Lemniscata

En geometría algebraica , una lemniscata ( / l ɛ m ˈ n ɪ s k ɪ t / o / ˈ l ɛ m n ɪ s ˌ k eɪ t , - k ɪ t / ) ^[1] es cualquiera de varias curvas en forma de ocho o de ∞ . ^{[2] [3]} La palabra proviene del latín lēmniscātus , que significa "decorado con cintas", ^[4] del griego λημνίσκος ( lēmnískos ), que significa "cinta", ^{[3] [5] [6] [7]} o que alternativamente puede referirse a la lana de la que se hicieron las cintas . ^[2]

Las curvas que se han denominado lemniscatas incluyen tres curvas planas de grado cuártico : la hipopeda o lemniscata de Booth , la lemniscata de Bernoulli y la lemniscata de Gerono . La hipopeda fue estudiada por Proclo (siglo V), pero el término "lemniscata" no se utilizó hasta el trabajo de Jacob Bernoulli a fines del siglo XVII.

La consideración de curvas con forma de ocho se remonta a Proclo , un filósofo y matemático neoplatónico griego que vivió en el siglo V d. C. Proclo consideró las secciones transversales de un toro mediante un plano paralelo al eje del toro. Como observó, para la mayoría de estas secciones, la sección transversal consiste en uno o dos óvalos; sin embargo, cuando el plano es tangente a la superficie interna del toro, la sección transversal adquiere una forma de ocho, que Proclo llamó grillete de caballo (un dispositivo para mantener juntas las dos patas de un caballo), o "hippopede" en griego. ^[8] El nombre "lemniscata de Booth" para esta curva se remonta a su estudio por el matemático del siglo XIX James Booth . ^[2]

La lemniscata puede definirse como una curva algebraica , el conjunto cero del polinomio cuártico cuando el parámetro d es negativo (o cero para el caso especial en el que la lemniscata se convierte en un par de círculos tangentes externamente). Para valores positivos de d, se obtiene en cambio el óvalo de Booth .${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$

En 1680, Cassini estudió una familia de curvas, hoy denominada óvalo de Cassini , definida de la siguiente manera: el lugar geométrico de todos los puntos cuyo producto de las distancias a dos puntos fijos, los focos de las curvas , es una constante. En circunstancias muy particulares (cuando la semidistancia entre los puntos es igual a la raíz cuadrada de la constante) esto da lugar a una lemniscata.

En 1694, Johann Bernoulli estudió el caso de la lemniscata del óvalo de Cassini, ahora conocido como la lemniscata de Bernoulli (mostrado arriba), en conexión con un problema de " isócronas " que había sido planteado anteriormente por Leibniz . Al igual que la hipopeda, es una curva algebraica, el conjunto cero del polinomio . El hermano de Bernoulli, Jacob Bernoulli, también estudió la misma curva en el mismo año, y le dio su nombre, la lemniscata. ^[9] También puede definirse geométricamente como el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a dos focos es igual al cuadrado de la mitad de la distancia interfocal. ^[10] Es un caso especial de la hipopeda (lemniscata de Booth), con , y puede formarse como una sección transversal de un toro cuyo agujero interior y secciones transversales circulares tienen el mismo diámetro entre sí. ^[2] Las funciones elípticas lemniscaticas son análogas a las funciones trigonométricas para la lemniscata de Bernoulli, y las constantes de la lemniscata surgen al evaluar la longitud del arco de esta lemniscata.${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})}$${\displaystyle d=-c}$

Otra lemniscata, la lemniscata de Gerono o lemniscata de Huygens, es el conjunto cero del polinomio cuártico . ^{[12] [13]} La curva de Viviani , una curva tridimensional formada al intersecar una esfera con un cilindro, también tiene forma de ocho y tiene la lemniscata de Gerono como su proyección plana. ^[14]${\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}$

Otras curvas algebraicas con forma de ocho incluyen

• La curva del diablo , una curva definida por la ecuación cuártica en la que un componente conectado tiene forma de ocho, ^[15]$y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})}$
• Curva de Watt , una curva con forma de ocho formada por un enlace mecánico. La curva de Watt es el conjunto cero de la ecuación polinómica de grado seis y tiene la lemniscata de Bernoulli como caso especial.${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$

• Analema , la curva en forma de ocho trazada por las posiciones del sol al mediodía en el cielo a lo largo de un año.
• Símbolo del infinito
• Lemniscatas como cónicas generalizadas
• Atractor de Lorenz , un sistema dinámico tridimensional que presenta una forma lemniscata
• Lemniscata polinómica , un conjunto de niveles del valor absoluto de un polinomio complejo

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• "Lemniscatas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]