Problema del momento de la hamburguesa

En matemáticas , el problema del momento de hamburguesa , llamado así en honor a Hans Ludwig Hamburger , se formula de la siguiente manera: dada una secuencia ( m ₀ , m ₁ , m ₂ , ...), ¿existe una medida de Borel positiva μ (por ejemplo, la medida determinada por la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria ) en la línea real tal que

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x){\text{ ?}}}$

En otras palabras, una respuesta afirmativa al problema significa que ( m ₀ , m ₁ , m ₂ , ...) es la secuencia de momentos de alguna medida de Borel positiva  μ .

El problema del momento de Stieltjes , el problema del momento de Vorobyev y el problema del momento de Hausdorff son similares, pero reemplazan la línea real por (Stieltjes y Vorobyev; pero Vorobyev formula el problema en términos de la teoría de matrices) o un intervalo acotado (Hausdorff).${\displaystyle [0,+\infty )}$

El problema del momento de hamburguesa se puede resolver (es decir, ( m _n ) es una secuencia de momentos ) si y solo si el núcleo de Hankel correspondiente en los números enteros no negativos

${\displaystyle A=\left({\begin{matriz}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matriz}}\right)}$

es definida positiva , es decir,

${\displaystyle \sum_{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}\geq 0}$

para cada secuencia arbitraria ( c _j ) _{j ≥ 0} de números complejos que son finitarios (es decir, c _j  = 0 excepto para un número finito de valores de  j ).

Para la parte "sólo si" de las reclamaciones, simplemente tenga en cuenta que

${\displaystyle \sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left |\sum _{j\geq 0}c_{j}x^{j}\right|^{2}\,d\mu (x)}$

que no es negativo si no es negativo.${\estilo de visualización \mu}$

Esbozamos un argumento para la inversa. Sea Z ⁺ los enteros no negativos y F ₀ ( Z ⁺ ) denote la familia de secuencias de valores complejos con soporte finito. El núcleo de Hankel positivo A induce un producto sesquilineal (posiblemente degenerado) en la familia de secuencias de valores complejos con soporte finito. Esto a su vez da un espacio de Hilbert

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$

cuyo elemento típico es una clase de equivalencia denotada por [ f ].

Sea e _n el elemento en F ₀ ( Z ⁺ ) definido por e _n ( m ) = δ _nm . Se observa que

${\displaystyle \langle [e_ {n+1}],[e_ {m}]\rangle =A_ {m,n+1}=m_ {m+n+1}=\langle [e_ {n}], [e_ {m+1}]\rangle.}$

Por lo tanto, el operador de desplazamiento T en , con T [ e _n ] = [ e _{n  + 1} ], es simétrico .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Por otra parte, la expresión deseada

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$

sugiere que μ es la medida espectral de un operador autoadjunto . (Más precisamente, μ es la medida espectral para un operador definido a continuación y el vector [1], (Reed & Simon 1975, p. 145)). Si podemos encontrar un "modelo de función" tal que el operador simétrico T sea la multiplicación por  x , entonces la resolución espectral de una extensión autoadjunta de T prueba la afirmación.${\displaystyle {\overline {T}}}$

Un modelo de función viene dado por el isomorfismo natural de F ₀ ( Z ⁺ ) a la familia de polinomios , en una sola variable real y coeficientes complejos: para n  ≥ 0, identificar e _n con x ⁿ . En el modelo, el operador T es la multiplicación por x y un operador simétrico densamente definido. Se puede demostrar que T siempre tiene extensiones autoadjuntas. Sea una de ellas y μ su medida espectral. Por lo tanto${\displaystyle {\overline {T}}}$

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\int x^{n}d\mu (x).}$

Por otro lado,

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_ {norte}.}$

Para una prueba alternativa de la existencia que sólo utiliza integrales de Stieltjes , véase también ^[1] , en particular el teorema 3.2.

Las soluciones forman un conjunto convexo, por lo que el problema tiene infinitas soluciones o una solución única.

Considere la matriz de Hankel ( n  + 1) × ( n  + 1)

${\displaystyle \Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right].}$

La positividad de A significa que para cada n , det(Δ _n ) ≥ 0. Si det(Δ _n ) = 0, para algún  n , entonces

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$

es de dimensión finita y T es autoadjunto. Por lo tanto, en este caso, la solución al problema del momento de Hamburger es única y μ , al ser la medida espectral de T , tiene un soporte finito.

De manera más general, la solución es única si hay constantes C y D tales que para todo n , | m _n | ≤ CD ⁿ n ! (Reed y Simon 1975, pág. 205). Esto se desprende de la condición más general de Carleman .

Hay ejemplos en los que la solución no es única; véase por ejemplo ^[2].

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Se puede observar que el problema del momento de Hamburger está íntimamente relacionado con los polinomios ortogonales en la línea real. El procedimiento de Gram-Schmidt proporciona una base de polinomios ortogonales en la que el operador: tiene una representación matricial de Jacobi tridiagonal . Esto a su vez conduce a un modelo tridiagonal de núcleos de Hankel positivos.${\displaystyle {\overline {T}}}$

Un cálculo explícito de la transformada de Cayley de T muestra la conexión con lo que se denomina la clase Nevanlinna de funciones analíticas en el semiplano izquierdo. Pasando al contexto no conmutativo, esto motiva la fórmula de Kerin que parametriza las extensiones de isometrías parciales.

La función de distribución acumulativa y la función de densidad de probabilidad a menudo se pueden encontrar aplicando la transformada de Laplace inversa a la función generadora de momentos.

${\displaystyle m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}},}$

siempre que esta función converja.

• Chihara, TS (1978), Introducción a los polinomios ortogonales , Gordon y Breach, Science Publishers, ISBN 0-677-04150-0
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Análisis de Fourier, autoadjunción , Métodos de física matemática moderna, vol. 2, Academic Press, págs. 145, 205, ISBN 0-12-585002-6
• Shohat, JA; Tamarkin, JD (1943), El problema de los momentos , Nueva York: American mathematics society, ISBN 0-8218-1501-6.