Función zeta de Hasse-Weil

En matemáticas , la función zeta de Hasse–Weil asociada a una variedad algebraica V definida sobre un cuerpo de números algebraicos K es una función meromórfica en el plano complejo definida en términos del número de puntos en la variedad después de reducir módulo cada número primo p . Es una función L global definida como un producto de Euler de funciones zeta locales .

Las funciones L de Hasse-Weil forman una de las dos clases principales de funciones L globales , junto con las funciones L asociadas a representaciones automórficas . Conjeturalmente, estos dos tipos de funciones L globales son en realidad dos descripciones del mismo tipo de función L global ; esto sería una vasta generalización de la conjetura de Taniyama-Weil , en sí misma un resultado importante en la teoría de números .

Para una curva elíptica sobre un cuerpo numérico K , la función zeta de Hasse-Weil está relacionada conjeturalmente con el grupo de puntos racionales de la curva elíptica sobre K por la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer .

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La descripción de la función zeta de Hasse-Weil hasta un número finito de factores de su producto de Euler es relativamente sencilla. Esto sigue las sugerencias iniciales de Helmut Hasse y André Weil , motivadas por la función zeta de Riemann , que resulta del caso en que V es un único punto. ^[1]

Tomando el caso de K el cuerpo de números racionales , y V una variedad proyectiva no singular , podemos para casi todos los números primos p considerar la reducción de V módulo p , una variedad algebraica V _p sobre el cuerpo finito con p elementos, simplemente reduciendo ecuaciones para V . Esquemáticamente-teóricamente, esta reducción es simplemente el pullback del modelo de Néron de V a lo largo de la función canónica Spec → Spec . Nuevamente para casi todos los p será no singular. Definimos una serie de Dirichlet de la variable compleja s ,${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)=\prod _{p}Z_{V\!,\,p}(p^{-s}),}$

que es el producto infinito de las funciones zeta locales

${\displaystyle Z_{V\!,\,p}(p^{-s})=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(p^{-s})^{k}\right)}$

donde N _k es el número de puntos de V definidos sobre la extensión del campo finito de .${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Esto está bien definido sólo hasta la multiplicación por funciones racionales para un número finito de primos p .${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)}$${\displaystyle p^{-s}}$

Dado que la indeterminación es relativamente inofensiva y tiene continuación meromórfica en todas partes, hay un sentido en el que las propiedades de Z(s) no dependen esencialmente de ella. En particular, mientras que la forma exacta de la ecuación funcional para Z ( s ), reflejada en una línea vertical en el plano complejo, dependerá definitivamente de los factores "faltantes", la existencia de alguna ecuación funcional de ese tipo no depende de ello.

Una definición más refinada se hizo posible con el desarrollo de la cohomología étale ; esto explica claramente qué hacer con los factores faltantes, "mala reducción". De acuerdo con los principios generales visibles en la teoría de ramificación , los primos "malos" llevan buena información (teoría del conductor ). Esto se manifiesta en la teoría étale en el criterio de Ogg-Néron-Shafarevich para buena reducción ; es decir, que hay buena reducción, en un sentido definido, en todos los primos p para los cuales la representación de Galois ρ en los grupos de cohomología étale de V no está ramificada . Para ellos, la definición de función zeta local se puede recuperar en términos del polinomio característico de

${\displaystyle \rho (\operatorname {Frob} (p)),}$

Frob( p ) es un elemento de Frobenius para p . Lo que sucede en el p ramificado es que ρ no es trivial en el grupo de inercia I ( p ) para p . En esos primos la definición debe ser 'corregida', tomando el cociente más grande de la representación ρ en la que actúa el grupo de inercia por la representación trivial . Con este refinamiento, la definición de Z ( s ) puede actualizarse con éxito de 'casi todo' p a todos los p que participan en el producto de Euler. Las consecuencias para la ecuación funcional fueron elaboradas por Serre y Deligne a finales de la década de 1960; la ecuación funcional en sí no ha sido probada en general.

La conjetura de Hasse-Weil establece que la función zeta de Hasse-Weil debería extenderse a una función meromórfica para todos los complejos s , y debería satisfacer una ecuación funcional similar a la de la función zeta de Riemann . Para curvas elípticas sobre los números racionales, la conjetura de Hasse-Weil se desprende del teorema de modularidad . ^{[ cita requerida ]}

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer establece que el rango del grupo abeliano E ( K ) de puntos de una curva elíptica E es el orden del cero de la función L de Hasse-Weil L ( E ,  s ) en s = 1, y que el primer coeficiente distinto de cero en la expansión de Taylor de L ( E ,  s ) en s = 1 está dado por datos aritméticos más refinados asociados a E sobre K . ^[2] La conjetura es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio enumerados por el Clay Mathematics Institute , que ha ofrecido un premio de $1,000,000 para la primera prueba correcta. ^[3]

Una curva elíptica es un tipo específico de variedad. Sea E una curva elíptica sobre Q del conductor N . Entonces, E tiene buena reducción en todos los primos p que no dividen a N , tiene reducción multiplicativa en los primos p que dividen exactamente a N (es decir, tales que p divide a N , pero p ² no lo hace; esto se escribe p || N ), y tiene reducción aditiva en otros lugares (es decir, en los primos donde p ² divide a N ). La función zeta de Hasse-Weil de E toma entonces la forma

${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(E,s)}}.\,}$

Aquí, ζ( s ) es la función zeta de Riemann habitual y L ( E , s ) se denomina función L de E / Q , que toma la forma ^[4]

${\displaystyle L(E,s)=\prod _{p}L_{p}(E,s)^{-1}\,}$

donde, para un primo dado p ,

${\displaystyle L_{p}(E,s)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\mid N{\text{ and }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{if }}p^{2}\mid N\end{cases}}}$

donde en el caso de una buena reducción a _p es p  + 1 − (número de puntos de E  mod  p ), y en el caso de una reducción multiplicativa a _p es ±1 dependiendo de si E tiene reducción multiplicativa dividida (signo más) o no dividida (signo menos) en  p . Se dice que una reducción multiplicativa de la curva E por el primo p está dividida si -c ₆ es un cuadrado en el cuerpo finito con p elementos. ^[5]

Existe una relación útil que no utiliza el conductor:

1. Si p no divide (donde es el discriminante de la curva elíptica) entonces E tiene una buena reducción en p .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$

2. Si p divide pero no entonces E tiene mala reducción multiplicativa en p .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle c_{4}}$

3. Si p divide a ambos y entonces E tiene mala reducción aditiva en p .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle c_{4}}$

• Función aritmética zeta

• J.-P. Serre , Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (définitions et conjectures) , 1969/1970, Sém. Delange–Pisot–Poitou, exposición 19