La constante de Legendre
Constante de proporcionalidad de la densidad de números primos
En este artículo se utiliza la notación matemática técnica para los logaritmos. Todas las instancias de log( x ) sin una base de subíndice deben interpretarse como un logaritmo natural , también escrito comúnmente como ln( x ) o log e ( x ) .
Los primeros 100.000 elementos de la secuencia a n = log( n ) −  n / π ( n ) (línea roja) parecen converger a un valor alrededor de 1,08366 (línea azul).
Los elementos posteriores hasta 10.000.000 de la misma secuencia a n = log( n ) −  n / π ( n ) (línea roja) parecen ser consistentemente menores que 1,08366 (línea azul).

La constante de Legendre es una constante matemática que aparece en una fórmula construida por Adrien-Marie Legendre para aproximar el comportamiento de la función de conteo de primos . Ahora se sabe que el valor que corresponde precisamente a su comportamiento asintótico es 1. π ( incógnita ) {\displaystyle \pi(x)}

El examen de los datos numéricos disponibles para valores conocidos llevó a Legendre a una fórmula aproximada. π ( incógnita ) {\displaystyle \pi(x)}

Legendre propuso en 1808 la fórmula ( OEIS : A228211 ), que proporciona una aproximación de con una "precisión muy satisfactoria". [1] [2] y = incógnita registro ⁡ ( incógnita ) − 1.08366 , {\displaystyle y={\frac {x}{\log(x)-1.08366}},} y = π ( incógnita ) {\displaystyle y=\pi(x)}

Hoy en día se define la constante real por la cual se resuelve poniendo siempre que exista dicho límite. B {\estilo de visualización B} π ( incógnita ) ∼ incógnita registro ⁡ ( incógnita ) − B , {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)-B}},} B = lim n → ∞ ( log ⁡ ( n ) − n π ( n ) ) , {\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }\left(\log(n)-{n \over \pi (n)}\right),}

No sólo se sabe ahora que el límite existe, sino también que su valor es igual a 1, algo menor que el de Legendre.1.08366 . Independientemente de su valor exacto, la existencia del límite implica el teorema de los números primos . B {\displaystyle B}

Pafnuty Chebyshev demostró en 1849 [3] que si existe el límite B , debe ser igual a 1. Una demostración más sencilla fue dada por Pintz en 1980. [4]

Es una consecuencia inmediata del teorema de los números primos , bajo la forma precisa con una estimación explícita del término de error.

π ( x ) = Li ⁡ ( x ) + O ( x e − a log ⁡ x ) as  x → ∞ {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }

(para alguna constante positiva a , donde O (…) es la notación O mayúscula ), como lo demostró en 1899 Charles de La Vallée Poussin [5] , que B de hecho es igual a 1. (El teorema de los números primos había sido demostrado en 1896, independientemente por Jacques Hadamard [6] y La Vallée Poussin [7] , pero sin ninguna estimación del término de error involucrado).

Al ser evaluado como un número tan simple, el término "constante de Legendre" tiene mayormente solo valor histórico, y a menudo se lo usa (técnicamente de manera incorrecta) para referirse a la primera estimación de Legendre: 1.08366...

Referencias

  1. ^ Legendre, A.-M. (1808). Ensayo sobre la teoría de los nombres. Mensajero. pag. 394.
  2. ^ Ribenboim, Paulo (2004). El pequeño libro de los números primos más grandes . Nueva York: Springer-Verlag. pág. 188. ISBN 0-387-20169-6.
  3. ^ Edmundo Landau . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, página 17. Tercera edición (corregida), dos volúmenes en uno, 1974, Chelsea 1974
  4. ^ Pintz, Janos (1980). "Sobre la fórmula de los números primos de Legendre". The American Mathematical Monthly . 87 (9): 733–735. doi :10.2307/2321863. ISSN  0002-9890. JSTOR  2321863.
  5. ^ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Bélgica 59, 1–74, 1899
  6. ^ Sur la Distribution des zéros de la fonction et ses conséquences arithmétiques ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} , Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 24, 1896, págs. 199–220 en línea Archivado el 17 de julio de 2012 en Wayback Machine.
  7. ^ «Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers», Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, págs. 183–256 y 281–361
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