Sistema de enganche

En matemáticas , el sistema integrable de Hitchin es un sistema integrable que depende de la elección de un grupo reductivo complejo y una superficie de Riemann compacta , introducido por Nigel Hitchin en 1987. Se encuentra en la encrucijada de la geometría algebraica , la teoría de las álgebras de Lie y la teoría de sistemas integrables . También juega un papel importante en la correspondencia geométrica de Langlands sobre el cuerpo de números complejos a través de la teoría de cuerpos conformes .

Un análogo de género cero del sistema de Hitchin, el sistema de Garnier , fue descubierto por René Garnier algo antes como un cierto límite de las ecuaciones de Schlesinger , y Garnier resolvió su sistema definiendo curvas espectrales. (El sistema de Garnier es el límite clásico del modelo de Gaudin . A su vez, las ecuaciones de Schlesinger son el límite clásico de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov ).

Casi todos los sistemas integrables de la mecánica clásica pueden obtenerse como casos particulares del sistema de Hitchin o su generalización común definida por Bottacin y Markman en 1994.

Utilizando el lenguaje de la geometría algebraica, el espacio de fases del sistema es una compactificación parcial del fibrado cotangente al espacio de módulos de los fibrados G estables para algún grupo reductivo G , en alguna curva algebraica compacta . Este espacio está dotado de una forma simpléctica canónica . Supóngase para simplificar que , el grupo lineal general ; entonces los hamiltonianos pueden describirse de la siguiente manera: el espacio tangente al espacio de módulos de los fibrados G en el fibrado F es ${\displaystyle G=\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H^{1}(\operatorname {Fin} (F)),}$

que por la dualidad de Serre es dual a

${\displaystyle \Phi \in H^{0}(\operatorname {Fin} (F)\otimes K),}$

¿Dónde está el haz canónico , entonces un par? ${\estilo de visualización K}$

${\estilo de visualización (F,\Phi )}$

llamado par de Hitchin o fibrado de Higgs , define un punto en el fibrado cotangente.

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Phi ^{k}),\qquad k=1,\ldots ,\operatorname {rango} (G)}$

se obtienen elementos en

${\displaystyle H^{0}(K^{\otimes k}),}$

que es un espacio vectorial que no depende de . Por lo tanto, tomando cualquier base en estos espacios vectoriales, obtenemos funciones H _i , que son hamiltonianas de Hitchin. La construcción para el grupo reductivo general es similar y utiliza polinomios invariantes en el álgebra de Lie de  G .${\estilo de visualización (F,\Phi )}$

Por razones triviales, estas funciones son algebraicamente independientes y algunos cálculos muestran que su número es exactamente la mitad de la dimensión del espacio de fases. La parte no trivial es una prueba de la conmutatividad de Poisson de estas funciones. Por lo tanto, definen un sistema integrable en el sentido simpléctico o de Arnold-Liouville .

La fibración de Hitchin es la aplicación del espacio de módulos de pares de Hitchin a polinomios característicos , un análogo de género superior de la aplicación que Garnier utilizó para definir las curvas espectrales. Ngô (2006, 2010) utilizó fibraciones de Hitchin sobre cuerpos finitos en su prueba del lema fundamental .

Para ser más precisos, la versión de la fibración de Hitchin que es utilizada por Ngô tiene como fuente la pila de módulos de pares de Hitchin, en lugar del espacio de módulos. Sea el álgebra de Lie del grupo algebraico reductivo . Tenemos la acción adjunta de sobre . Podemos entonces tomar el cociente de pila y el cociente GIT , y hay un morfismo natural . También existe la acción de escalamiento natural del grupo multiplicativo sobre , que desciende a los cocientes de pila y GIT. Además, el morfismo es equivariante con respecto a las -acciones. Por lo tanto, dado cualquier fibrado de líneas en nuestra curva , podemos torcer el morfismo por el - torsor , y obtener un morfismo de pilas sobre . Finalmente, la pila de módulos de los fibrados de Higgs -torcidos se recupera como la pila de secciones ; la base de Hitchin correspondiente se recupera como , que está representada por un espacio vectorial; y el morfismo de Hitchin en el nivel de pila es simplemente el morfismo inducido por el morfismo anterior. Nótese que esta definición no es relevante para la semiestabilidad. Para obtener la fibración de Hitchin mencionada anteriormente, necesitamos tomar como el fibrado canónico, restringir a la parte semiestable de , y luego tomar el morfismo inducido en el espacio de módulos. Para ser aún más precisos, la versión de que es utilizada por Ngô a menudo tiene la restricción de que , por lo que no puede ser el fibrado canónico. Esta condición se agrega para garantizar que la topología del morfismo de Hitchin esté, en un sentido preciso , determinada por su restricción a la parte suave, véase (Chaudouard & Laumon 2016) para el caso del fibrado vectorial.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\!/G}$${\displaystyle \chi :{\mathfrak {g}}/G\to {\mathfrak {g}}/\!/G}$${\displaystyle \mathbb {G}_{m}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\estilo de visualización \chi}$${\displaystyle \mathbb {G}_{m}}$ ${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización \chi}$${\displaystyle \mathbb {G}_{m}}$${\displaystyle \chi_{L}:({\mathfrak {g}}/G)_{L}\to ({\mathfrak {g}}/\!/G)_{L}}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle Higgs=Sect(C,({\mathfrak {g}}/G)_{L})}$${\displaystyle A(C,L):=Sect(C,({\mathfrak {g}}/\!/G)_{L})}$${\displaystyle h:Higgs\to A(C,L)}$${\displaystyle \chi_{L}}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle Higgs}$${\displaystyle Higgs}$${\displaystyle \deg(L)\geq 2g}$

• Ecuaciones de Yang-Mills
• haz de Higgs
• Correspondencia nobeliana de Hodge
• Variedad de personajes
• Ecuaciones de Hitchin

• Chudnovsky, DV (1979), "Sistemas Schlesinger simplificados", Lettere al Nuovo Cimento , 26 (14): 423–427, doi :10.1007/BF02817023, S2CID  122196561
• Garnier, René (1919), "Sur une classe de systemes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires", Rend. Circo. Estera. Palermo , 43 : 155–191, doi : 10.1007/BF03014668, S2CID  120557738
• Hitchin, Nigel (1987), "Paquetes estables y sistemas integrables", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 91–114, doi :10.1215/S0012-7094-87-05408-1
• Ngô, Bao Châu (2006), "Fibration de Hitchin et Structure endoscopique de la formule des traces" (PDF) , Congreso Internacional de Matemáticos. vol. II , Eur. Matemáticas. Soc., Zúrich, págs. 1213-1225, MR  2275642
• Ngô, Bao Châu (2010), "Fibración de Hitchin y endoscopia", Inventiones Mathematicae , 164 (2): 399–453, arXiv : math/0406599 , Bibcode :2006InMat.164..399N, doi :10.1007/s00222-005-0483-7, ISSN  0020-9910, MR  2218781, S2CID  52064585
• Chaudouard, Pierre-Henri; Laumon, Gérard (2016), "Un théorème du support pour la fibration de Hitchin", Annales de l'Institut Fourier , vol. 66, núm. 2, págs. 711–727