Matriz de Hasse-Witt

En matemáticas , la matriz de Hasse-Witt H de una curva algebraica no singular C sobre un cuerpo finito F es la matriz de la función de Frobenius ( función de potencia p -ésima donde F tiene q elementos, q una potencia del número primo p ) respecto de una base para las diferenciales de primera especie . Es una matriz g × g donde C tiene género g . El rango de la matriz de Hasse-Witt es el invariante de Hasse o Hasse-Witt .

Esta definición, tal como se da en la introducción, es natural en términos clásicos, y se debe a Helmut Hasse y Ernst Witt (1936). Proporciona una solución a la cuestión del p -rango de la variedad jacobiana J de C ; el p -rango está limitado por el rango de H , específicamente es el rango de la función de Frobenius compuesta consigo misma g veces. También es una definición que es en principio algorítmica. Recientemente ha habido un interés sustancial en esto como de aplicación práctica a la criptografía , en el caso de C una curva hiperelíptica . La curva C es superespecial si H = 0.

Esa definición necesita un par de salvedades, al menos. En primer lugar, hay una convención sobre las aplicaciones de Frobenius, y bajo la comprensión moderna lo que se requiere para H es la transpuesta de Frobenius (ver Frobenius aritmético y geométrico para más discusión). En segundo lugar, la aplicación de Frobenius no es F -lineal; es lineal sobre el cuerpo primo Z / p Z en F . Por lo tanto, la matriz se puede escribir pero no representa una aplicación lineal en el sentido directo.

La interpretación de la cohomología de haces es la siguiente: el mapa de potencia p actúa sobre

H1 ( C , OC ₎ ,^​

o en otras palabras, la primera cohomología de C con coeficientes en su haz de estructura . Esto ahora se llama operador de Cartier-Manin (a veces simplemente operador de Cartier ), para Pierre Cartier y Yuri Manin . La conexión con la definición de Hasse-Witt es por medio de la dualidad de Serre , que para una curva relaciona ese grupo con

H0 ( C , _ΩC )^​

donde Ω _C = Ω ¹ _C es el haz de diferenciales de Kähler en C .

El p -rango de una variedad abeliana A sobre un cuerpo K de característica p es el entero k para el cual el núcleo A [ p ] de la multiplicación por p tiene p ^k puntos. Puede tomar cualquier valor de 0 a d , la dimensión de A ; por el contrario, para cualquier otro número primo l hay l ^{2 d} puntos en A [ l ]. La razón por la que el p -rango es menor es que la multiplicación por p sobre A es una isogenia inseparable: la diferencial es p que es 0 en K . Al observar el núcleo como un esquema de grupo se puede obtener la estructura más completa (referencia David Mumford Abelian Varieties pp. 146-7); pero si, por ejemplo, se observa la reducción mod p de una ecuación de división, el número de soluciones debe disminuir.

El rango del operador de Cartier-Manin, o matriz de Hasse-Witt, proporciona por tanto un límite superior para el p -rango. El p -rango es el rango del operador de Frobenius compuesto consigo mismo g veces. En el artículo original de Hasse y Witt el problema se formula en términos intrínsecos a C , sin depender de J . Se trata de clasificar las posibles extensiones Artin-Schreier del campo de funciones F ( C ) (el análogo en este caso de la teoría de Kummer ).

El caso de las curvas elípticas fue elaborado por Hasse en 1934. Como el género es 1, las únicas posibilidades para la matriz H son: H es cero, invariante de Hasse 0, p -rango 0, el caso supersingular ; o H no cero, invariante de Hasse 1, p -rango 1, el caso ordinario ^{. [1]} Aquí hay una fórmula de congruencia que dice que H es congruente módulo p con el número N de puntos en C sobre F , al menos cuando q = p . Debido al teorema de Hasse sobre curvas elípticas , conocer N módulo p determina N para p ≥ 5. Esta conexión con las funciones zeta locales se ha investigado en profundidad.

Para una curva plana definida por una f cúbica f ( X , Y , Z ) = 0, el invariante de Hasse es cero si y sólo si el coeficiente de ( XYZ ) ^{p −1} en f ^{p −1} es cero. ^[1]

• Hasse, Helmut (1934). "Existenz separabler zyklischer unverzweigter Erweiterungskörper vom Primzahlgrad p über elliptischen Funktionenkörpern der Charakteristik p ". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 172 : 77–85. doi :10.1515/crll.1935.172.77. JFM  60.0910.02. Zbl  0010.14803.
• Hasse, Helmut; Witt, Ernst (1936). "Zyklische unverzweigte Erweiterungskörper vom Primzahlgrad p über einem algebraischen Funktionenkörper der Charakteristik p ". Monatshefte für Mathematik und Physik . 43 : 477–492. doi :10.1515/9783110835007.202. JFM  62.0112.01. Zbl  0013.34102.
• Manin, Ju. I. (1965). "La matriz de Hasse–Witt de una curva algebraica". Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc . 45 : 245–246. ISSN  0065-9290. Zbl  0148.28002.(Traducción al inglés de un original ruso)