Centro de orientación

En física , el movimiento de una partícula cargada eléctricamente, como un electrón o un ion en un plasma en un campo magnético, puede considerarse como la superposición de un movimiento circular relativamente rápido alrededor de un punto llamado centro guía y una deriva relativamente lenta de este punto. Las velocidades de deriva pueden diferir para varias especies según sus estados de carga, masas o temperaturas, lo que puede dar lugar a corrientes eléctricas o separación química.

Si el campo magnético es uniforme y no existen otras fuerzas, la fuerza de Lorentz hará que una partícula experimente una aceleración constante perpendicular tanto a la velocidad de la partícula como al campo magnético. Esto no afecta el movimiento de la partícula paralelo al campo magnético, sino que da como resultado un movimiento circular a velocidad constante en el plano perpendicular al campo magnético. Este movimiento circular se conoce como giromovimiento . Para una partícula con masa y carga que se mueve en un campo magnético con fuerza , tiene una frecuencia, llamada girofrecuencia o frecuencia de ciclotrón , de${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización B}$$${\displaystyle \omega _{\rm {c}}={\frac {|q|B}{m}}.}$$

Para una velocidad perpendicular al campo magnético de , el radio de la órbita, llamado radio de giro o radio de Larmor, es${\displaystyle v_{\perp}}$$${\displaystyle \rho _{\rm {L}}={\frac {v_{\perp }}{\omega _{\rm {c}}}}.}$$

Como la fuerza magnética de Lorentz es siempre perpendicular al campo magnético, no tiene influencia (en el orden más bajo) en el movimiento paralelo. En un campo uniforme sin fuerzas adicionales, una partícula cargada girará alrededor del campo magnético según el componente perpendicular de su velocidad y se desplazará paralelamente al campo según su velocidad paralela inicial, lo que da como resultado una órbita helicoidal . Si hay una fuerza con un componente paralelo, la partícula y su centro guía se acelerarán correspondientemente.

Si el campo tiene un gradiente paralelo, una partícula con un radio de Larmor finito también experimentará una fuerza en la dirección opuesta al campo magnético más grande. Este efecto se conoce como el espejo magnético . Si bien está estrechamente relacionado con las derivas centrales de guía en su física y matemáticas, se considera que es distinto de ellas.

En términos generales, cuando hay una fuerza sobre las partículas perpendicular al campo magnético, entonces se desplazan en una dirección perpendicular tanto a la fuerza como al campo. Si es la fuerza sobre una partícula, entonces la velocidad de desplazamiento es${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{f}={\frac {1}{q}}{\frac {{\boldsymbol {F}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}.}$$

Estas derivas, en contraste con el efecto espejo y las derivas B no uniformes , no dependen del radio de Larmor finito, sino que también están presentes en plasmas fríos. Esto puede parecer contraintuitivo. Si una partícula está estacionaria cuando se activa una fuerza, ¿de dónde proviene el movimiento perpendicular a la fuerza y ​​por qué la fuerza no produce un movimiento paralelo a sí misma? La respuesta es la interacción con el campo magnético. La fuerza inicialmente da como resultado una aceleración paralela a sí misma, pero el campo magnético desvía el movimiento resultante en la dirección de la deriva. Una vez que la partícula se mueve en la dirección de la deriva, el campo magnético la desvía de vuelta contra la fuerza externa, de modo que la aceleración promedio en la dirección de la fuerza es cero. Sin embargo, hay un desplazamiento único en la dirección de la fuerza igual a ( f / m ) ω _c ⁻² , que debe considerarse una consecuencia de la deriva de polarización (ver más abajo) mientras se activa la fuerza. El movimiento resultante es un cicloide . De manera más general, la superposición de un giro y una deriva perpendicular uniforme es una trocoide .

Todas las derivas pueden considerarse casos especiales de la deriva de fuerza, aunque esta no es siempre la forma más útil de pensar en ellas. Los casos obvios son las fuerzas eléctricas y gravitacionales. La deriva grad-B puede considerarse como resultado de la fuerza sobre un dipolo magnético en un gradiente de campo. Las derivas de curvatura, inercia y polarización resultan de tratar la aceleración de la partícula como fuerzas ficticias . La deriva diamagnética puede derivarse de la fuerza debida a un gradiente de presión. Finalmente, otras fuerzas como la presión de radiación y las colisiones también resultan en derivas.

Un ejemplo sencillo de una fuerza de deriva es un plasma en un campo gravitatorio, por ejemplo, la ionosfera . La velocidad de deriva es$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{g}={\frac {m}{q}}{\frac {{\boldsymbol {g}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}}$$

Debido a la dependencia de la masa, normalmente se puede ignorar la deriva gravitacional de los electrones.

La dependencia de la carga de la partícula implica que la dirección de deriva es opuesta para los iones y para los electrones, lo que da lugar a una corriente. En una imagen fluida, es esta corriente cruzada con el campo magnético la que proporciona esa fuerza que contrarresta la fuerza aplicada.

Esta deriva, a menudo llamada deriva ( E -cross- B ), es un caso especial porque la fuerza eléctrica sobre una partícula depende de su carga (a diferencia, por ejemplo, de la fuerza gravitacional considerada anteriormente). Como resultado, los iones (de cualquier masa y carga) y los electrones se mueven en la misma dirección a la misma velocidad, por lo que no hay corriente neta (suponiendo que el plasma es casi neutro ). En el contexto de la relatividad especial , en el marco que se mueve con esta velocidad, el campo eléctrico se desvanece. El valor de la velocidad de deriva está dado por${\displaystyle {\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{E}={\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}}$$

Si el campo eléctrico no es uniforme, la fórmula anterior se modifica para leer ^[1]$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{E}=\left(1+{\frac {1}{4}}\rho _{\rm {L}}^{2}\nabla ^{2}\right){\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}}$$

Las derivas del centro de guía también pueden resultar no sólo de fuerzas externas sino también de faltas de uniformidad en el campo magnético. Es conveniente expresar estas derivas en términos de energías cinéticas paralelas y perpendiculares.$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\|}&={\tfrac {1}{2}}mv_{\|}^{2}\\[1ex]K_{\perp }&={\tfrac {1}{2}}mv_{\perp }^{2}\end{aligned}}}$$

En ese caso, se elimina la dependencia explícita de la masa. Si los iones y los electrones tienen temperaturas similares, entonces también tienen velocidades de deriva similares, aunque en direcciones opuestas.

Cuando una partícula se mueve dentro de un campo magnético más grande, la curvatura de su órbita se vuelve más cerrada, transformando la órbita circular en una cicloide . La velocidad de deriva es$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\nabla B}={\frac {K_{\perp }}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {B}}\times \nabla B}{B^{2}}}}$$

Para que una partícula cargada siga una línea de campo curva, necesita una velocidad de deriva fuera del plano de curvatura para proporcionar la fuerza centrípeta necesaria . Esta velocidad es donde es el radio de curvatura que apunta hacia afuera, lejos del centro del arco circular que mejor se aproxima a la curva en ese punto. donde es el vector unitario en la dirección del campo magnético. Esta deriva se puede descomponer en la suma de la deriva de curvatura y el término$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}={\frac {2K_{\|}}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {R}}_{c}\times {\boldsymbol {B}}}{R_{c}^{2}B}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{c}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\rm {inertial}}={\frac {v_{\parallel }}{\omega _{c}}}\,{\hat {\boldsymbol {b}}}\times {\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\mathrm {d} t}},}$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {b}}}={\boldsymbol {B}}/B}$$${\displaystyle {\frac {v_{\|}}{\omega _{c}}}\,{\hat {\boldsymbol {b}}}\times \left[{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}_{E}\cdot \nabla {\hat {\boldsymbol {b}}})\right].}$$

En el límite importante del campo magnético estacionario y del campo eléctrico débil, la deriva inercial está dominada por el término de deriva de curvatura.

En el límite de la pequeña presión del plasma, las ecuaciones de Maxwell proporcionan una relación entre el gradiente y la curvatura que permite combinar las derivas correspondientes de la siguiente manera$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}+{\boldsymbol {v}}_{\nabla B}={\frac {2K_{\|}+K_{\perp }}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {R}}_{c}\times {\boldsymbol {B}}}{R_{c}^{2}B}}}$$

Para una especie en equilibrio térmico , se puede reemplazar por ( para y para ).${\displaystyle 2K_{\|}+K_{\perp }}$${\displaystyle 2k_{\text{B}}T}$${\displaystyle k_{\text{B}}T/2}$${\displaystyle K_{\|}}$${\displaystyle k_{\text{B}}T}$${\displaystyle K_{\perp }}$

La expresión para la deriva de grad-B anterior se puede reescribir para el caso en que se debe a la curvatura. Esto se hace más fácilmente teniendo en cuenta que en el vacío, la Ley de Ampere es . En coordenadas cilíndricas elegidas de manera que la dirección azimutal sea paralela al campo magnético y la dirección radial sea paralela al gradiente del campo, esto se convierte en${\displaystyle \nabla B}$${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {B}}=0}$$${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {B}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rB_{\theta }\right){\hat {z}}=0}$$

Dado que es una constante, esto implica que y la velocidad de deriva grad-B se puede escribir${\displaystyle rB_{\theta }}$$${\displaystyle \nabla B=-B{\frac {{\boldsymbol {R}}_{c}}{R_{c}^{2}}}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\nabla B}=-{\frac {K_{\perp }}{q}}{\frac {{\boldsymbol {B}}\times {\boldsymbol {R}}_{c}}{R_{c}^{2}B^{2}}}}$$

Un campo eléctrico que varía en el tiempo también da como resultado una deriva dada por$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{p}={\frac {m}{qB^{2}}}{\frac {d{\boldsymbol {E}}}{dt}}}$$

Obviamente, esta deriva es diferente de las demás en que no puede continuar indefinidamente. Normalmente, un campo eléctrico oscilatorio produce una deriva de polarización que oscila 90 grados fuera de fase. Debido a la dependencia de la masa, este efecto también se denomina deriva de inercia . Normalmente, la deriva de polarización se puede despreciar en el caso de los electrones debido a su masa relativamente pequeña.

La deriva diamagnética no es en realidad una deriva del centro guía. Un gradiente de presión no hace que ninguna partícula se desplace. Sin embargo, la velocidad del fluido se define contando las partículas que se mueven a través de un área de referencia, y un gradiente de presión da como resultado más partículas en una dirección que en la otra. La velocidad neta del fluido está dada por

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{D}=-{\frac {\nabla p\times {\boldsymbol {B}}}{qnB^{2}}}}$$

Con la importante excepción de la deriva, las velocidades de deriva de partículas con cargas diferentes serán diferentes. Esta diferencia de velocidades genera una corriente, mientras que la dependencia de la masa de la velocidad de deriva puede dar lugar a una separación química.${\displaystyle {\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}$

• Northrop, Theodore G (1961). "La aproximación del centro guía al movimiento de partículas cargadas" (PDF) . Anales de Física . 15 (1): 79–101. doi :10.1016/0003-4916(61)90167-1.
• Blank, HJ de (2004). "Guiding Center Motion". Ciencia y tecnología de fusión . 61 (2T): 61–68. doi :10.13182/FST04-A468. ISSN  1536-1055.
• Alfvén, Hannes (1981). Plasma cósmico. Dordrecht, Holanda: D. Reidel Pub. ISBN del condado 90-277-1151-8.OCLC 7170848  .
• Sulem, PL (2005). Introducción a la teoría del centro rector. Vol. 46. págs. 109–149. ISBN 9780821837238. Recuperado el 22 de octubre de 2014 . {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )