Función de Jack

En matemáticas , la función Jack es una generalización del polinomio de Jack , introducido por Henry Jack . El polinomio de Jack es un polinomio homogéneo y simétrico que generaliza los polinomios de Schur y zonales , y a su vez es generalizado por los polinomios de Heckman-Opdam y los polinomios de Macdonald .

La función Jack de una partición entera , parámetro y argumentos se puede definir de forma recursiva de la siguiente manera:${\displaystyle J_{\kappa}^{(\alpha)}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m})}$ ${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$

Para m = 1

${\displaystyle J_{k}^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )}$

Para m >1

${\displaystyle J_{\kappa}^{(\alpha)}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m})=\sum _{\mu}J_{\mu}^{(\alpha)}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu},}$

donde la suma se aplica a todas las particiones de modo que la partición sesgada es una franja horizontal , es decir${\estilo de visualización \mu}$ ${\displaystyle \kappa /\mu}$

${\displaystyle \kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \ mu _{n-1}\geq \kappa _{n}}$( debe ser cero o de lo contrario ) y${\displaystyle \mu_{n}}$${\displaystyle J_{\mu}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0}$

${\displaystyle \beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}$

donde es igual si y en caso contrario. Las expresiones y se refieren a las particiones conjugadas de y , respectivamente. La notación significa que el producto se toma sobre todas las coordenadas de las casillas en el diagrama de Young de la partición .${\displaystyle B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)}$${\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)}$${\displaystyle \kappa _{j}'=\mu _{j}'}$${\displaystyle \kappa_{j}'-i+1+\alpha (\kappa_{i}-j)}$${\displaystyle \kappa '}$${\displaystyle \mu '}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle (i,j)\in \kappa}$${\estilo de visualización (i,j)}$${\estilo de visualización \kappa}$

En 1997, F. Knop y S. Sahi ^[1] dieron una fórmula puramente combinatoria para los polinomios de Jack en n variables:${\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}}$

${\displaystyle J_{\mu}^{(\alpha )}=\sum _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.}$

La suma se toma sobre todos los cuadros admisibles de forma y ${\estilo de visualización \lambda ,}$

${\displaystyle d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in T{\text{ crítico}}}d_{\lambda }(\alpha )(s)}$

con

${\displaystyle d_{\lambda}(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda }(s)+1)+(l_{\lambda }(s)+1).}$

Una tabla de formas admisible es un relleno del diagrama de Young con los números 1,2,…, n tales que para cualquier casilla ( i , j ) en la tabla,${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización \lambda}$

• ${\displaystyle T(i,j)\neq T(i',j)}$cuando sea${\displaystyle i'>i.}$
• ${\displaystyle T(i,j)\neq T(i,j-1)}$cuando sea y${\displaystyle j>1}$${\displaystyle i'<i.}$

Una caja es crítica para la tabla T si y${\displaystyle s=(i,j)\en \lambda}$${\displaystyle j>1}$${\displaystyle T(i,j)=T(i,j-1).}$

Este resultado puede verse como un caso especial de la fórmula combinatoria más general para los polinomios de Macdonald .

Las funciones Jack forman una base ortogonal en un espacio de polinomios simétricos, con producto interno:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}$

Esta propiedad de ortogonalidad no se ve afectada por la normalización. La normalización definida anteriormente se denomina normalmente normalización J. La normalización C se define como

${\displaystyle C_{\kappa}^{(\alpha)}(x_{1},\ldots,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa}}}J_{\kappa}^{(\alpha)}(x_{1},\ldots,x_{n}),}$

dónde

${\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}$

Porque a menudo se denota por y se llama polinomio zonal .${\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

La normalización P viene dada por la identidad , donde ${\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }}$

${\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}$

donde y denotan la longitud del brazo y la pierna respectivamente. Por lo tanto, para es la función de Schur habitual.${\displaystyle a_{\lambda }}$${\displaystyle l_{\lambda }}$${\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda }}$

De manera similar a los polinomios de Schur, se pueden expresar como una suma de tablas de Young. Sin embargo, es necesario agregar un peso adicional a cada tabla que depende del parámetro .${\displaystyle P_{\lambda }}$${\displaystyle \alpha }$

Por lo tanto, una fórmula ^[2] para la función Jack viene dada por${\displaystyle P_{\lambda }}$

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)}}$

donde la suma se toma sobre todos los cuadros de forma y denota la entrada en la casilla s de T.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T(s)}$

El peso se puede definir de la siguiente manera: Cada tabla T de forma se puede interpretar como una secuencia de particiones. ${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda }$

donde define la forma oblicua con contenido i en T . Entonces ${\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i}}$

${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha )}$

dónde

${\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}$

y el producto se toma sólo sobre todas las cajas s tales que s tiene una caja en la misma fila, pero no en la misma columna.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda /\mu }$

Cuando la función Jack es un múltiplo escalar del polinomio de Schur${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

dónde

${\displaystyle H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)}$

es el producto de todas las longitudes de gancho de .${\displaystyle \kappa }$

Si la partición tiene más partes que el número de variables, entonces la función Jack es 0:

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0,{\mbox{ if }}\kappa _{m+1}>0.}$

En algunos textos, especialmente en teoría de matrices aleatorias, los autores han considerado más conveniente utilizar un argumento matricial en la función Jack. La conexión es simple. Si es una matriz con valores propios , entonces ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).}$

• Demmel, James ; Koev, Plamen (2006), "Evaluación precisa y eficiente de las funciones de Schur y Jack", Mathematics of Computation , 75 (253): 223–239, CiteSeerX  10.1.1.134.5248 , doi :10.1090/S0025-5718-05-01780-1, MR  2176397.
• Jack, Henry (1970–1971), "Una clase de polinomios simétricos con un parámetro", Actas de la Royal Society of Edinburgh , Sección A. Matemáticas, 69 : 1–18, MR  0289462.
• Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (19 de marzo de 1997), "Una recursión y una fórmula combinatoria para polinomios de Jack", Inventiones Mathematicae , 128 (1): 9–22, arXiv : q-alg/9610016 , Bibcode :1997InMat.128....9K, doi :10.1007/s002220050134, S2CID  7188322
• Macdonald, IG (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , Oxford Mathematical Monographs (2.ª ed.), Nueva York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, Sr.  1354144
• Stanley, Richard P. (1989), "Algunas propiedades combinatorias de las funciones simétricas de Jack", Advances in Mathematics , 77 (1): 76–115, doi : 10.1016/0001-8708(89)90015-7 , MR  1014073.

• Software para calcular la función Jack de Plamen Koev y Alan Edelman.
• MOPS: Polinomios ortogonales multivariados (simbólicamente) (paquete Maple) Archivado el 20 de junio de 2010 en Wayback Machine.
• Documentación de SAGE para funciones simétricas de Jack