Desigualdad isoperimétrica gaussiana

En matemáticas, la desigualdad isoperimétrica gaussiana , demostrada por Boris Tsirelson y Vladimir Sudakov, ^[1] y posteriormente de forma independiente por Christer Borell, ^[2] establece que entre todos los conjuntos de medida gaussiana dada en el espacio euclidiano n -dimensional , los semiespacios tienen la medida de frontera gaussiana mínima .

Sea un subconjunto medible de dotado de la medida gaussiana estándar con la densidad . Denote por ${\estilo de visualización \estilo de script A}$${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \gamma ^{n}}$${\displaystyle {\exp(-\|x\|^{2}/2)}/(2\pi )^{n/2}}$

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}\,|\,{\text{dist}}(x,A)\leq \varepsilon \right\}}$

la ε-extensión de A . Entonces la desigualdad isoperimétrica gaussiana establece que

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \to +0}\varepsilon ^{-1}\left\{\gamma ^{n}(A_{\varepsilon })-\gamma ^{n}(A)\right \}\geq \varphi (\Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A))),}$

dónde

${\displaystyle \varphi(t)={\frac {\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\quad {\rm {y}}\quad \Phi(t)=\int _{-\infty }^{t}\varphi(s)\,ds.}$

Las pruebas originales de Sudakov, Tsirelson y Borell se basaron en la desigualdad isoperimétrica esférica de Paul Lévy .

Sergey Bobkov demostró la desigualdad de Bobkov , una generalización funcional de la desigualdad isoperimétrica gaussiana, demostrada a partir de una cierta "desigualdad analítica de dos puntos". ^[3] Bakry y Ledoux dieron otra prueba de la desigualdad funcional de Bobkov basada en las técnicas de semigrupos que funciona en un entorno mucho más abstracto. ^[4] Más tarde, Barthe y Maurey dieron otra prueba utilizando el movimiento browniano . ^[5]

La desigualdad isoperimétrica gaussiana también se deriva de la desigualdad de Ehrhard. ^{[6] [7]}

• Concentración de medida
• Desigualdad de Borell-TIS