Módulo Verma generalizado

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En matemáticas , los módulos de Verma generalizados son una generalización de un módulo de Verma (verdadero) , ^[1] y son objetos en la teoría de representación de las álgebras de Lie . Fueron estudiados originalmente por James Lepowsky en la década de 1970. La motivación para su estudio es que sus homomorfismos corresponden a operadores diferenciales invariantes sobre variedades de banderas generalizadas . El estudio de estos operadores es una parte importante de la teoría de las geometrías parabólicas.

Sea un álgebra de Lie semisimple y un subálgebra parabólica de . Para cualquier representación finito-dimensional irreducible de definimos el módulo de Verma generalizado como el producto tensorial relativo${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(V):={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {p}})}V}$.

La acción de es multiplicar por la izquierda en .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$

Si λ es el peso más alto de V, a veces denotamos el módulo Verma como .${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

Tenga en cuenta que esto solo tiene sentido para pesos -dominantes e -integrales (ver peso ) .${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \lambda }$

Es bien sabido que una subálgebra parabólica de determina una gradación única de modo que . Sea . Del teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt se deduce que, como espacio vectorial (e incluso como módulo - y como módulo -),${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\oplus _{j=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\oplus _{j\geq 0}{\mathfrak {g}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}:=\oplus _{j<0}{\mathfrak {g}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(V)\simeq {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes V}$.

En el texto siguiente, denotaremos un módulo Verma generalizado simplemente como GVM.

Los GVM son módulos de mayor peso y su mayor peso λ es el mayor peso de la representación V. Si es el vector de mayor peso en V, entonces es el vector de mayor peso en .${\displaystyle v_{\lambda }}$${\displaystyle 1\otimes v_{\lambda }}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

Los GVM son módulos de peso , es decir, son la suma directa de sus espacios de peso y estos espacios de peso son de dimensión finita.

Como todos los módulos de mayor peso , los GVM son cocientes de los módulos de Verma. El núcleo de la proyección es${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

${\displaystyle (1)\quad K_{\lambda }:=\sum _{\alpha \in S}M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$

donde es el conjunto de aquellas raíces simples α tales que los espacios de raíces negativas de raíz están en (el conjunto S determina de manera única la subálgebra ), es la reflexión de la raíz con respecto a la raíz α y es la acción afín de sobre λ. De la teoría de los módulos de Verma (verdaderos) se deduce que es isomorfo a un submódulo único de . En (1), identificamos . La suma en (1) no es directa .${\displaystyle S\subset \Delta }$${\displaystyle -\alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\alpha }\cdot \lambda }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }}$${\displaystyle M_{\lambda }}$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$

En el caso especial cuando , la subálgebra parabólica es la subálgebra de Borel y el GVM coincide con el módulo de Verma (verdadero). En el otro caso extremo cuando , y el GVM es isomorfo a la representación inductora V.${\displaystyle S=\emptyset }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S=\Delta }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}}$

El GVM se llama regular si su peso más alto λ está en la órbita de Weyl afín de un peso dominante . En otras palabras, existe un elemento w del grupo de Weyl W tal que${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

¿Dónde está la acción afín del grupo de Weyl?${\displaystyle \cdot }$

El módulo de Verma se denomina singular si no hay un peso dominante en la órbita afín de λ. En este caso, existe un peso tal que está en la pared de la cámara de Weyl fundamental (δ es la suma de todos los pesos fundamentales ).${\displaystyle M_{\lambda }}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Por homomorfismo de GVM queremos decir -homomorfismo.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para dos pesos cualesquiera, un homomorfismo${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\rightarrow M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

pueden existir sólo si y están vinculados con una acción afín del grupo de Weyl del álgebra de Lie . Esto se deduce fácilmente del teorema de Harish-Chandra sobre caracteres centrales infinitesimales .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

A diferencia del caso de los módulos Verma (verdaderos) , los homomorfismos de los GVM en general no son inyectivos y la dimensión

${\displaystyle dim(Hom(M_{\mathfrak {p}}(\mu ),M_{\mathfrak {p}}(\lambda )))}$

Puede ser mayor que uno en algunos casos específicos.

Si es un homomorfismo de módulos de Verma (verdaderos), resp. es el núcleo de la proyección , resp. , entonces existe un homomorfismo y f se factoriza en un homomorfismo de módulos de Verma generalizados . Un homomorfismo de este tipo (que es un factor de un homomorfismo de módulos de Verma) se denomina estándar . Sin embargo, el homomorfismo estándar puede ser cero en algunos casos.${\displaystyle f:M_{\mu }\to M_{\lambda }}$${\displaystyle K_{\mu }}$${\displaystyle K_{\lambda }}$${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\mathfrak {p}}(\mu )}$${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle K_{\mu }\to K_{\lambda }}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

Supongamos que existe un homomorfismo no trivial de módulos de Verma verdaderos . Sea α el conjunto de aquellas raíces simples tales que los espacios de raíces negativas de raíz están en (como en la sección Propiedades). Lepowsky demuestra el siguiente teorema : ^[2]${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$${\displaystyle S\subset \Delta }$${\displaystyle -\alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

El homomorfismo estándar es cero si y sólo si existe tal que es isomorfo a un submódulo de ( es la reflexión raíz correspondiente y es la acción afín ).${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle \alpha \in S}$${\displaystyle M_{\mu }}$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \cdot }$

La estructura de los GVM en la órbita afín de un peso -dominante e -integral se puede describir explícitamente. Si W es el grupo de Weyl de , existe un subconjunto de tales elementos, de modo que es -dominante. Se puede demostrar que donde es el grupo de Weyl de (en particular, no depende de la elección de ). La función es una biyección entre y el conjunto de GVM con pesos más altos en la órbita afín de . Supongamos que , y en el ordenamiento de Bruhat (de lo contrario, no hay homomorfismo de módulos de Verma (verdaderos) y el homomorfismo estándar no tiene sentido, véase Homomorfismos de módulos de Verma ).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}\subset W}$${\displaystyle w\in W^{\mathfrak {p}}\Leftrightarrow w({\tilde {\lambda }})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}\simeq W_{\mathfrak {p}}\backslash W}$${\displaystyle W_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle w\in W^{\mathfrak {p}}\mapsto M_{\mathfrak {p}}(w\cdot {\tilde {\lambda }})}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle w\leq w'}$${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$

Las siguientes afirmaciones se desprenden del teorema anterior y de la estructura de :${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$

Teorema. Si para alguna raíz positiva y la longitud (ver ordenamiento de Bruhat ) l(w')=l(w)+1, entonces existe un homomorfismo estándar distinto de cero .${\displaystyle w'=s_{\gamma }w}$ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

Teorema . El homomorfismo estándar es cero si y sólo si existe tal que y .${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle w''\in W}$${\displaystyle w\leq w''\leq w'}$${\displaystyle w''\notin W^{\mathfrak {p}}}$

Sin embargo, si sólo es dominante pero no integral, aún pueden existir pesos -dominantes y -integrales en su órbita afín.${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

La situación es aún más complicada si los GVM tienen carácter singular, es decir, están y están en la órbita afín de algún tal que está en la pared de la cámara de Weyl fundamental .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Un homomorfismo se denomina no estándar si no es estándar. Puede ocurrir que el homomorfismo estándar de los GVM sea cero, pero que exista un homomorfismo no estándar.${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

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• Los campos de la teoría de campos conforme pertenecen a los módulos de Verma generalizados del álgebra conforme . ^[3]

• Módulo Verma
• Geometría parabólica

• Código para construir la resolución BGG de los módulos del álgebra de Lie y calcular su cohomología