Descomposición múltiple
En topología , una rama de las matemáticas , una variedad M se puede descomponer o dividir escribiendo M como una combinación de partes más pequeñas. Al hacerlo, se deben especificar tanto cuáles son esas partes como cómo se juntan para formar M.
La descomposición de variedades funciona en dos direcciones: se puede empezar con las piezas más pequeñas y construir una variedad, o empezar con una variedad grande y descomponerla. Esta última ha demostrado ser una forma muy útil de estudiar variedades: sin herramientas como la descomposición, a veces es muy difícil entender una variedad. En particular, ha sido útil en los intentos de clasificar variedades de 3 dimensiones y también para demostrar la conjetura de Poincaré de dimensiones superiores .
La siguiente tabla es un resumen de las distintas técnicas de descomposición de variedades. La columna denominada " M " indica qué tipo de variedad se puede descomponer; la columna denominada "Cómo se descompone" indica cómo, a partir de una variedad, se puede descomponer en partes más pequeñas; la columna denominada "Las partes" indica cuáles pueden ser las partes; y la columna denominada "Cómo se combinan" indica cómo se combinan las partes más pequeñas para formar la variedad grande.
 | Esta lista está incompleta ; puedes ayudar agregando los elementos que faltan. ( Agosto 2008 ) |
| Tipo de descomposición | METRO | Cómo se descompone | Las piezas | Cómo se combinan |
|---|---|---|---|---|
| Triangulación | Depende de la dimensión. En dimensión 3, un teorema de Edwin E. Moise establece que cada variedad 3 tiene una triangulación única, única salvo subdivisión común. En dimensión 4, no todas las variedades son triangulables. Para dimensiones superiores, se desconoce la existencia general de triangulaciones. | Sencillos | Pegue juntos pares de caras de codimensión uno | |
| Descomposición en toro de Jaco-Shalen/Johannson | Irreductible , orientable , compacto de 3 colectores. | Corte a lo largo de los toros incrustados | Variedades de 3 colectores atoroidales o con fibras Seifert | Unión a lo largo de su límite, utilizando el homeomorfismo trivial |
| Descomposición primaria | Básicamente, superficies y variedades de 3 dimensiones . La descomposición es única cuando la variedad es orientable. | Cortar a lo largo de esferas incrustadas ; luego unir por el homeomorfismo trivial a lo largo de los límites resultantes con bolas disjuntas . | Colectores principales | Suma conectada |
| Heegaard se divide | 3 colectores cerrados y orientables | Dos cuerpos de mango de igual género | Unión a lo largo del límite por algún homeomorfismo | |
| Manejar la descomposición | Cualquier variedad n compacta ( suave ) (y la descomposición nunca es única) | A través de las funciones Morse se asocia un identificador a cada punto crítico . | Pelotas (llamadas asas ) | Unión a lo largo de un subconjunto de los límites . Tenga en cuenta que los controladores generalmente deben agregarse en un orden específico. |
| Jerarquía de Haken | Cualquier colector Haken | Cortar a lo largo de una secuencia de superficies incompresibles | 3 bolas | |
| Descomposición del disco | Ciertos colectores compactos y orientables de 3 | Suturar el colector, luego cortar a lo largo de superficies especiales (condición en curvas límite y suturas...) | 3 bolas | |
| Descomposición de libro abierto | Cualquier variedad orientable cerrada de 3 vías | Un enlace y una familia de 2-variedades que comparten un límite con ese enlace | ||
| Trigenus | Colectores compactos , cerrados y de 3 vías | Cirugías | Tres cuerpos de manija orientables | Uniones a lo largo de subsuperficies en los límites de los cuerpos de las manijas |
Véase también
