Cuatro cuatros

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Cuatro cuatros es un rompecabezas matemático cuyo objetivo es encontrar la expresión matemática más simple para cada número entero desde 0 hasta un máximo, utilizando solo símbolos matemáticos comunes y el dígito cuatro . No se permite ningún otro dígito. La mayoría de las versiones del rompecabezas requieren que cada expresión tenga exactamente cuatro cuatros, pero algunas variaciones requieren que cada expresión tenga un número mínimo de cuatros. El rompecabezas requiere habilidad y razonamiento matemático.

La primera aparición impresa del problema específico de los cuatro cuatros se encuentra en Knowledge: An Illustrated Magazine of Science en 1881. ^[1] Un problema similar que implica organizar cuatro dígitos idénticos para igualar una cierta cantidad fue dado en el popular libro de texto de 1734 de Thomas Dilworth The Schoolmaster's Assistant, Being a Compendium of Arithmetic Both Practical and Theoretical . ^[2]

WW Rouse Ball lo describió en la sexta edición (1914) de su obra Mathematical Recreations and Essays . En este libro se lo describe como una "recreación tradicional". ^[3]

Existen muchas variaciones de cuatro cuatros; su principal diferencia es qué símbolos matemáticos están permitidos. Esencialmente todas las variaciones al menos permiten la suma ("+"), la resta ("−"), la multiplicación ("×"), la división ("÷") y los paréntesis , así como la concatenación (por ejemplo, se permite "44"). La mayoría también permite la operación factorial ("!"), la exponenciación (por ejemplo, "44 ⁴ "), el punto decimal ("".") y la raíz cuadrada ("√"). Otras operaciones permitidas por algunas variaciones incluyen la función recíproca ("1/x"), subfactorial ("!" antes del número: !4 es igual a 9), sobreraya (un dígito repetido infinitamente), una raíz arbitraria , la función cuadrada ("sqr"), la función cúbica ("cube"), la raíz cúbica , la función gamma (Γ(), donde Γ( x ) = ( x − 1)!), y el porcentaje ("%"). Por lo tanto:

${\displaystyle 4\%=0.04}$

${\displaystyle sqr(4)=16}$

${\displaystyle cube(4)=64}$

${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$

${\displaystyle 4!=24}$

${\displaystyle \Gamma (4)=6}$

${\displaystyle !4=9}$

${\displaystyle 4'={\frac {1}{4}}=0.25}$

${\displaystyle .4=0.4={\frac {4}{10}}={\frac {2}{5}}}$

${\displaystyle 4.4=4{\frac {2}{5}}}$

${\displaystyle .{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}}$

etc.

Un uso común de la línea superior en este problema es para este valor:

${\displaystyle .{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}}$

Por lo general, la función sucesora no está permitida, ya que cualquier entero mayor que 4 es fácilmente alcanzable con ella. De manera similar, los operadores " log " por lo general no están permitidos, ya que permiten que un método general produzca cualquier entero no negativo. Esto funciona teniendo en cuenta tres cosas:

1. Es posible tomar raíces cuadradas repetidamente sin utilizar ningún 4 adicional
2. Una raíz cuadrada también se puede escribir como exponente (^(1/2))
3. Los exponentes tienen logaritmos como su inverso.

${\displaystyle \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}=4^{(1/2)^{n}}}$

Escribiendo la raíz cuadrada repetida de esta forma podemos aislar n, que es el número de raíces cuadradas:

${\displaystyle 4^{(1/2)^{n}}}$

Podemos aislar ambos exponentes utilizando el logaritmo base 4:

${\displaystyle \log _{4}4^{(1/2)^{n}}}$

Este logaritmo puede considerarse como la respuesta a la pregunta: "¿4 a qué potencia me da 4 a la mitad de la potencia n?"

${\displaystyle 4^{x}=4^{(1/2)^{n}}}$

Así que ahora nos quedamos con:

${\displaystyle (1/2)^{n}}$

y ahora podemos tomar un logaritmo para aislar el exponente, n:

${\displaystyle n=\log _{(1/2)}(1/2)^{n}}$

Entonces, poniéndolo todo junto:

${\displaystyle n=\log _{(1/2)}\log _{4}4^{(1/2)^{n}}}$

Ahora, podemos reescribir la base (1/2) con solo 4 y el exponente (1/2) nuevamente como raíz cuadrada:

${\displaystyle n=\log _{{\sqrt {4}}/4}\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}}$

Hemos utilizado cuatro cuatros y ahora el número de raíces cuadradas que sumamos es igual a cualquier número entero no negativo que quisiéramos.

Paul Bourke atribuye a Ben Rudiak-Gould una descripción diferente de cómo se pueden resolver cuatro cuatros utilizando logaritmos naturales (ln(n)) para representar cualquier entero positivo n como:

${\displaystyle n=-{\sqrt {4}}{\frac {\ln \left[\left(\ln \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}\right)/\ln 4\right]}{\ln {4}}}}$

Otras variantes (que ya no suelen llamarse "cuatro cuatros") sustituyen el conjunto de dígitos ("4, 4, 4, 4") por otro conjunto de dígitos, por ejemplo, el año de nacimiento de alguien. Por ejemplo, una variante que utilice "1975" requeriría que cada expresión utilice un 1, un 9, un 7 y un 5.

Aquí se presenta un conjunto de cuatro soluciones para los números del 0 al 32, utilizando reglas típicas. Aquí se enumeran algunas soluciones alternativas, aunque en realidad hay muchas más soluciones correctas. Las entradas en azul son aquellas que utilizan cuatro números enteros 4 (en lugar de cuatro dígitos 4) y las operaciones aritméticas básicas . Los números sin entradas en azul no tienen solución bajo estas restricciones. Además, las soluciones que repiten operadores están marcadas en cursiva.

0 =  4 ÷ 4 × 4 − 4  = 44 − 44 1 =  4 ÷ 4 + 4 − 4  = 44 ÷ 44 2 =  4 −(4 + 4)÷ 4  = (44 + 4)÷ 4! 3 =  (4 × 4 − 4)÷ 4  =  (4 + 4 + 4)÷ 4 4 =  4 + 4 ×(4 − 4)  = −44 + 4!+ 4! 5 =  (4 × 4 + 4)÷ 4  = (44 − 4!)÷ 4 6 =  (4 + 4)÷ 4 + 4  = 4,4 + 4 × ,4 7 =  4 + 4 − 4 ÷ 4  = 44 ÷ 4 − 4 8 =  4 ÷ 4 × 4 + 4  = 4.4 −.4 + 4 9 =  4 ÷ 4 + 4 + 4  = 44 ÷ 4 −√410 = (4 + 4 + 4) −√4 = (44 − 4)÷ 411 = (4!×√4 − 4)÷ 4 = √4 ×(4!−√4)÷ 412 =  4 ×(4 − 4 ÷ 4)  = (44 + 4)÷ 413 = (4!×√4 + 4)÷ 4 = (4 −.4)÷.4 + 414 = 4 × 4 − 4 ÷√4 = 4 ×(√4 +√4)−√415 =  4 × 4 − 4 ÷ 4  = 44 ÷ 4 + 416 =  4 × 4 + 4 − 4  = (44 − 4)×.417 =  4 × 4 + 4 ÷ 4  = (44 + 4!)÷ 418 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷√4) − 419 = 4!−(4 + 4 ÷ 4) = (4 + 4 −.4)÷.420 =  4 ×(4 ÷ 4 + 4)  = (44 − 4)÷√421 = 4!− 4 + 4 ÷ 4 = (44 −√4)÷√422 = 4!÷ 4 + 4 × 4 = 44 ÷(4 −√4)23 = 4!+ 4 ÷ 4 −√4 = (44 +√4)÷√424 =  4 × 4 + 4 + 4  = (44 + 4)÷√425 = 4!− 4 ÷ 4 +√4 = (4 + 4 +√4)÷.426 = 4!+√4 + 4 - 427 = 4!+√4 +(4 ÷ 4)28 =  (4 + 4)× 4 − 4  = 4!+ 4 + 4 - 429 = 4!+ 4 +(4 ÷ 4)30 = 4!+ 4 + 4 -√431 = 4!+(4!+ 4)÷ 432 =  4 × 4 + 4 × 4

Tenga en cuenta que los números con valores inferiores a uno no suelen escribirse con un cero inicial. Por ejemplo, "0,4" suele escribirse como ".4". Esto se debe a que "0" es un dígito y en este acertijo solo se puede utilizar el dígito "4".

Existen también muchas otras formas de hallar la respuesta a todas estas preguntas. Un número dado tendrá generalmente unas cuantas soluciones posibles; cualquier solución que cumpla las reglas es aceptable. Algunas variantes prefieren la "menor" cantidad de operaciones o prefieren algunas operaciones a otras. Otras simplemente prefieren soluciones "interesantes", es decir, una forma sorprendente de alcanzar el objetivo.

Ciertos números, como 113, 157 y 347, son particularmente difíciles de resolver bajo reglas típicas. Para 113, Wheeler sugiere . ^[4] Una solución no estándar es , donde 4' es el inverso multiplicativo de 4. (es decir ) Otra posible solución es , donde y representan los multifactoriales 14 y 127 respectivamente y técnicamente deberían denotarse con esa cantidad de signos de exclamación para adherirse a las reglas del problema. Tenga en cuenta que el número 113/16 se puede escribir con tres 4, pero esto no ayuda para 113 a menos que se permita la función cuadrada (es decir, sq (4) = 16).${\displaystyle \Gamma (\Gamma (4))-{\frac {4!+4}{4}}}$${\displaystyle 4(4!+4+4')}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$${\displaystyle {\frac {((4!)!_{14})!_{127}}{(4!)!_{14}}}}$${\displaystyle !_{14}}$${\displaystyle !_{127}}$

El uso del porcentaje ("%") admite soluciones para una proporción mucho mayor de números; por ejemplo, 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.

Este problema y sus generalizaciones (como el problema de los cinco cincos y el de los seis seises, ambos mostrados a continuación) pueden resolverse mediante un algoritmo simple. Los ingredientes básicos son tablas hash que asignan números racionales a cadenas. En estas tablas, las claves son los números que se representan mediante alguna combinación admisible de operadores y el dígito elegido d , por ejemplo, cuatro, y los valores son cadenas que contienen la fórmula real. Hay una tabla para cada número n de ocurrencias de d . Por ejemplo, cuando d=4 , la tabla hash para dos ocurrencias de d contendría el par clave-valor 8 y 4+4 , y la de tres ocurrencias, el par clave-valor 2 y (4+4)/4 (las cadenas se muestran en negrita).

La tarea se reduce entonces a calcular recursivamente estas tablas hash para aumentar n , comenzando desde n=1 y continuando hasta, por ejemplo, n=4. Las tablas para n=1 y n=2 son especiales, porque contienen entradas primitivas que no son la combinación de otras fórmulas más pequeñas y, por lo tanto, deben inicializarse correctamente, de la siguiente manera (para n=1 )

 T[4] := "4"; T[4/10] := ".4"; T[4/9] := ".4...";

y

 T[44] := "44";.

(para n=2 ). Ahora hay dos formas en las que pueden surgir nuevas entradas, ya sea como una combinación de las existentes a través de un operador binario, o aplicando los operadores factorial o de raíz cuadrada (que no utilizan instancias adicionales de d ). El primer caso se trata iterando sobre todos los pares de subexpresiones que utilizan un total de n instancias de d . Por ejemplo, cuando n=4 , comprobaríamos los pares (a,b) con a que contiene una instancia de d y b tres, y con a que contiene dos instancias de d y b dos también. Luego, introduciríamos a+b, ab, ba, a*b, a/b, b/a) en la tabla hash, incluidos los paréntesis, para n=4 . Aquí, los conjuntos A y B que contienen a y b se calculan de forma recursiva, siendo n=1 y n=2 el caso base. Se utiliza la memorización para garantizar que cada tabla hash solo se calcule una vez.

El segundo caso (factoriales y raíces) se trata con la ayuda de una función auxiliar, que se invoca cada vez que se registra un valor v . Esta función calcula factoriales y raíces anidadas de v hasta una profundidad máxima, restringida a números racionales.

La última fase del algoritmo consiste en iterar sobre las claves de la tabla para el valor deseado de n y extraer y ordenar aquellas claves que sean números enteros. Este algoritmo se utilizó para calcular los ejemplos de cinco cincos y seises que se muestran a continuación. La fórmula más compacta (en el sentido de número de caracteres en el valor correspondiente) se eligió cada vez que una clave aparecía más de una vez.

139 = (((5+(5/5))!/5)-5)140 = (.5*(5+(5*55)))141 = ((5)!+((5+(5+.5))/.5))142 = ((5)!+((55/.5)/5))143 = ((((5+(5/5)))!-5)/5)144 = ((((55/5)-5))!/5)145 = ((5*(5+(5*5)))-5)146 = ((5)!+((5/5)+(5*5)))147 = ((5)!+((.5*55)-.5))148 = ((5)!+(.5+(.5*55)))149 = (5+(((5+(5/5)))!+5))

En la siguiente tabla, la notación .6... representa el valor 6/9 o 2/3 ( decimal recurrente 6).

241 = ((.6+((6+6)*(6+6)))/.6)242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/.6))243 = (6+((6*(.6*66))-.6))244 = (.6...*(6+(6*(66-6))))245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6)246 = (66+(6*((6*6)-6)))247 = (66+((6+((6)!/.6...))/6))248 = (6*(6+(6*(6-(.6.../6)))))249 = (.6+(6*(6+((6*6)-.6))))250 = (((6*(6*6))-66)/.6)251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6))

• Kripto (juego)

• Bourke, Paul. "El problema de los cuatro cuatros".
• Carver, Ruth. "Rompecabezas del cuatro cuatros".en MathForum.org
• "4444 (Cuatro Cuatros)". Archivado desde el original el 2011-08-02 . Consultado el 2010-06-04 .Galería Eyegate.
• Cuatro cuatros
• four4s en GitHub
• "Implementación en línea del juego Four Fours".