final tiene una estructura fractal y puede verse como una transición geométrica entre la parte inicial discreta y la parte final continua. Esto se enuncia con precisión en el siguiente teorema: ^[4]

• Número de Markov

• Aigner, Martin (2013). El teorema de Markov y 100 años de la conjetura de unicidad: un viaje matemático desde los números irracionales hasta las correspondencias perfectas . Nueva York: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5.OCLC 853659945  .
• Conway, JH y Guy, RK El libro de los números. Nueva York: Springer-Verlag, págs. 188-189, 1996.
• Cusick, TW y Flahive, ME Los espectros de Markov y Lagrange. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989.
• Cassels, JWS (1957). Introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press . Zbl  0077.04801.

• "El problema del espectro de Markov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]